《物理场论》第1篇：物理场论基础
第3节 标量位、矢量位和波动方程
张元中
中国石油大学（北京）地球物理与信息工程学院
主要内容
1. 矢量场的分类 2. 标量位 3. 矢量位 4. 波动方程
1、矢量场的分类
无源场：若


A

0
，则
A
为无源场，又称
无散场，涡旋场，如磁感应强度场。
无旋场：若
3、矢量位
矢量位：若场
B是无源场，

B

0
，则可找到
一个矢量场
(x,
y,
z,
t)
，使其满足


B
，称

为
场
B
的矢量位(矢位，矢势)。
散度是对源的精细描述，散度为0必定无源。
如果一个矢量场散度处处为零，即


A

0
，
则矢量场中的每条矢线都将闭合。
典型的例子是磁力线
矢量场
A
与势函数
v
的关系是
A

v
。
有势场是一个梯度场。
有势场的势函数有无穷多个，相互之间差一个
常数。
定理：矢量场
A
为有势场的充要条件是
A
为无
旋场。即
A 0。
有势场也称为保守场或无旋场。
(u) 0的物理意义是：对应有梯度的矢量场 必无旋。简言之：有势必无旋。
y,
z)，使其满足

A
，
称为
标量位（标位，标势）。 此为无旋场叫有位
（势）场的原因。
定义
：设有矢量场
A(M
)
，若存在单
值数性
函
数（数量场）u(M ) 满足：
A u
则称此矢量场为位场（有势场）；令 v u ，并
称 v 为这个场的位函数（势函数，标量位）。
2、标量位
位函数的规范化条件。如洛伦兹规范条件、库 仑规范条件等。
4、波动方程 场：发生物理现象的空间称为场；场是物理量 的空间函数。
波：在空间以特定形式传播的物理量或物理量 的扰动，形成波；分机械波和电磁波两大类。
波的共同特征：周期(频率)；相位；幅度；反 射和折射；叠加；干涉；衍射；偏振等。
波动方程：波在空间传播的物理规律用数学形 式表示出来，即物理量满足的偏微分方程组。
若方程的解是无源的非稳矢量场，则这样的场 是横波场；
否则是混合波场。


A

0
，则
A
为无旋场，通常
又叫有位场或有势场。
无旋无源场：若


A

0，
A0，则源自A 为无旋无源场，均匀矢量场为无旋无源场：如稳
恒电流场。
一般矢量场：不一定满足上述条件的矢量场 。
2、标量位
标量位：若场
A
是无旋场，

A

0，则可找
到一个标量场

(x,
4、波动方程
波函数：波动方程在特定边界条件下的解，也
是物理量在空间的分布规律。
如果矢量场
A
中恒有


A

0与
A
0 ，则称此
矢量场为调和场（无源无旋场），比如静电场。
设矢量场
A
为调和场，按照定义有

A

0
，因
此存在函数 u 满足
A u
。
矢量场
A
同时满足

A

0，于是有
(u)

2u x 2

2u y 2

2u z 2

0
4、波动方程
Laplace方程： 2u 2u 2u u 0
x2 y 2 z 2
Poisson方程： u
达朗伯方程（d’Alembert Equation），非齐次 波动方程）：
B
,磁力线是无头无尾的闭
合曲线，B
上任何一点散度为零，即


B

0
。
3、矢量位
矢量场
A
，若其散度
A 0
，则称此矢量场
为管形场。管形场就是无源场。
矢量场 A为管形场的充要条件是：它为另外一个
矢量场
B
的旋度场。即


A B
矢量场
B
称为矢量场
A
2

1 v2
2
t 2


表示一个标量场或矢量场；v通常表示波速。
(x, y, z,t) 表示一个已知的函数。
4、波动方程
(x, y, z,t) 0 达朗伯方程变成为齐次波动方程，
也是通常所说的波动方程：
2

1 v2
2
t 2
0
若方程的解是无旋的非稳矢量场，则这样的场 是纵波场；
的矢量位（矢量势）。

( A) 0
的物理意义是：对应旋度场的矢量
场必无源。简言之：有旋必无源。
3、矢量位 引入标量位和矢量位的好处：减少运算；简化
运算；简化波动方程求解。 “规范不变性”：标量位和矢量位的不确定性
并不影响场函数的唯一性。 满足某种条件的位函数是确定的，该条件叫做