第三章 导数与微分一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求1. 理解导数和微分的概念及其几何意义，会用导数（变化率）描述一些简单的实际问题.2.熟练掌握导数和微分的四则运算法则和基本初等函数的求导公式.3.熟练掌握复合函数、隐函数以及由参数方程所确定的函数的一阶导数的求法.4.了解高阶导数的概念，熟练掌握初等函数的二阶导数的求法.5.了解可导、可微、连续之间的关系.重点 导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的二阶导数的求法.难点 求复合函数和隐函数的导数的方法.（二） 内容提要1.导数的概念 ⑴导数设函数)(x f y =在点0x 的某一邻域内有定义，当自变量x 在点0x 处有增量)0(≠∆∆x x ，x x ∆+0仍在该邻域内时，相应地，函数有增量)()(0x f x x f y -∆+=∆，若极限0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 存在，则称)(x f 在点0x 处可导，并称此极限值为)(x f 在点0x 处的导数，记为)(0x f '，也可记为0000d d d d ,,)(x x x fx x x y x x y x y ===''或，即xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(limlim)(00000.若极限不存在，则称)(x f y =在点0x 处不可导. 若固定0x ，令x x x=∆+0，则当0→∆x 时，有0x x →，所以函数)(x f 在点0x 处的导数)(0x f '也可表示为00)()(lim)(x x x f x f x f x --='→.⑵ 左导数与右导数① 函数)(x f 在点0x 处的左导数)(0x f -'＝xx f x x f xy x x ∆-∆+=∆∆--→∆→∆)()(limlim 000.② 函数)(x f 在点0x 处的右导数)(0x f +'＝xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆++→∆→∆)()(limlim0000. ③函数)(x f 在点0x 处可导的充分必要条件是)(x f 在点0x 处的左导数和右导数都存在且相等．２．导数的几何意义 ⑴曲线的切线在曲线上点M 的附近，再取一点1M ，作割线1MM ，当点1M 沿曲线移动而趋向于M 时，若割线1MM 的极限位置MT 存在，则称直线MT 为曲线在点M 处的切线． ⑵导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数表示曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线斜率.关于导数的几何意义的3点说明:①曲线)(x f y =上点),(00y x 处的切线斜率是纵标变量y 对横标变量x 的导数.这一点在考虑用参数方程表示的曲线上某点的切线斜率时优为重要.②如果函数)(x f y =在点0x 处的导数为无穷(即∞=∆∆→∆x yx 0lim,此时)(x f 在0x 处不可导),则曲线)(x f y =上点),(00y x 处的切线垂直于x 轴. ③函数在某点可导几何上意味着函数曲线在该点处必存在不垂直于x 轴的切线.3.变化率函数的增量与自变量增量之比，在自变量增量趋于零时的极限，即导数.在科学技术中常常把导数称为变化率(即因变量关于自变量的变化率就是因变量关于自变量的导数).变化率反映了因变量随着自变量在某处的变化而变化的快慢程度.4.可导与连续的关系若函数)(x f y =在点x 处可导，则)(x f y =在点x 处一定连续.但反过来不一定成立，即在点x 处连续的函数未必在点x 处可导.5. 高阶导数 ⑴二阶导数函数)(x f y =的一阶导数)(x f y '='仍然是x 的函数，则将一阶导数)(x f '的导数))((''x f 称为函数)(x f y =的二阶导数，记为)(x f ''或y ''或22d d xy，即y ''=)(''y 或 22d d xy =⎪⎭⎫ ⎝⎛x y x d d d d . ⑵n 阶导数)1(-n 阶导数的导数称为n 阶导数（n =3，4， ,)1(-n ,n ）分别记 为)(x f ''',)()4(x f , ,)()1(x f n -,)()(x f n ，或y ''', )4(y , ,)1(-n y ,n y ，或33d d x y , 44d d x y , 11d d --n n xy, n n x y d d ， 二阶及二阶以上的导数称为高阶导数.6 . 微分 ⑴微分的定义如果函数)(x f y =在点x 处的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆，可以表示成)(x o x A y ∆+∆=∆，其中)(x o ∆是比)0(→∆∆x x 高阶的无穷小，则称函数)(x f y =在点x 处可微，称x A ∆为y ∆的线性主部，又称x A ∆为函数)(x f y =在点x 处的微分，记为y d 或)(d x f ，即x A y ∆=d .⑵微分的计算x x f x f d )()(d '=，其中x x ∆=d ,x 为自变量. ⑶一阶微分形式不变性对于函数)(u f ,不论u 是自变量还是因变量,总有u u f u f d )()(d '=成立.7. 求导公式 微分公式表3.1给出了基本初等函数的求导公式及微分公式.对求导公式作如下两点说明: (1)求导公式})]([{'x f ϕ表示函数)]([x f ϕ对自变量x 的导数，即})]([{'x f ϕ=xx f d )]([d ϕ, (2) 求导公式)]([x f ϕ'表示函数)]([x f ϕ对函数)(x ϕ的导数，即)]([x f ϕ'=)(d )]([d x x f ϕϕ. 8. 求导法则 微分法则⑴求导法则,微分法则见下表3.2 ⑵复合函数求导法则 ⑶参数方程求导法则 ⑷隐函数求导法 ⑸对数求导法表3.2 求导与微分法则表（1）微分进行近似计算的理论依据对于函数)(x f y =,若在点0x 处可导且导数0)(0≠'x f ，则当x ∆很小时，有函数的增量近似等于函数的微分, 即有近似公式y y d ≈∆.(2) 微分进行近似计算的4个近似公式设函数)(x f y =在点0x 处可导且导数0)(0≠'x f ，当x ∆很小时，有近似公式y y d ≈∆，即x x f x f x x f ∆'≈-∆+)()()(000，x x f x f x x f ∆'+≈∆+)()()(000，令x x x =∆+0，则))(()()(000x x x f x f x f -'+≈，特别地，当00=x ，x 很小时，有x f f x f )0()0()('+≈ .二、主要解题方法 1．用导数的定义求函数导数的方法 例1 求x x y =在0=x 处的导数. 解 由导数的定义知0lim 0lim )0()0(lim)0(000=∆=∆-∆∆=∆-∆+='→∆→∆→∆x xx x x f x f f x x x . 例2 求 ()⎩⎨⎧+=，，xx x f 1ln )(<≥x x ，的导数. 解 当0>x 时，xx f +='11)( ， 当0<x 时，1)(='x f ， 当0=x 时，xf x f x f x f f x x )0()(lim0)0()(lim)0(00-=--='→→，所以 10lim)0(0=-='-→-xx f x ， 1e ln )1ln(lim 0)1ln(lim )0(100==+=-+='++→→+x x x x xx f ，因此 1)0(='f ，于是 ⎪⎩⎪⎨⎧+=',1,11)(xx f.0,0≤>x x 小结 求分段函数的导数时，除了在分界点处的导数用导数定义求之外，其余点则仍按初等函数的求导公式求得. 2．用和、差、积、商及复合函数的求导法则求导的方法例3 设,1)(33xx x x x f +--=求)(x f '.解 3161323311)(-+--=+--=x x x xx x x x f ，154363211()363f x x x x ---'=--.例 4 设)1ln(++=x x y 求 y '.解 利用复合函数求导法求导，得)1(11])1[ln(222'++++='++='x x x x x x y ])1(1[1122'++++=x x x])1(1211[11222'+++++=x x x x11]11[11222+=++++=x x x x x .小结 若函数变形后能简化求导运算，应先简化后再求导，在求高阶导数时更要注意这一点.另外，还要注意应用四则运算法则的前提条件是：函数)(x f 在点0x 可导，否则法则失效.如x x y =在0=x 点，用四则运算法则求导，)0(y '不存在，但由例1知 x x y =在0=x 的导数为0.对于复合函数，要根据复合结构，逐层求导，直到最内层求完，对例4中括号层次分析清楚，对掌握复合函数的求导是有帮助的. 3．对数求导方法例 5 已知 y =xx x x 22)2()1(-- ，求y '. 解 两边取对数，得：[])2ln(2)1ln(ln 1ln 2---+=x x x xy ， 两边对同一自变量x 求导，得]22121[1)]2ln(2)1ln([ln 11222---++---+-='⋅x x x x x x x x xy y ， ])2(2121)2()1(ln 1[)2()1(2222222---++-----='x x x x x x x x x x x y x. 小结 对数求导法适合两类函数的求导：（1）幂指函数，（2）函数是由几个初等函数经过乘、除、乘方、开方构成的. 4．隐含数的求导法例 6 已知arctan x y=求y ''. 解 两端对x 求导，得)(1)()(1122222'++='⋅+y x y x y xyx ，222222222221yx y y x yx yy x y y x y +'⋅+⋅+='-⋅+，整理得 x y y x y -='+)( ，故 xy xy y +-='， 上式两端再对x 求导，得22)()())(1())(1(x y x y y x y y x y x y y y x y x y y x y y y ++-'+'--'+-'=+-+'-+-'=''=2)(22x y y y x +-'， 将 xy xy y +-='代入上式，得 2)(22x y yxy xy x y +-+-⋅=''322)(2222y x xy y x xy +---=322)()(2x y y x ++-=. 小结 在对隐函数求二阶导数时，要将y '的表达式代入y ''中，注意，在y ''的最后表达式中，切不能出现y '. 5．由参数方程所确定的函数的求导法例7 设cos sin x t t y t =-⎧⎨=⎩，， 求 22d d x y.解 d (sin )cos d 1sin (cos )y t tx tt t '=='+- ， 22d d d cos d cos d cos 1()()()d d d d 1sin d 1sin d 1sin d y y t t t t x x x x t t t x t t''===⋅=+++ 222sin (1sin )cos 11(1sin )1sin (1sin )t t t t t t -+--=⋅=+++.小结 求由参数方程所确定的函数的导数时，不必死记公式，可以先求出微分y d 、x d ，然后作比值xyd d ，即作微商.求二阶导数时，应按复合函数求导法则进行，必须分清是对哪个变量求导.6．求函数微分的方法 例8 求函数x x y tan ln e =的微分.解一 用微分的定义x x f y d )(d '=求微分， 有x x xx x x y xx x d ]sec tan 1e e [d )e (d 2tan ln tan ln tan ln ⋅+='= x xxx d )2sin 21(e tan ln +=. 解二 利用一阶微分形式不变性和微分运算法则求微分，得 x x x x x x y tan ln tan ln tan ln e d d e )e (d d +==)tan (ln d e d e tan ln tan ln x x x x x +=)tan d(tan 1e d e tan ln tan ln x x x x x x ⋅+= x xx x x x x d cos 1tan 1e d e 2tan ln tan ln ⋅+= x xxx d )2sin 21(e tan ln +=. 小结 求函数微分可利用微分的定义，微分的运算法则，一阶微分形式不变性等.利用微分形式不变性可以不考虑变量之间是怎样的复合关系，有时求微分更方便. 7．利用微分求近似值 例9 求 29sin 的近似值.解 设x x f sin )(= ，由近似公式x x f x f x x f ∆'+≈∆+)()()(000，得 x x x x x ∆⋅+≈∆+000cos sin )sin(， 取 180x ,6x 0π-=∆π=，则有 4849.0)180(232129sin 0=π-+≈. 例10 有一批半径为cm 1的球，为减少表面粗糙度，要镀上一层钢，厚度为cm 01.0，估计每只球需要用铜多少克？（铜的密度为3cm g 9.8）解 所镀铜的体积为球半径从cm 1增加cm 01.0时，球体的增量.故由v3π34r=知，所镀铜的体积为v ∆π04.001.0π4)π34(d 13=⨯=∆⋅'=≈=r r v r ，质量为 g 2.1g 9.8π04.0=⋅=m .小结 利用公式x x f x f x x f ∆'+≈∆+)()()(000计算函数近似值时，关键是选取函数)(x f 的形式及正确选取x x ∆,0.一般要求 )(),(00x f x f '便于计算，x ∆越小，计算出函数的近似值与精确值越接近.另外，在计算三角函数的近似值时，x ∆必须换成弧度. 8．求曲线的切线方程例11 求曲线2235(1)()24x y -++=的切线，使该切线平行于直线28x y +=.解 方程 2235(1)()24x y -++=两端对x 求导，得32(1)2()02x y y '-++= ， x y y 22)23(-=+'， y x y 2322+-='， 由于该切线平行于直线 28,x y +=所以有22322-=+-yx，)23(1y x +-=- ，042=--y x ，y x 24+=. 因为切线必在曲线上，所以，将y x 24+=代入曲线方程得 2235[(42)1]()24y y +-++=，023********=++=++y y y y ，，解之 2,121-=-=y y ，此时 0)2(24,2)1(2421=-⨯+==-⨯+=x x ，切点的坐标为)1,2(-,)2,0(-，切线的斜率分别为 212)1(232222322)1,2()1,2(1-=-=-⨯+⨯-=+-='=--yx y k ，212)2(23022322)2,0()2,0(2-=-=-⨯+-=+-='=--yxy k ，因此得切线的方程分别为)2(21--=+x y ， 即 032=-+y x ， )0(22--=+x y ， 即 022=++y x .9．求函数的变化率例 12 落在平静水面上的石头，产生同心圆形波纹，若最外一圈半径的增大率总是6m s ，问2s 末受到扰动的水面面积的增大率为多少？解 设最外圈波纹半径为r ，扰动水面面积为S ，则 2πr S = 两边同时对 t 求导，得 tr r t S d d 2πd d ⋅= 从而 2222π126π2d d π2d d =====⨯==t t t t r r trrtS ，又6d d ≡tr为常数，故 t r 6=（类似于匀速直线运动路程与速度、时间的关系），因此 122==t r ，故有)(π14412π12d d s m 22=⋅==t tS.因此，2s 末受到扰动的水面面积的增大率为)(π144s m 2.小结 对于求变化率的模型，要先根据几何关系及物理知识建立变量之间的函数关系式.若是相关变化率模型，求变化率时要根据复合函数的链式求导法，弄清是对哪个变量的导数.三、学法建议1．本章重点为导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的二阶导数的求法，其难点是求复合函数和隐函数的导数方法.2． 要正确理解导数与微分的概念，弄清各概念之间的区别与联系.比如，可导必连续，反之，不一定成立.可导与可微是等价的.这里等价的含义是：函数在某点x 可导必定得出在该点可微，反之，函数在某点x 可微，必能推出在该点可导.但并不意味着可导与可微是同一概念.导数是函数改变量y ∆与自变量改变量x ∆之比的极限)(lim0x f xyx '=∆∆→∆，微分是函数增量的线性主部)()(d x o x A x o y y ∆+∆⋅=∆+=∆，在概念上两者有着本质的区别.3． 复合函数求导法既是重点，又是难点，不易掌握，怎样才能达到事半功倍的效果呢？首先，必须熟记基本的求导公式，其次，对求导公式xu u y x y d d d d d d ⋅=必须弄清每一项是对哪个变量求导，如 )]([,)]([x f y x f y ϕϕ'≠'=, 因为)(d d )]([,d d x yx f xy y ϕϕ='=' 理解公式还要和微商结合起来，右边的微分约分之后必须等于左边的微商.另外，要想达到求导既迅速又准确，必须多做题.但要牢记，导数是函数改变量之比的极限，不能因为有了基本初等函数的求导公式及求导法则后，就认为求导仅是利用这些公式与法则的某种运算而忘记了导数的本质.4．利用导数解决实际问题，本章主要有三类题型.一类几何应用，用来求切线、法线方程.其关键是求出切线的斜率x x xy k ==d d 及切点的坐标；另一类是变化率模型，求变化率时，一定要弄清是对哪个变量的变化率，如速度.d d d d ,d d 22tst v a t s v ===加速度再有一类是用微分近似计算求某个量的改变量，解决这类问题的关键是选择合适的函数关系)(x f y =，正确选取0x 及x ∆，切莫用中学数学方法求问题的准确值，否则是不符合题意的.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。