第三章 导数与微分同步练习 一、填空 1、若[]1cos 1)0()(lim=--→xf x f x x ，则)0(f '= 。

2、设)100()3)(2)(1()(----=x x x x x x f ，则)0(f '= 。

3、若)(x e f y -=，且x x x f ln )(='，则1=x dxdy = 。

4、若)()(x f x f =-，且3)1(=-'f ，则)1(f '= 。

5、设某商品的需求函数是Q=10-0.2p ，则当价格p=10时，降价10%，需求量将 。

6、设某商品的需求函数为：Q=100-2p ，则当Q=50时，其边际收益为 。

7、已知x x y ln =，则)10(y = 。

8、已知2arcsin )(),2323(x x f x x f y ='+-=，则：0=x dxdy = 。

9、设1111ln22++-+=x x y ，则y '= 。

10、设方程y y x =确定y 是x 的函数，则dy = 。

11、已知()xke x f ='，其中k 为常数，求()x f 的反函数的二阶导数=22dyxd 。

二、选择1、设f 可微，则=---→1)1()2(lim1x f x f x （ ）A 、)1(-'-x fB 、)1(-'fC 、)1(f '-D 、)2(f ' 2、若2)(0-='x f ，则=--→)()2(lim000x f x x f xx （ ）A 、41 B 、41- C 、1 D 、-1 3、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001arctan )(x x xx x f ，则)(x f 在0=x 处（ ）A 、不连续B 、极限不存在 Ｃ、连续且可导 Ｄ、连续但不可导 ４、下列函数在[]1,1-上可微的有（ ） Ａ、x x y sin 32+= Ｂ、x x y sin =Ｃ、21x x y +=Ｄ、x x y cos += ５、设)(x f 为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=（ ） Ａ、在0=x 处极限不存在 Ｂ、有跳跃间断点0=x Ｃ、在0=x 处右极限不存在 Ｄ、有可去间断点0=x６、设函数)(),(21x y x y 的弹性分别为)0(,≠b b a ，则函数)()(21x y x y y =的弹性为（ ） Ａ、b a - Ｂ、b aＣ、2112y by ay - Ｄ、以上都不对 ７、已知)(x f e y =，则y ''＝（ ）Ａ、)(x f e Ｂ、)]()([)(x f x f e x f ''+' Ｃ、)()(x f e x f '' Ｄ、)}()]({[2)(x f x f e x f ''+'８、设函数⎩⎨⎧≤+>+=11)ln()(2x bx x x a x f 在1=x 处可导。

则有（ ）Ａ、1,0-==b a Ｂ、14ln ,3-==b a Ｃ、13ln ,2-==b a Ｄ、12ln ,1-==b a９、设)(x f 可导，)sin 1)(()(x x f x F +=，若)(x F 在0=x 处可导，则必有（ ） Ａ、0)0(=f Ｂ、0)0(='f Ｃ、0)0()0(='+f f Ｄ、0)0()0(='+f f １０、设x e y 2sin =，则dy ＝（ ）Ａ、x d e x 2sin Ｂ、x d e x2sin sin 2 Ｃ、x xd exsin 2sin 2sin Ｄ、x d exsin 2sin三、计算１、已知5tanarcsin 12xx x x y -+-=，求y '' ２、已知x x ey xarctam++=，求dy３、设)1ln(2x x e e y ++=，求)0(y '４、)0,(,)()()(>=b a axx b a b y b a x ，求y '５、若函数x x x xy 1)1(+=，求'y６、已知)(x y y =由02=-+x e xy y 所确定，求)(x y y =在（１，０）处的切线方程。

７、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001arctan )(2x x xx x f ，求)(x f '８、确定常数b a ,，使函数⎩⎨⎧≤>+=11)(2x xx xb ax x f 有连续的导数 四、应用１、设某商品的需求函数为Ｑ＝８００－１０p （p 为价格，Ｑ为需求量），成本函数为Ｃ（Ｑ）＝５０００＋２０Ｑ （１）试求边际利润函数（２）求当Ｑ为：１５０与４００时的边际利润并说明经济意义 ２、某商品的需求函数为Ｑ＝１００－５p ，其中价格)20,0(∈p ，Ｑ为需求量（１）求需求量对价格的弹性)0(>d d E E （２）推导)1(d E Q dPdR-=，其中Ｒ为收益，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使其收益增加。

应用实例万有引力定律众所周知，万有引力定律的发现是牛顿在力学上的重要贡献之一，正是为了建立这一定律，他发明了微积分方法. 为了了解建模的一般步骤，让我们来观察一下牛顿是怎样得出万有引力定律的.十五世纪中叶，哥白尼提出了震惊世界的日心学说，这是科学上的一大革命. 当然，由于历史和科学水平的限制，他的学说免不了也包括了一些缺陷. 此后，丹麦天文学家第谷化了二十年时间观察当时已发现的五大行星的运动，记录下了十分丰富而又精确的资料. 第谷的学生开卜勒在对这些资料进行了九年时间的分析计算后发现，老师的观察结果与哥白尼学说在运行周期上有081⎪⎭⎫⎝⎛的误差，这使他对哥白尼的圆形轨道假设产生了怀疑，他以观察结果为依据，提出了天文学上至今仍然十分著名的三条假设(Kepler 三定律)，这就是：（1）行星轨道是一个椭圆，太阳位于此椭圆的一个焦点上. （2）行星在单位时间内扫过的面积不变.（3）行星运行周期的平方正比于椭圆长轴的三次方，比例系数不随行星而改变.牛顿认为，行星运动所以具有上述特征，必定是某条力学规律的反映，他决心找出这条规律来. 此外，依据（1）（2）可以看出，行星速度是变化的，这在当时是无法计算的. 为了表示这个变化的速度，牛顿研究了微积分. 下面我们来看看，根据开卜勒三定律和牛顿第二定律，怎样用微积分方法推导出万有引力定律.取极坐标系及变动的直角坐标系如图1-1所示.由（2），行星在单位时间内扫过的面积为：θ221r A =进而引入单位向量⎩⎨⎧+-=+=j i ain u ji u r θθθθθcos sin cos则r 又可表示为 j r i r ru r r ^^sin cos θθ+== （1）利用 ⎪⎩⎪⎨⎧-==rr u u u u θθθθ**可得出：θθu r u r r r ^*+=⋅⋅ r u r r r )(2^θ-=⋅⋅⋅⋅ （2）（2）中的θu 方向的分量为零，这说明*//r r ⋅⋅.现将椭圆方程改写成 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+=)1(),1(cos 12222e a b e a p e p r θ(3) 其中b a 、为椭圆的两个半轴，e 为离心率.对（3）中的r 关于t 求导两次：θθθθθθsin 2sin cos 1)cos 1(sin ^22p Ae pe e p e pe r =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⋅⋅ )(22cos 12cos 2^**^r p pr A p e A p e e A p Aer -=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⋅⋅θθθθ 注意到 2^2r A =θ， 故 22)()2(pr r p A r -=⋅⋅ (4)根据（4）可计算得： 2242322^)2()2()()2(prA r A r pr r p A r r -=--=-⋅⋅θ (5)将（5）代入（2），并根据牛顿第二定律立即可知，作用力与2r 成反比. 进而可以证明，比例系数p A /)2(2是一个绝对常数。

即与哪一颗行星无关. 事实上，记行星运行周期为T ，则πab TA =. 由（3），K Ka T ,22=为绝对常数，故：K a pKa ab p T ab p A 232222)()(===ππ 此即需证. 根据以上分析可知，作用于任一行星上的力，方向在太阳与行星的连线上，指向太阳；其大小与两者之间距离的平方成反比，比例系数p A /)2(2是一个绝对常数，这就是万有引力定律.答案一、填空1、21； 2、100！； 3、21e ；4、-3 ； 5、增加2 .5% ；6 、0； 7、9!8x ； 8、23π9、212x x +； 10、)ln 1(y x dx+； 11、x e k dy x d 22221-=二、选择1、C2、A3、D4、B5、D6、A7、D8、D9、A 10、B 三、计算 1、解：5sec 51125sec 511112)2(1222222'xx x x x x x x y --=--+--∙+-=∴ 5tan 5sec 2521222"xx x x y ---= 2、解：xx x x x x e x x x xx ey xx++++=++++=.221)1(221121.)(11arctan 2arctan 'dx y dy '=3、解：x x x xxe e ee y '22')1(11++++==xx xx xxxee ee e ee 22221)1(11+=++++21102)0(=+='=x xx e e y 4、解：)ln (ln )ln (ln lnln a x b x b a abx y -+-+=xb x a a b y y +-='ln 1)(ln )()()(xb a a b a x x b a b y b a x --='5、解：令x xx v xu 1,)1(==，则v u y '+'='，其中x x xx uln 1lnln -== )1(ln +-='x uu )ln 1()1(x x u x +-='x x v ln 1ln =2ln 1x xv v -=' 2121)ln 1(ln 1--=-='xxx x x x x v ∴ 21)ln 1()ln 1()1(--++-=xxx x x xy6、解：0122=-∙'+'+y e y y x y y1210121='+-='=====y x ye y y x yy k y x切线：1-=x y7、解：422121arctan )(,0x x x x f x +-='≠2001arctanlim )0(,02π=--='=→x x x f x o x⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-='02121arctan )(422x x x x x x f π8、解：要使)(x f 有连续导数，即在1=x 处要可导，则1=x 处连续∴ ()()11lim )(lim 11=+⇒==+-→→b a f x f x f x x （1） 又有当1>x时，xb a x b ax x f 2)()(+='+='当1<x时，x x f 2)(='若)(x f 导函数在定义域内连续，则有：2)2(lim )01(22lim )01(11ba xb a f x f x x +=+=+===-+-→→∴ 22=+ba （2） 由（1）（2）联立求解：2,3-==b a即当2,3-==b a时，)(x f 有连续可导函数。