P61 习题3-11、根据定义求导数：(1)cos y x =00000cos()cos lim2sin sin22limsin()sin22lim2sin2lim sin()lim22sin x x x x x x x x y xx x x x x x xx xx xx x x x ∆→∆→∆→∆→∆→+∆-'=∆+∆++∆--=∆∆∆+=-∆∆∆=-+⋅=- 12(2)y x =1122012()lim limlim 12x x x x x xy xx ∆→∆→∆→-+∆-'=∆====(3)y =033223222(limlimlimlimx x x x x x y x∆→∆→∆→∆→+∆'=∆=====(4)x y a =001lim lim x x x x xx x a a a y a x x+∆∆∆→∆→--'==∆∆设t x =∆，则01lim t xt a y a t→-'=再设ts a =，则log a t s =，于是111111011lim log 1limlog 1lim log [1(1)]1log ln x s ax s s a x s s a xa x s y a s a sa s a ea a→→--→--'===+-==2、0000000()()(1)lim[(()]()lim ()x x f x x f x xf x x f x x f x ∆→-∆→-∆-∆+-∆-=--∆'=-00000000000000000000000()()(2)lim()()()()lim ()()()()lim lim ()()()()lim lim ()[()]2()x x x x x x f x x f x x xf x x f x f x f x x xf x x f x f x f x x x xf x x f x f x x f x x x f x f x f x ∆→∆→∆→∆→∆→∆→+∆--∆∆+∆-+--∆=∆+∆---∆=+∆∆+∆--∆-=-∆∆''=--'= 000()(3)lim()lim (0)(0)lim (0)x x x f x x f x xf x f x f →∆→∆→∆=∆+∆-=∆'= 00001001(4)lim [()()]1()()lim 1()n nn f x f x nf x f x n nf x →∞→+-+-='=3、证：()f x 为偶函数且(0)0f =，则00000(0)(0)(0)lim ()(0)lim ()(0)lim ()(0)lim ()(0)lim (0)x x x x x f x f f x f x f xf x f xf x f xf x f x f ----+-∆→∆→∆→∆→-∆→++∆-'=∆∆-=∆-∆-=∆-∆-=--∆-∆-=--∆'=- 又()f x 在0x =处可导，则(0)(0)f f -+''=即(0)(0)f f ++''=- 所以(0)0f +'= 故(0)0f '=。

4、证：（1）设()f x 为可导的奇函数，则：0000()()()lim()()lim ()()lim[()]()lim ()x x x x f x x f x f x x f x x f x xf x x f x xf x x f x x f x ∆→∆→∆→-∆→-+∆--'-=∆--∆+=∆-∆-=-∆+-∆-=-∆'= 所以()f x '为偶函数。

（2）设()f x 为可导的偶函数，则：0000()()()lim()()lim ()()lim[()]()lim ()x x x x f x x f x f x x f x x f x xf x x f x xf x x f x x f x ∆→∆→∆→-∆→-+∆--'-=∆-∆-=∆-∆-=--∆+-∆-=--∆'=- 所以()f x '为奇函数。

（3）设()f x 为可导的周期函数且其周期为T ，则：00()()()lim()()lim ()x x f x T x f x T f x T x f x x f x x f x ∆→∆→++∆-+'+=∆+∆-=∆'= 所以()f x '仍为以T 为周期的周期函数。

5、解：00||1x x x y e =='==x y e ∴=在点(0,1)处的切线斜率为1，法线斜率为了-1，故所求的切线和法线方程分别为：1,1y x y x -=-=-即1,1y x y x =+=-+。

6、解：1lim ()lim sin0(0)x x f x x f x→→=== 所以()f x 在0x =处连续；000000011()sinsin lim ()lim 111sin sin sinlim 11sin sin1lim lim sin 11(sin sin )1lim sin 11112cos sin 12sin lim x x x x x x x x x x x x x f x xx x x x x x x x xx x x x x x x xx x x x x xx x x x x xx x -------∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆→+∆-+∆=∆+∆-+∆+∆=∆-+∆=+∆+∆-+∆=+∆+-+∆+∆=+0022sin112()sin 2cos lim 1sin112()2()sin 2cos lim 2()111sin 2cos ()2111sin cosx x xx x x x x x x xxx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x--∆→∆→∆-∆+∆=+∆--∆+∆+∆=+-∆+∆=+⋅-=-即：111()cos sin f x x x x'=- 于是()f x 在0x =处不可导。

7、解：()f x 在1x =处连续，112lim ()lim()(1)11x x f x ax b a b f ++→→∴=+=+===即1a b +=又()f x 在1x =处可导，00(1)(1)(1)lim (1)()lim x x f x f f x a x b a b x a---∆→∆→+∆-'=∆+∆+-+=∆= 022020(1)(1)(1)lim (1)1lim 2lim 2x x x f x f f x x xx x x +--+∆→∆→∆→+∆-'=∆+∆-=∆∆+∆=∆= 又()f x 在1x =处可导，2a ∴=由1a b +=得1b =-。

8、解：由已知，产品的产量N 并不随劳动力数量x 的增加而均匀增加，当0x x =时劳动生产率应为： 0000()()lim()x x N x N x N x x x →-'=-。

P67 习题3-21、求下列函数的导数：52524(1)(31)()(3)()1561y x x x x x x x x ''=+++''''=+++=++ 2222(2)(cos )()cos (cos )2cos sin y x x x x x x x x x x ''=''=+=- 221(3)()sin (1)sin (1)(sin )sin sin (1)cos sin xy xx x x x xx x x x+''=''+-+=-+=2(4)(tan sin )(tan )(sin )sec cos y x x x x x x''=+''=+=+ 2222222(5)()(2)4x x xy e e x xe ''='=⋅=(6)(arctan 1112y x ''='==⋅+=2222222(7)(cos3)()cos3(cos3)2cos3(3sin 3)2cos33sin 3x x x x x x x y e x e x e x e x x e x xe x e x''=''=+=⋅⋅+-=-(8)(ln(cos ))ln(cos )(ln(cos ))ln(cos )(cos )cos sin ln(cos )cos ln(cos )tan y x x x x x x xx x x x xx xx x x''=''=+'=+⋅=-=-2、解：2212122211()()2111()()21[(2)][(1)]12(2)(1)f x x x x x x x x x x --''=+++''=+++''=+++=--++2221201(0)(02)(01)4f ⨯'∴=--=-++ 22212(1)1(1)(12)((1)1)2f ⨯-'-=--=--+-+ 22212111(1)(12)(11)18f ⨯'=--=-++ 3、解：11()1111()1x f x x xf x x ==++∴=+ 211()()1(1)f x x x ''∴==-++ 4、解：当1x -∞<<时，(1)1y x ''=-=-当12x ≤≤时，[(1)(2)]23y x x x ''=--=-当2x <<+∞时，[(2)1]1y x ''=--+=1,123,121,2x y x x x --∞<<⎧⎪'∴=-≤≤⎨⎪<<+∞⎩P69 习题3-31、求下列函数的二阶导数：325527553(1)()536()525y x x y x x---'''==='''∴==-22222222222(2)()(2)2(2)(2)(2)()22(2)24x x xx x x x x x x y e e x xe y xe x e x e e x xe ex e----------''==⋅-=-'''''∴=-=-+-=---=-+ 22(3)(sin cos )cos sin (cos sin )sin cos y ax bx a ax b bxy a ax b bx a ax b bx ''=+=-'''∴=-=-- (4)(sin )sin cos (sin cos )(sin )(cos )sin cos cos sin 2cos x x x x x xxx x x x x y e x e x e x y e x e x e x e x e x e x e x e x e x ''==+'''∴=+''=+=++-=21(5)(ln 2)11()y x x y x x''=='''∴==-22(6)[ln(2)]ln(2)2[ln(2)]2122(2)4(2)x y x x x x x y x x x x x x x x ''=+=+++'''∴=++++-=++++=+2、求下列函数的n 阶导数：3222(1)(1)321(321)62(62)6y x x x x x y x x x y x ''=+++=++'''=++=+''''=+=当3n >时()0n y =112(4)23(5)34()1(2)(ln )ln 1(ln 1)()()2(2)6()(2)!,(2)n n n y x x x y x x y x x y x x y x x y n x n --------''==+'''=+=''''==-'=-='==-=--≥2(4)(5)(6)(3)(sin )2sin cos sin 2(sin 2)2cos 22sin(2)22(2cos 2)4sin 24sin(2)23(4sin 2)8cos 28sin(2)24(8cos 2)16sin 216sin(2)25(16sin 2)32cos 232sin(y x x x x y x x x y x x x y x x x y x x x y x x ππππ''==='''===+''''==-=+'=-=-=+'=-==+'===()12)212sin(2)2n n x n y x ππ-+-=+()(4)()(1)[(1)](1)(2)()x x x xx x x xn xy xe e xe x ey x e e x e x e y x n e ''==+=+'''=+=++=+=+P73 习题3-4 1、解：由0xyxy e e -+=两边对x 求导得：0x y x yy xy e e y e y y e x''+-+⋅=-'∴=+2、解：由1ln()yy x y e =-++两边对x 求导得：111yyy y y e y x yy xe ye x y '+''=-+⋅+'∴=+---3、解：由23xy e x y --=两边对x 求导得：()2021xy xyxye y xy y ye y xe ''+--=-'∴=-把0y =代入23xy e x y --=解得1x =-，12|11xyx xy ye y xe =--'∴==--即所给曲线在点(1,0)-处的切线斜率1k =- 故所求切线方程为：1(1)y x =-+即1y x =--。