函数的对称性和周期性一.明确复习目标1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。

3.掌握常见的函数对称问题二、建构知识网络一、两个函数的图象对称性1、 )(x f y =与)(x f y -=关于x 轴对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=y 对称。

2、 )(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=x 对称。

3、 )(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对称。

4、 )(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于a y =对称。

5、 )2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(,)a b 对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足b x a g x f 2)2()(=-+，即它们关于点(,)a b 对称。

6、 )(x a f y -=与)(b x y -=关于直线2b a x +=对称。

二、单个函数的对称性性质1：函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-时，函数()y f x =的图象关于直线2a b x +=对称。

证明：在函数()y f x =上任取一点11(,)x y ，则11()y f x =，点11(,)x y 关于直线 2a b x +=的对称点11(,)a b x y +-，当1x a b x =+-时 11111()[()][()]()f a b x f a b x f b b x f x y +-=+-=--==故点11(,)a b x y +-也在函数()y f x =图象上。

由于点11(,)x y 是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线2a b x +=对称。

（注：特别地，a =b =0时，该函数为偶函数。

）性质2：函数()y f x =满足()()f a x f b x c ++-=时，函数()y f x =的图象关于点（2a b +，2c ）对称。

证明：在函数()y f x =上任取一点11(,)x y ，则11()y f x =，点11(,)x y 关于点 （2a b +，2c ）的对称点（1a b x +-，c －y 1），当1x a b x =+-时， 1111()[()]()f a b x c f b b x c f x c y +-=---=-=-即点（1a b x +-，c －y 1）在函数()y f x =的图象上。

由于点11(,)x y 为函数()y f x =图象上的任意一点可知函数()y f x =的图象关于点（2a b +，2c ）对称。

（注：当a =b =c =0时，函数为奇函数。

）性质3：函数()y f a x =+的图象与()y f b x =-的图象关于直线2b a x -=对称。

证明：在函数()y f a x =+上任取一点11(,)x y ，则11()y f a x =+，点11(,)x y 关于直线2b a x -=对称点（1b a x --，y 1）。

由于1111[()][]()f b b a x f b b a x f a x y ---=-++=+=故点（1b a x --，y 1）在函数()y f b x =-上。

由点11(,)x y 是函数()y f a x =+图象上任一点因此()y f a x =+与()y f b x =-关于直线2b a x -=对称。

三、周期性1、一般地，对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

说明：周期函数定义域必是无界的。

推广：若)()(b x f a x f +=+，则)(x f 是周期函数，a b -是它的一个周期2.若T 是周期，则(0,)kT k k Z ≠∈也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。

一般所说的周期是指函数的最小正周期。

说明：周期函数并非都有最小正周期。

如常函数()f x C =；3、对于非零常数A ，若函数()y f x =满足(A)()f x f x +=-，则函数()y f x =必有一个周期为2A 。

证明：(2A)[(A)](A)[()]()f x f x x f x f x f x +=++=-+=--=∴函数()y f x =的一个周期为2A 。

4、对于非零常数A ，函数()y f x =满足1(A)()f x f x +=，则函数()y f x =的一个周期为2A 。

证明：1(2)()()()f x A f x A A f x f x A +=++==+。

5、对于非零常数A ，函数()y f x =满足1()()f x A f x +=-，则函数()y f x =的一个周期为2A 。

证明：1(2)()()()f x A f x A A f x f x A +=++=-=+。

6、对于非零常数A ，函数()y f x =满足1()()21()A f x f x f x ++=-或1()()21()A f x f x f x -+=+则函数()y f x =的一个周期为2A 。

证明：先看第一个关系式31()32(2)()3221()2A f x A A f x A f x A f x +++=++=-+ 1()11()1()2()1()1()121()f x A A f x A f x A f x A A f x A f x A f x A ++++++-+===-+++-++--+ (2)()f x A f x A +=-+()()f x A f x +=()(2)f x f x A ∴=+第二个式子与第一的证明方法相同7、已知函数()f x 的定义域为N ，且对任意正整数x都有()()()(0)f x f x a f x a a =++-≠则函数的一个周期为6a证明：()()()f x f x a f x a =++- （1）()()(2)f x a f x f x a +=++ （2）两式相加得：()(2)f x a f x a -=-+()(3)(6)f x f x a f x a =-+=+四、对称性和周期性之间的联系性质1：函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-，()()f b x f b x +=-()a b ≠，求证：函数()y f x =是周期函数。

证明：∵()()f a x f a x +=-得()(2)f x f a x =-()()f b x f b x +=-得()(2)f x f b x =-∴(2)(2)f a x f b x -=-∴()(22)f x f b a x =-+∴函数()y f x =是周期函数，且22b a -是一个周期。

性质2：函数()y f x =满足()()f a x f a x c ++-=和()()f b x f b x c ++-=()a b ≠时，函数()y f x =是周期函数。

（函数()y f x =图象有两个对称中心（a ，2c ）、（b ，2c ）时，函数()y f x =是周期函数，且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期）证明：由()()f a x f a x c ++-=⇒()(2)f x f a x c +-=()()f b x f b x c ++-=⇒()(2)f x f b x c +-=得(2)(2)f a x f b x -=-得()(22)f x f b a x =-+∴函数()y f x =是以22b a -为周期的函数。

性质3：函数()y f x =有一个对称中心（a ，c ）和一个对称轴x b =（a ≠b ）时，该函数也是周期函数，且一个周期是4()b a -。

证明：()()2()(2)2f a x f a x c f x f a x c ++-=⇒+-=()()()(2)f b x f b x f x f b x +=-⇒=-(4())(2(42))f b a x f b a b x -+=---(42)(2(22))2(22)f a b x f a b a x c f b a x --=--+=--+2(2(2))2(2)c f b a x c f a x =---=--2(2())22()()c c f x c c f x f x =--=-+=推论：若定义在R 上的函数)(x f 的图象关于直线a x =和点)0,(b )(b a ≠对称，则)(x f 是周期函数，)(4a b -是它的一个周期证明：由已知()(2),()(2).f x f a x f x f b x =-=--()(2)[2(2)][2()][22()][2(2)][22(2)][4()],4().f x f a x f b a x f b a x f a b a x f a b x f b a b x f b a x b a ∴=-=---=--+=----=---=--+=-+-周期为 举例:sin y x =等.性质4：若函数()f x 对定义域内的任意x 满足：()()f x a f x a +=-,则2a 为函数()f x 的周期。

（若()f x 满足()()f x a f x a +=-则()f x 的图象以x a =为图象的对称轴，应注意二者的区别)证明：()()f x a f x a -=+()(2)f x f x a ∴=+性质5：已知函数()x f y =对任意实数x ,都有()()b x f x a f =++，则()x f y =是以 2a 为周期的函数证明：()()f a x b f x +=-(2)(())()(())()f x a f x a a b f x a b b f x f x +=++=-+=--=五、典型例题例 1 （2005·福建理）()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且(2)0f =，则方程()0f x =在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5解：()f x 是R 上的奇函数，则(0)0f =，由(3)()f x f x +=得(3)0f =，(2)0f =(5)0f ⇒= (2)0f =(1)0(1)0f f ⇒-=⇒= ∴(4)0f =∴x =1，2，3，4，5时，()0f x =这是答案中的五个解。