数学选修2-１综合测评时间：9０分钟满分:1２０分一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共５0分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.与向量ａ＝(1，－３，２)平行的一个向量的坐标是( ）A.错误!ﻩB．(－１，-3,2)C.错误!ﻩＤ.(错误!，－3，－２错误!)解析:向量的共线和平行是一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式.即b≠0,a∥b⇔a=λb,ａ＝(1,-3,2)＝－1错误!，故选C．答案:C2.若命题ｐ：∀x∈错误!,tａn x＞ｓin ｘ，则命题綈p:()A.∃ｘ0∈错误!，tan ｘ0≥sin x0Ｂ.∃x０∈错误!，taｎx0>siｎx0C．∃x０∈错误!,tan x0≤sin x０D.∃x０∈错误!∪错误!,ｔan x0>ｓin x0解析：∀x的否定为∃x０,>的否定为≤，所以命题綈p为∃x0∈错误!，ｔaｎｘ０≤ｓiｎｘ0．答案:C3．设α,β是两个不重合的平面,l，m是两条不重合的直线,则α∥β的充分条件是(）Ａ．l⊂α，m⊂β且l∥β，m∥αB.ｌ⊂α,m⊂β且l∥ｍC.ｌ⊥α，ｍ⊥β且l∥mＤ．l ∥α，m ∥β且l ∥m解析:由ｌ⊥α,l ∥ｍ得m ⊥α,因为m ⊥β,所以α∥β,故C 选项正确.答案:C4．以双曲线错误!－错误!=－１的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( ）Ａ.x 2１6＋＼ｆ(y 2，１2）=1 Ｂ.ｘ２1２＋ｙ２１６=1 C ．x 2１６+错误!=１ D ．错误!＋错误!=１ 解析：由ｘ24－＼ｆ（y 2,12)=１,得错误!－错误!=１.∴双曲线的焦点为(０,4),(0，－4）,顶点坐标为(0,2错误!），（0,－２错误!).∴椭圆方程为x 24+错误!=1.答案:D5．已知菱形ABCD 边长为1，∠ＤAB =60°，将这个菱形沿A Ｃ折成6０°的二面角,则B ，D 两点间的距离为( ）A.错误! Ｂ.错误! C.错误! D.错误!解析：菱形ＡＢＣＤ的对角线AC 与B Ｄ交于点Ｏ,则ＡC ′⊥BD ,沿AC 折叠后，有BO ⊥AC ′，DO ⊥AC ，所以∠BO Ｄ为二面角B -AC －Ｄ的平面角，即∠BO Ｄ＝60°.因为OB ＝O Ｄ=错误!,所以BD =错误!.答案:B6.若双曲线x 26-＼ｆ（ｙ2,3)＝1的渐近线与圆(x －３)2＋y 2=ｒ2(ｒ>0）相切，则ｒ＝( ） A. 3 B ．2 Ｃ.3 D ．６解析：双曲线ｘ26－错误!=1的渐近线方程为y =±错误!x ，因为双曲线的渐近线与圆(x -3)2＋y ２＝r 2(r >0)相切，故圆心(3,0)到直线y =±错误!x 的距离等于圆的半径r ，则r ＝＼f(|2×3±２×0|，2＋4）＝错误!．答案:Ａ7.在长方体ABCD －A １B 1C 1D 1中,底面是边长为２的正方形，高为4,则点Ａ1到截面AB 1Ｄ1的距离为( )A ．＼f(8，3)B ．错误! C.错误! D.错误!解析:取错误!,错误!，错误!分别为x 轴,y 轴，ｚ轴建立空间直角坐标系,可求得平面AB １Ｄ１的法向量为ｎ＝(２，－2,1).故Ａ１到平面AB １D 1的距离为ｄ=｜＼o(AA 1,→)·n ｜|n |=＼f(4，3)．答案：C ８.等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上，Ｃ与抛物线ｙ２=16x 的准线交于Ａ,B 两点,｜ＡB |＝43，则C 的实轴长为（ ）A.错误! Ｂ.2错误! C.４ Ｄ．8解析：抛物线y 2＝16x 的准线方程是x ＝－4，所以点A (－4，2错误!)在等轴双曲线C :ｘ2-y ２=a 2（a >0)上，将点Ａ的坐标代入得ａ＝2,所以C 的实轴长为4.答案：C9.如图,在正方体ＡBCD-A１B1C１D1中,M，N分别为A１B１，CC1的中点,Ｐ为AＤ上一动点,记α为异面直线PM与D1N所成的角，则α的集合是（)A．错误!B．错误!C.错误!D.错误!解析:取Ｃ1D1的中点E，PM必在平面ADEM内,易证D1N⊥平面ADEＭ．本题也可建立空间直角坐标系用向量求解.答案：Ａ1０.已知P是以F1,F2为焦点的椭圆x2ａ2＋错误!＝1(ａ>b>0）上的一点，若错误!·错误!＝０，ｔａn∠PF1F2＝错误!，则此椭圆的离心率为( )A．错误!Ｂ.错误!Ｃ.错误! D.错误!解析：由错误!·错误!=0,得△PＦ1F2为直角三角形,由tan∠PＦ1F2＝错误!，设｜ＰF2|＝s,则｜PF1|＝2s，又|ＰF2｜2+|PＦ1｜2=4c2(c=错误!)，即４c2＝5s2，c＝错误!s,而｜PF2|+|ＰF1|=２a=3s,∴a＝错误!，∴e＝错误!=５3，故选Ｄ.答案：Ｄ二、填空题(本大题共４小题，每小题５分，共20分，把答案填在题中横线上)１１．若命题“∃x∈Ｒ,２x2－３ax+9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是＿______＿．解析:原命题的否定形式为∀ｘ∈Ｒ,２ｘ2－3ａｘ＋９≥0,为真命题.即2x2－3ax＋9≥0恒成立,∴只需Δ＝(-3ａ）２－4×2×９≤0，解得－２＼r(2）≤ａ≤2２．答案：［-２＼r(2)，2错误!]1２.在平面直角坐标系xOｙ中,若定点A(1,2）与动点P(ｘ,y)满足错误!·错误!=4，则动点P的轨迹方程是＿_＿_＿_＿＿＿_．解析：由错误!·错误!＝4得x·1+y·2=4，因此所求动点P的轨迹方程为x+2y－４＝0．答案：x+2y-4＝01３．在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCＤ,底面AＢＣD为边长是1的正方形，ＰＡ＝２,则ＡＢ与PＣ的夹角的余弦值为____＿___＿_.解析：因为错误!·错误!=错误!·（错误!+错误!）=错误!·错误!＋错误!·错误!＝1×错误!×ｃos 45°＝1,又|错误!|＝１，|错误!|=错误!，∴cos〈错误!，错误!〉=错误!=错误!=错误!．答案:错误!14．过双曲线C :错误!-错误!=1（ａ＞０,b >0)的一个焦点作圆x 2＋y 2=a 2的两条切线,切点分别为A ,B .若∠AOB ＝1２0°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为__________．解析:由题意,如图，在Rt △A ＯF 中,∠AF Ｏ＝３0°,A Ｏ=ａ,ＯF =c ，∴s ｉn 30°＝ＯA ＯF=错误!＝错误!. ∴ｅ＝错误!=2．答案：2三、解答题(本大题共4小题，共5０分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）１5．(１2分）已知命题ｐ:不等式|x －1|>ｍ－１的解集为Ｒ,命题q ：f (x )＝－（5-2ｍ)x 是减函数,若p 或ｑ为真命题,p 且q 为假命题,求实数ｍ的取值范围.解：由于不等式|x －１|>m -1的解集为R ，所以ｍ-1＜0,ｍ<1;因为f （x )＝-(5-２m )ｘ是减函数,所以5－2ｍ>1，m <2.即命题p :m <1,命题q ：ｍ<２.因为ｐ或q 为真,ｐ且q 为假，所以p 和q 中一真一假.当p 真q 假时应有错误!m 无解.当p 假q 真时应有错误!1≤m ＜2．故实数m 的取值范围是1≤m <2.1６.(1２分)已知椭圆ｘ2b 2＋＼f （y 2,a 2）＝1(a >b >0）的离心率为错误!,且ａ2=2b ． （1)求椭圆的方程;(2）直线l ：x －ｙ＋m ＝0与椭圆交于A ,Ｂ两点,是否存在实数m ，使线段ＡＢ的中点在圆x 2+y ２＝5上,若存在,求出m 的值;若不存在,说明理由.解:(1）由题意得错误!解得错误!所以ｂ2=ａ2-c 2=1，故椭圆的方程为x 2+ｙ22＝１.(2)设A (x 1,ｙ1)，B (x ２，y 2)，线段AB 的中点为M （x 0,ｙ0).联立直线与椭圆的方程得错误!即3x ２＋2ｍx ＋m 2－２＝０，Δ=(2m ）2－４×3×（m 2－2)＞0，m ２<3，所以ｘ0＝错误!=－错误!，ｙ０=ｘ0＋m =错误!，即M 错误!．又因为Ｍ点在圆x 2＋y ２=5上,所以错误!2＋错误!２＝5，解得m ＝±３与m ２<3矛盾．∴实数ｍ不存在．17．(１３分）已知点P (1,３)，圆Ｃ：(x -m ）２＋y 2＝＼ｆ(9,2）过点A 错误!，点F 为抛物线y 2=２px (p >0)的焦点,直线PF 与圆相切.(1)求m 的值与抛物线的方程;(2)设点Ｂ（2，5),点Q 为抛物线上的一个动点，求错误!·错误!的取值范围.解:（1)把点A 代入圆C 的方程,得(1－m )2＋错误!2＝错误!，∴m ＝1.圆C :(x －1)2＋y 2＝92. 当直线PF 的斜率不存在时,不合题意．当直线P Ｆ的斜率存在时，设为k ,则PF :y ＝k (x －1)＋3,即kx －ｙ-ｋ+3=０.∵直线ＰＦ与圆Ｃ相切,∴错误!＝错误!.解得k ＝1或ｋ＝-１．当k =1时，直线PF 与x 轴的交点横坐标为-２,不合题意,舍去． 当ｋ=-1时,直线PF 与x 轴的交点横坐标为4,∴错误!=４.∴抛物线方程为y 2=16x .（２)错误!=（－1，-２)，设Q （x ，y ),错误!=(x －2,ｙ-5)，则错误!·错误!＝-(ｘ－2)+(－2)(y－５) ＝-ｘ－2y+１２＝-错误!-2y＋12＝－1１６(y＋16)2＋２8≤２８.∴错误!·错误!的取值范围为(－∞，28]．１８．(１3分)如图,在四棱锥A－BCＤE中，底面BCDE为矩形,侧面ABＣ⊥底面BCDE,ＢＣ=２,CＤ＝错误!，ＡB＝AC.(１)证明：AＤ⊥CE;(2）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C-AD-E的余弦值．解:①(1)证明：作AO⊥BC，垂足为O,则AO⊥底面BCDE,且O为BC的中点.以O为坐标原点,射线OC为x轴正方向,建立如图①所示的直角坐标系O－xyz．设A(0,0,ｔ)．由已知条件知C(1,０,0),D(１，２，0），Ｅ(－1，错误!,0),错误!=（-2，错误!，0),错误!＝(1,错误!，－t），＼s＼ｕp15（→)·错误!＝０,得ＡD⊥CE.所以ＣＥ(2）作CF⊥AB，垂足为Ｆ，连接FＥ,如图②所示．②设Ｆ(x,0,z），则错误!＝(x－1，０，z),错误!=(0,错误!，0),错误!·错误!＝0,故CF⊥BE.又AB∩ＢE＝B,所以CＦ⊥平面ＡBE,故∠CEF是CE与平面ABE所成的角,∠ＣEF＝45°.由CE＝＼r(6)，得CＦ＝＼ｒ(３）.又CＢ＝2,所以∠FBＣ＝60°，所以△ＡＢC为等边三角形,因此Ａ(0,０，错误!)．作CG⊥AD,垂足为G,连接ＧＥ．在Rt△ACD中,求得|AG｜＝＼f（2,3)｜AＤ|．故G错误!,错误!＝错误!，错误!＝错误!.又错误!=（1，错误!，-错误!)，错误!·错误!=0，错误!·错误!＝0，所以错误!与错误!的夹角等于二面角Ｃ-ＡＤ-E的平面角．故二面角C－AD－Ｅ的余弦值ｃos〈错误!，错误!〉=错误!＝-错误!.。