数学选修2-1综合测评时间：90分钟满分：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1. 与向量a= (1，- 3,2)平行的一个向量的坐标是()1A. 3, 1，1 B • (- 1,- 3,2)1 3 - -C. —2，2，- 1D- ( .2,—3,—2.2)解析：向量的共线和平行是一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式.即b z0, a/b? a= ?b, a= (1,—3,2)= —1 31 —2，2，—1，故选C.答案：C2. 若命题p：? x€ —n，n，tanx>sinx，则命题綈p：( )A.? X o €n—2,n2，tan x o> sin x oB.? x°€n-2,n2，tan X o>s in x oC.? x°€n―2,n2，tan x o w sin x o? X o €n nD.——oo —2 U 2，+o , tan x o>sin x o解析：？ x的否定为？ X o，>的否定为w，所以命题綈p为？ x o€n n .2，2，tan x o< sin x°.答案：C3. 设a B 是两个不重合的平面，I , m 是两条不重合的直线，则all B 的充分条件是()A .1?a m? B 且 I // 3 m // aB. I? a m? 3且 I // mC. I 丄 a m ± 3且 11 mD. I // a m // 3 且 I //m解析：由I 丄a I m 得m 丄a 因为m 丄3所以aII3故C 选项正确. 答案：C4. 以双曲线x4 -12=-1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程•••双曲线的焦点为(0,4), (0,- 4), 顶点坐标为(0,2 3), (0,- 2 3).x 2 y 2二椭圆方程为玄+16= 1. 答案：D 5.已知菱形ABCD 边长为1,Z DAB = 60°将这个菱形沿AC 折成60°的二面角，贝S B , D 两点间的距离为()代16+12= 1x 2 y 2B” 16= 1C.16 + 4 = 1D x2+ 亡=1 4 十 16 1X 2 解析：由4—12=1,得 12-4=1A豎 B*1 C.| D.|解析:菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,则AC' JBD，沿AC 折叠后，有BO1AC' , DO山C，所以/BOD为二面角B-AC—D的平面角，即Z BOD = 60°1 1因为OB= OD = |,所以BD = |.答案：B…x2y6. 若双曲线6 —3 = 1的渐近线与圆(X—3)2+ y2= r2(r>0)相切，则r =()A. 3B. 2C. 3D. 6X2 y2\f2解析：双曲线x6 —3 = 1的渐近线方程为y^^x,因为双曲线的J2渐近线与圆(X—3)2+ y2= r2(r>0)相切，故圆心(3,0)到直线y=±2x的距离等于圆的半径r，则3±2X0|= 3.4弋2+答案：A7. 在长方体ABCD —A i B i C i D i 中，底面是边长为2的正方形，高为4,则点A i到截面AB i D i的距离为()8 3 4 3A.3B.8C.3D.4T T T解析：取DA, DC, DD i分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，可求得平面AB i D i的法向量为n = (2,—2,i).故A i到平面AB i D iT|AA i n| 4 的距离为小二打市=3.答案：C&等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=i6x的准线交于A, B两点，AB匸4 3，则C的实轴长为()A. 2B. 2 2C. 4D. 8解析：抛物线y2= i6x的准线方程是x= —4,所以点A( —4,2 3)在等轴双曲线C：x2—y2= a2(a>0)上，将点A的坐标代入得a= 2,所以C的实轴长为4.答案：C9. 如图，在正方体ABCD —A i B i C i D i中，M, N分别为g, CC 的中点，P为AD上一动点，记a为异面直线PM与D i N所成的角，则a的集合是（）nA. 2n nB. a 6<a< 2n , nC. a 4< a< 2n nD. a aW 2解析：取C i D i的中点E, PM必在平面ADEM内，易证D i N丄平面ADEM.本题也可建立空间直角坐标系用向量求解.答案：A、X y2io.已知P是以F i, F2为焦点的椭圆a2 + + = i（a>b>0）上的一点, 若PF i PF2 = 0, tan/ PF i F2 =扌」此椭圆的离心率为（）解析：由PF i PF 2= 0,得△D F I F 2为直角三角形, 设|PF 2| = s ,则|PF i | = 2s ,又|PF 2|2 + |PF i |2= 4c 2(c = ：a 2— b 2), 即卩 4c 2 =5s 2, c = -^s ,而IPF 21 + |PF i |= 2a = 3s ,「a =多，.上=£= £，故选 D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填 在题中横线上)11. ________ 若命题“ ？ x € R,2x 2— 3ax + 9<0”为假命题，贝卩实数a 的取 值范围是 .解析：原命题的否定形式为？ xCR,2x 2 — 3ax + 9>0,为真命题.即 2X 2 — 3ax + 9》0 恒成立，.••只需△= (— 3a)2 — 4X 2x 9W 0,解得—2 2 < a < 2 2.答案：[—2 2, 2 2]12. 在平面直角坐标系xOy 中，若定点A(1,2)与动点P(x , y)满足T TOP OA =4,则动点P 的轨迹方程是 _____________ .T T解析：由OP OA =4得x 1 + y 2=4,因此所求动点P 的轨迹方程 为 x + 2y —4 = 0.答案：x + 2y — 4 = 013. 在四棱锥P — ABCD 中，PA 丄底面ABCD ，底面ABCD 为边1由 tanZPF 1F 2=2,长是1的正方形，FA = 2,则AB 与PC 的夹角的余弦值为 ___________ , 解析：因为 AB FC = AB ( FA + AC) = AB FA +AB AC = 1 X 2X cosT T 45°= 1,又 |AB|= 1, |PC|= 6,答案:14. 过双曲线C : a 2-b 2= 1(a>0, b>0)的一个焦点作圆x 2 + y 2 = a 2的两条切线，切点分别为 A , B 若/ AOB = 120°（O 是坐标原点），则 双曲线C 的离心率为 __________ .解析：由题意，如图，在Rt △AOF 中，6F0 = 30°AO = a , OF = c , /e =• 8ST 〈A B , TPC>T TAB PC = 1 —亜T T = 1 X ;6= 6 |AB||PC|「sin 30 = OA a OF = c = 12.=2.答案：2三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15. (12分)已知命题p：不等式|x—1|>m—1的解集为R，命题q：f(x)= —(5 —2m)x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围.解：由于不等式|x—1|>m—1的解集为R,所以m—1<0, m<1;因为f(x) = —(5 —2m)x是减函数，所以5—2m>1, m<2.即命题p：m<1,命题q：m<2.因为p或q为真，p且q为假，所以p和q中一真一假.m<1,当p真q假时应有m无解.m> 2, m> 1,当p假q真时应有K m<2.m<2,故实数m的取值范围是1< m<2.16. (12分)已知椭圆£ + £ = 1(a>b>0)的离心率为子，且a2= 2b.(1)求椭圆的方程；⑵直线I: x—y+ m= 0与椭圆交于A, B两点，是否存在实数m,使线段AB 的中点在圆x 2 + y 2= 5上，若存在，求出m 的值；若不存在, 说明理由.C,解：(1)由题意得a 2 'a 2= 2b ,所以 b 2= a 2 — c 2= 1, 故椭圆的方程为x 2 + y 2 = 1.⑵设A(X 1, y 1), B(X 2, y 2)，线段AB 的中点为M(x o , y o ).联立直x — y + m = 0,X 1+ X 2m(2m)2— 4X 3X (m 2 — 2)>0, m 2<3，所以 x o = 2= — 3, y o = x o + m = 習,即M - m ,習•又因为M 点在圆x 2 + y 2= 5上，所以-m 2 +詈 2 = 5,解得m =£与m 2<3矛盾.二实数m 不存在.93^217. (13 分)已知点 P(1,3),圆 C:(x — m)2+ y 2=2过点 A1,—戈, 点F 为抛物线y 2 = 2px(p>0)的焦点，直线PF 与圆相切.(1)求m 的值与抛物线的方程；⑵设点B(2,5),点Q 为抛物线上的一个动点，求BP BQ 的取值范 围.解得* 2,c = 1,线与椭圆的方程得 X 2+ < 1,即 3x 2 + 2mx + m 2 — 2 = 0, △=解：(1)把点A代入圆C的方程，得“ 、2 3J2 2 9 “(1 — m)2+ —~2= 2，「m = 1.9圆 C : (x — 1)2 + y 2 = 2.当直线PF 的斜率不存在时，不合题意.当直线PF 的斜率存在时，设为k ,则 PF : y = k(x — 1)+ 3，即卩 kx — y — k + 3= 0.T 直线PF 与圆C 相切，解得k = 1或k =— 1.当k = 1时，直线PF 与x 轴的交点横坐标为—2,不合题意，舍当k = — 1时，直线PF 与x 轴的交点横坐标为4, ••p =4.二抛物线方程为y 2 = 16x.(2)BP = (— 1,— 2),设 Q(x , y), BQ = (x — 2, y — 5)，贝ST TBP BQ = — (x — 2) + (— 2)(y — 5)y 2=—x — 2y + 12= — 16— 2y + 12=-i6（y + 16）2 + 28< 28.|k — 0 — k + 3| k 2+ 1 3/22去.「BP BQ的取值范围为(一乂，28].18. (13分)如图，在四棱锥A- BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC丄底面BCDE, BC = 2, CD = 2, AB= AC.(1) 证明：AD丄CE;(2) 设CE与平面ABE所成的角为45°求二面角C-AD —E的余弦值.解:(1)证明：作A01BC,垂足为0,则A0丄底面BCDE,且O为BC 的中点.以0为坐标原点，射线0C为x轴正方向，建立如图①所示的直角坐标系0—xyz设A(0,0, t).由已知条件知C(1,0,0), D(1, 2, 0), E( —1, 2, 0), CE=(—2, 2, 0), AD = (1, 2,—t),T T所以CE AD = 0,得ADdCE.⑵作CF山B,垂足为F，连接FE,如图②所示.T T②设F(x,0, z),则CF = (x—1,0, z), BE= (0, 2, 0),T TCF BE= 0,故CF 1BE.又 AB A BE = B ,所以CF 丄平面ABE ,故Z CEF 是CE 与平面ABE 所成的角，/ CEF = 45° 由 CE = 6,得 CF = 3.又 CB = 2,所以ZFBC = 60°作CG 山D ，垂足为G ，连接GE.GE = — 3,彳，-于.T T T又AD = (1 , 2,— 3), GC AD = 0, GE AD = 0,所以GC 与GE 的夹角等于二面角C — AD — E 的平面角. T T 故二面角C — AD — E 的余弦值cos 〈GC,GE 〉 |GC||GE| 所以△ABC 为等边三角形，因此 A(0,0, .3). 在Rt A ACD 中，求得|AG| = 2AD|.故G 3号，于，GC = 1 — 2/2 3， 3， <33，T TGCGET T TO 10 .。