重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷A卷B卷20 — 20 学年 第 学期开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期:考试方式：开卷闭卷其他考试时间: 120 分一、选择题(每小题3分,共18分)1. 已知向量{}4,3,4a =-v 与向量{}2,2,1b =v则a b ⋅=v v ().(A) 6 (B) 6- (C) 1 (D) 3- 知识点:向量的内积；难度等级:1。

答案: (A).2. 设arctan ,4z xy π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭则z x∂=∂().(A))4(1π++xy xy (B)2)4(11π+++xy x(C)22)4(1)4(sec ππ+++xy xy xy (D)2)4(1π++xy y知识点:多元函数偏导数；难度等级:1。

答案: (D). 3. 两个半径为R 的直交圆柱体所围立体的表面积是().(A) 004Rdx ⎰ (B) 08Rdx ⎰(C) 04Rdx ⎰ (D) 016Rdx dy ⎰知识点:二重积分的应用；难度等级:2。

答案:(D)分析:可设两个圆柱面的方程为222222,.x y R x z R +=+=由对称性,为第一卦象的面积的8倍.又由对称性,在第一卦限两个曲面部分面积相等,故可取在第一卦限222x z R +=部分面积的16倍,而该面积为00,Rdx ⎰选D. 4．设u =(1,0,1)()().rot gradu =vv(A)14(B)0 (C)(0,0,0) (D)(1,0,1)知识点:旋度定义；难度等级:1。

答案:(C)分析:经计算,对应的旋度场为无旋场,即任意一点处旋度为0,命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院 专业、班 年级 学号 姓名 考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密选C.5. 微分方程231xy y e ''-=+的一个特解为().(A)313x y e =+ (B) 213x y e =+(C) 313x y e =- (D) 213xy e =- 知识点:二阶常系数非齐次线性微分方程；难度等级: 2。

答案: D分析:原方程的特解为方程31y y ''-=与方程23xy y e ''-=的特解之和,而方程31y y ''-=的特解为11,3y =- 方程23xy y e ''-=的特解为22.x y e =因此原方程的特解为2121.3x y y y e =+=-故应选(D). 6. 设()f u 具有连续导数,∑是曲面22z x y +=与228z x y --=所围成立体表面之外侧,则zdxdy dzdx yxf x dydz y x f y ++⎰⎰)(1)(1=( ) (A)16π (B)16π-(C)8π- (D)因()f u 未知,故无法确定.知识点:对坐标曲面积分的计算 ,高斯公式；难度等级:2。

答案:(A)分析:利用高斯公式可得积分为所围成立体体积:48416,yyD D V dy dxdz dy dxdz π=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰选A.二、填空题(每小题3分,共18分)7. 微分方程2y x '=的通解为___________.知识点:可分离变量微分方程；难度等级:1。

答案:2.y x C =+8. 级数221(1)nn x x n ∞=++∑的收敛区间是___________. 知识点:函数项级数的敛散性；难度等级:2。

答案:10.x -≤≤分析:因为幂级数∑∞=1n 2nny 的收敛域为11,y -≤≤故原级数的收敛域为112++≤-x x 1,≤解此不等式组得10.x -≤≤9. 已知曲线弧:L (01),y x =≤≤则2___________.L x yds =⎰ 知识点:曲线对弧长的积分；难度等级:1。

答案:1.3分析:1201.3Lx yds x ==⎰⎰ 10. 设曲线x t y t z t =+=-=+2131223,,在t =-1对应点处的法平面为,S 则点(,,)-241到S 的距离___________.d =知识点:曲线的切线与法平面、点到平面的距离；难度等级:2。

答案:2.分析:先求S 的方程.法平面的法向量即切线的方向向量:2(2,6(1),3(1))(2,6,3).n =⨯-⨯-=-r切点为(1,2,1).-所以法平面方程为2(1)6(2)3(1)0.x y z +--+-=即263110.x y z -++=故点(,,)-241到S 的距离2.d ===11．设L 为圆周224x y +=沿逆时针方向一周,则22Ly xdy x ydx -⎰Ñ___________.= 知识点:曲线对坐标的积分,格林公式；难度等级:2。

答案:8.π 分析: 利用格林公式,积分化为22222()8.Dx y d d r rdr πσθπ+=⋅=⎰⎰⎰⎰ 12. 设∑是球面2222x y z R ++=在第二卦限部分,则2__________.x dS ∑=⎰⎰ 知识点:曲面对坐标的积分,对称性；难度等级:2。

答案:4.6Rπ分析: 222x dS y dS z dS ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰()22213x y z dS ∑=++⎰⎰ 224114.386R R R ππ=⋅⋅= 三、计算题(每小题6分,共24分)13. 将函数)1ln()(32x x x x f +++=展开成x 的幂级数.知识点:幂级数间接展开；难度等级:2。

解:22()ln[(1)(1)]ln(1)ln(1),f x x x x x =++=+++Q11(1)ln(1),(1,1],n nn u u u n -∞=-+=∈-∑ ∴11211(1)(1)(),(1,1].n n n nn n f x x x x n n --∞∞==--=+∈-∑∑11(1)(1),(1,1].n nn n x x x n-∞=-=+∈-∑14. 设Ω是由曲线202x y z =⎧⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围成的空间区域,求22()d .x y z V Ω++⎰⎰⎰知识点:三重积分计算,旋转曲面方程；难度等级:2。

分析:旋转体横截面为圆,整个落在一圆柱体内,可用柱坐标计算解:由曲线202x y z=⎧⎨=⎩绕z 轴旋转一周所成的曲面为222.x y z +=2224x y zz ⎧+=⇒⎨=⎩ 22:8.D x y +≤ 22()d x y z V Ω++⎰⎰⎰224202d d ()d z z πρθρρρ=+⎰⎰242320021d d 2z z πρθρρρ⎤⎛⎫⎥=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰ 256.3π= 15.计算22()x y dS ∑+⎰⎰,其中∑是锥面()2223z x y =+被平面0z =和3z =截得的部分.知识点：对面积曲面积分;难度等级1. 分析 投影到xoy 坐标面用极坐标进行计算解 ∑在xoy 的投影为22:3xy D x y +≤2=2222220()()229xyD x y dS x y dxdy d rdr πθπ∑+=+==⎰⎰⎰⎰⎰.16. 计算333(2),x x dydz y dzdx z dxdy ∑+++⎰⎰其中∑为球面2222x y z a ++=的外侧.知识点：高斯公式，三重积分;难度等级：2.分析:题设曲面为封闭曲面,高斯公式,再用球面坐标化为三次积分.解:333(2)x x dydz y dzdx z dxdy ∑+++⎰⎰ 2223()x y z dxdydz Ω=++⎰⎰⎰+2dxdydz Ω⎰⎰⎰22230005343sin 23128.53ad d r r dr a a a ππθϕϕπππ=⋅+⋅=+⎰⎰⎰四、解答题(每小题6分,共12分)17．求级数∑∞=++--11212)2()1(n n nn x 的收敛域.知识点：幂级数的收敛域;难度等级2. 解:令2.x t -=考虑级数211(1).21n nn t n +∞=-+∑ Θ2322123lim ,21n n n t nt t n ++→∞+=+ ∴当12<t 即1<t 时,亦即31<<x 时所给级数绝对收敛;当1<t 即3>x 或1<x 时,原级数发散; 当1-=t 即1=x 时,级数∑∞=++-11121)1(n n n 收敛;当1=t 即3=x 时,级数∑∞=+-1121)1(n nn 收敛. ∴级数的半径为1,R =收敛域为[1,3].18．求函数)4(),(2y x y x y x f --=在由直线0,0,6===+x y y x 所围成的闭区域D 上的最大值和最小值. 知识点：多元函数极值;难度等级：2.解:由⎪⎩⎪⎨⎧=--==-+--='0)24(0)1()4(22y x x f xy y x xy f y x 得D 内的驻点为),1,2(0M 且(2,1) 4.f =又(0,)0,(,0)0,f y f x ==而当0,0,6≥≥=+y x y x 时,32(,)212(06).f x y x x x =-≤≤令32(212)0,x x '-=得120, 4.x x ==于是相应2,621==y y 且.64)2,4(,0)6,0(-==f f所以(,)f x y 在D 上的最大值为(2,1)4,f =最小值为.64)2,4(-=f五、证明题(每小题6分,共12分)19．求函数1()xd e dx x-的关于x 的幂级数的展开式,并由此证明1 1.(1)!n nn ∞==+∑ 知识点:幂级数的展开和求和；难度等级:2 。

分析:本题首先应用间接展开法把函数展开成x 的幂级数,然后再把x 取定特殊的值便可得到所求的和.证明:因为 011,!!n n xn n x x e n n ∞∞====+∑∑所以111.!x n n e x x n -∞=-=∑从而 1()x d e dx x -11!n n d x dx n -∞=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑∑∑∞=--∞=+=-=1122)!1(!)1(k k n n k kx n x n (+∞<<∞-x ). 又因为 1()x d e dx x -21,x x xe e x -+=所以 )!1(11+-∞=∑n nx n n 21x e xe x x +-=(+∞<<∞-x ). 令1,x =得 11.(1)!n nn ∞==+∑20. 设()f x 为恒大于零的连续函数,222()22()()(),()t D t f x y z dv F t f x y d σΩ++=+⎰⎰⎰⎰⎰22()2()(),()D t ttf x y d G t f x dxσ-+=⎰⎰⎰其中2222(){(,,)|},t x y z x y z t Ω=++≤222(){(,)|}.D t x y x y t=+≤证明 (1)()F t在区间(0.)+∞内单调递增.(2)当0t>时,2 ()().F tG tπ>知识点:重积分计算,,变限函数求导,导数性质；难度等级:3。