定理 : lim f ( x ) A f ( x0 0) f ( x0 0) A.
x x0
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2、无穷小与无穷大
无穷小: 极限为零的变量称为无穷小.
记作 lim f ( x ) 0 (或 lim f ( x ) 0).
x x0 x
无穷大: 绝对值无限增大的变量称为无穷大.
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( 3) 如果 lim k C (C 0, k 0), 就说 是是k阶的 无穷小.
8、等价无穷小的性质
定理(等价无穷小替换定理) 设 ~ , ~ 且 lim 存在, 则 lim lim .
9、极限的唯一性
x 0 1 x
某过程
lim
sin

1;
(2)
某过程
lim (1 ) e .
1
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7、无穷小的比较
定义:设, 是同一过程中的两个无 穷小, 且 0.
(1) 如果 lim 0, 就说 是比高阶的无穷小 , 记作 o( );
( 2) 如果 lim C (C 0), 就说 与是同阶的无穷小 ; 特殊地 如果 lim 1, 则称 与是等价的无穷小 ; 记作 ~ ;
( x , f ( x ))
x
2 y f ( x )与y f 1 ( x )的
图象对称于直线y x .
o
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6、基本初等函数
1）幂函数 y x
y ax 2）指数函数
(是常数) (a 0, a 1)
3）对数函数 y loga x 4）三角函数 y sin x;
1、函数的定义
定义 设 x 和 y 是两个变量，D 是一个给定的数 集．如果对于每个数x D，变量 y 按照一定法 则总有确定的数值和它 对应，则称 y 是 x 的函数， 记作 y f ( x )．
数集 D 叫做这个函数的定义域 x 叫做自变量， ， y 叫做因变量．
函数值全体组成的数集 W { y y f ( x ), x D} 称为函数的值域 .
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函数的分类
代 数 函 数
有 理 函 数
有理整函数(多项式函数) 有理分函数(分式函数)
函 数
初 等 函 数
无理函数
超越函数
非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)
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2、函数的性质
(1) 单值性与多值性:
若对于每一个 x D ,仅有一个值 y f ( x ) 与之对 应,则称 f ( x ) 为单值函数,否则就是多值函数.数
o
x
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奇函数
(3) 函数的单调性:
设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果对于区间I上 任意两点 x1 x2，当 x1 x2时，恒有： 及 (1) f ( x1 ) f ( x2 ),则称函数 f (x) 在区间I上是单调增加的； 或(2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f (x)在区间I上是单调递减的； 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。
lim[cf ( x )] c lim f ( x ).
推论2
如果 lim f ( x )存在, 而n是正整数, 则 lim[ f ( x )]n [lim f ( x )]n .
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4、求极限的常用方法
a.多项式与分式函数代入法求极限;
b.消去零因子法求极限;
c.无穷小因子分出法求极限;
函数、极限与连续
习 题 课
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一、主要内容
（一）函数的定义 （二）极限的概念
（三）连续的概念
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基本初等函数
复合函数 初等函数
函 数 的定义
反函数 隐函数
函 数 的性质 单值与多值 奇偶性 单调性 有界性 周期性
双曲函数与 反双曲函数
反函数与直接 函数之间关系
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1
o
1
x
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(5) 函数的周期性:
设函数 f(x) 的定义域为D，如果存在一个不为零的 数l,使得对于任一 x D,有 ( x l ) D .且 f(x+l)=f(x) 恒成立,则称f(x)为周期函数,l 称为 f(x) 的周期.（通 常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
x x
双曲函数常用公式
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sinh( x y ) sinh x cosh y cosh x sinh y ; cosh( x y ) cosh x cosh y sinh x sinh y ;
cosh x sinh x 1; sinh 2 x 2 sinh x cosh x ;
2 2
cosh 2 x cosh x sinh x .
2 2
反双曲正弦 y arsinh x ; 反双曲余弦 y ar cosh x ; 反双曲正切 y artan x ;
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数列极限
lim x n a
n x
函
数
极
x x0
限
无穷大
lim f ( x )
记作 lim f ( x ) (或 lim f ( x ) ).
x x0 x
无穷小与无穷大的关系
在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为 零的无穷小的倒数为无穷大.
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无穷小的运算性质
定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小.
定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
定理 若lim f ( x ) 存在,则极限唯一.
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连
x 0
续
定
义
lim y 0
x x0
lim f ( x ) f ( x 0 )
间断点定义
左右连续
在区间[a,b] 上连续 非初等函数 的连续性
连续的 充要条件
连续函数的 运算性质 初等函数 的连续性
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第一类 第二类 可跳 去跃 间间 断断 点点 无振 穷荡 间间 断断 点点
连续函数 的 性 质
1、连续的定义
定义1 设函数 f ( x ) 在点x 0 的某一邻域内有定义, 如果当自变量的增量 x 趋向于零时,对应的函数 的增量y 也趋向于零,即
x x0
" " 定义 0, 0, 使当0 x x 0 时,
恒有 f ( x ) A .
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左极限 0, 0, 使当x 0 x x 0时,
恒有 f ( x ) A .
记作 lim f ( x ) A 或
y f [( x )]为x 的复合函数.
8、初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有 限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示 的函数,称为初等函数.
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9、双曲函数与反双曲函数
e e 双曲正弦 sinh x 2 x x e e 双曲余弦 cosh x 2 sinh x e x e x 双曲正切 tanh x x cosh x e e x
x x0 0 ( x x0 )
f ( x 0 0) A.
右极限
0, 0, 使当x 0 x x 0 时, 恒有 f ( x ) A .
f ( x 0 0) A.
记作 lim f ( x ) A 或
x x0 0 ( x x0 )
定义 2
如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总存在正数 ,使得对于适合不等式0 x x 0 的 一切 x ,对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式
f ( x) A , 那末常数A 就叫函数 f ( x ) 当 x x 0 时的极限,记作 lim f ( x ) A 或 f ( x ) A(当 x x 0 )
lim f ( x ) A
lim f ( x ) A
两者的 关系
极限存在的 充要条件 判定极限 存在的准则
左右极限
无穷小的比较
无穷小
lim f ( x ) 0
两个重要 极限
等价无穷小 及其性质
无穷小 的性质
唯一性
求极限的常用方法
极限的性质
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1、极限的定义
定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么 小),总存在正数 N ,使得对于 n N 时的一切x n ,不
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3、极限的性质
定理 设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则
(1) lim[ f ( x ) g ( x )] A B; ( 2) lim[ f ( x ) g ( x )] A B; f ( x) A ( 3) lim , 其中B 0. g( x ) B 推论1 如果 lim f ( x )存在, 而c为常数, 则
d.利用无穷小运算性质求极限;
e.利用左右极限求分段函数极限.
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5、判定极限存在的准则
准则Ⅰ′ 如果当 x U ( x 0 , r ) (或 x M )时,有
0
(1) g ( x ) f ( x ) h( x ), ( 2) lim g ( x ) A, lim h( x ) A,