东莞理工学院（本科）A 卷试卷答案与评分标准2009 --2010 学年第二学期《高等数学AII(本)》试卷一、（共70分 第1—21题每空3分，第22题1分）1. 微分方程y x y +='10的通解是C y x =+-1010（C 为任意常数）。
2.微分方程032=-'-''y y y 的通解为xx e C e C y 321+=-3. 微分方程x e y y y =-'+''32的特解形式是x bxe y =*，则 微分方程x e y y y =-'+''32的通解为xx x xe e C e C y 41321++=-4. 向量}1 ,2 ,1{=a与}1 ,1 ,2{-=b 的夹角为：3π5.过点)3 ,2 ,1(，且与平面0432=-++z y x 平行的平面方程为0)3(3)2(2)1(=-+-+-z y x .6. 直线⎩⎨⎧=-+=--0306:z y y x L 的单位方向向量为)1,1,1(33-±7 ．yoz 坐标面上的曲线1322222=-z y 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为13222222=-+z y x 。
8. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧===tz t y t x 23 在点（1，1，1）处的切线方程为：112131-=-=-z y x 9.球面1222=++z y x 在点)33,33,33(处的法线方程为：333333-=-=-z y x .10． 设函数z xy x z y x f ++=2),,(2，则),,(z y x f 的梯度：=),,(grad z y x f )1,2,22(x y x +，),,(z y x f 沿}4 ,3 ,0{=a的方向导数a z y x f ∂∂),,(= 5456+x ，11．设y x z =，则=z d )lnxd d (1y x x yx y y +-． 12. 设1345=+-yz xz z ， 则=∂∂)0,0(xz1/513. ⎰+Lds y )1(= a π2，⎰+Ldx y )1(=2a π-,其中L 为正向圆周线12222=+a y a x 14.设闭区域D ={}122《），（y x y x +，则二重积分=+⎰⎰Dy x y x d )d (22π21． 15.将三重积分⎰⎰⎰Ωz y x z y x f d d d ),,(化为直角坐标系下的三次积分为⎰⎰⎰---yx xz z y x f y x 101010d ),,(d d ，其中闭区域Ω是由平面10,0,0=++===z y x z y x 与平面所围成部分．16． 闭区域Ω由曲面222y x z +=及平面1=z 所围成，利用柱面坐标系计算三重积⎰⎰⎰Ω+v x )d y (22=10π17. 已知数项级数1)1(1+-∑∞=n nn n，则该级数是_发散_____（绝对收敛，条件收敛，发散）． 18．已知正项级数11sin2n n ∞=∑，则该级数是__收敛__（收敛、发散）. 19.已知正项级数1232nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑，则该级数是_收敛____（收敛、发散）。
20．级数∑∞=-2ln )1(n nn 是条件收敛 的（发散，绝对收敛，条件收敛）；21.幂级数∑∞=1n nnx 的收敛域是)1,1[-． 22. 设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<≤<-=,0,0,6)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在0=x 处收敛于3．(此题得分1分)二、计算题（共30分 每题6分）1. 求微分方程x y y =-'满足初始条件10-==x y 的特解. 解：为一阶线性微分方程， )d )((d )(d )(C x e x Q ey x x p xx p +=⎰⎰⎰- （2分）)d (d d C x e x e xx +⎰⎰=-⎰)d (C x e x e x x +=-⎰ （2分）)(C e xe e x x x +--=--，将10-==x y 代入，得0=C ，故满足条件的特解为1--=x y 。
（2分）2．计算dy y xe dx x e y Ly )2()(-++⎰，其中L 是下半圆周0,222≤=+y x y x 逆时针方向的弧段．解： 设1L 是X 轴上由点（2，0）到（0，0）的有向线段， 原式=dy y xe dx x e y L L y )2()(1-++⎰+- dy y xe dx x e y L y )2()(1-++⎰=σd D⎰⎰0 - dy y xe dx x e y L y )2()(1-++⎰ (４分)4d )1(2=+=⎰x x (2分)3．设∑是上半球面{},1),,(222≥=++z z y x z y x 的上侧,则dxdy z y y x dzdx z y x dydz xz )122()(2322++++∑-+⎰⎰． 解： 令1∑是圆面{}0,1),,(22=≤+z y x z y x ，方向为下侧， 原式=dxdy z y y x dzdx z y x dydz xz)122()(23221++++∑∑-+⎰⎰+- dxdy z y y x dzdx z y x dydz xz )122()(23221++++∑-+⎰⎰ (2分)⎰⎰⎰≥≤++++=,1222222)(z z y x dv z y x+π (2分)= π57(2分)4． 求幂级数1n n nx ∞=∑的收敛域及其和函数. 解：11limlim 1n n n na n R a n +→∞→∞+===，易知收敛域为(1,1)-。
（2＇） 111()nn n n S x nx x nx ∞∞-====∑∑ 1()n n x x ∞='=∑1()n n x x ∞='=∑ (2)'()1xx x '=-()21x x =- (2)'。
5. 求函数x y x y x y x f 933),(2233-++-=的极值．解：⎪⎩⎪⎨⎧=+-==-+=063),(0963),(22y y y x f x x y x f y x得驻点 )2,3(),0,3(),2,1(),0,1(-- (3分)66),(+=x y x f xx 0),(=y x f xy 66),(+-=y y x f yy在点)0,1(处，0,0722><-=-A AC B 故)0,1(f =-5是极小值， 在点)0,3(),2,1(-处，,02>-AC B 故这两点不是极值点，在点)2,3(-处，0,062<<-=-A AC B 故)2,3(-f =31是极大值 (3分)东莞理工学院（本科）B 卷试卷答案与评分标准2009 --2010 学年第二学期一、（共70分 1-20题 每空3分,最后一空1分）1. 微分方程02=-'xy y 的通解是2x Ce y =（C 为任意常数）。
2. 微分方程x e y y y 22=+'-''的通解为xx x e xe C e C y 221++=3. 向量}1 ,2 ,1{=a 与}1 ,1 ,2{-=b 的向量积b a⨯为： )3,3,3(-- 4. 直线⎩⎨⎧=-+=--0306:z y y x L 的与平面04=--+z y x 的夹角为05 ．03222222=-+z y x ，该曲面称为锥面 （椭球面，抛物面，双曲面，锥面） ， 曲面过点（2，0，3）处的切平面方程为: 01223=-+z x .6. 螺线⎪⎩⎪⎨⎧===tz t y t x c o s s i n在点（22，22，π/4）处的切线方程为：1422222222π-=-=-z y x7． 设函数z y x z y x f 32),,(2++=，则),,(z y x f 的梯度：=)1,1,1(),,(grad z y x f )3,2,2(，),,(z y x f 沿}4 ,3 ,0{=a的方向导数)1,1,1(),,(az y x f ∂∂=522， 8．设525222=++z y x ， 则=z d y zy x z x d 2d 5--． 9. ds y x L⎰+)(= 24，其中L 为直线2=+y x 在第一象限的线段。
10. ⎰+L x y x 2y)d -(22= 22a π-，其中L 为正向圆周线12222=+ay a x11.σd y x D⎰⎰+2)(=2/π，其中积分区域D 是 由122=+y x 所围成．12dS y x ⎰⎰∑++)1(=π4，其中积分区域∑是1222=++z y x 决定的球面. 13． 闭区域Ω由曲面22y x z +=及平面1=z 所围成，利用柱面坐标系计算三重积⎰⎰⎰Ω+v x )d y (22=354π 14. 交换二次积分的次序：210d (,)d x x f x y y ⎰⎰1(,)d x f x y y +⎰⎰=⎰⎰-221),(y ydx y x f dy15. 已知数项级数11)1(1+-∑∞=n n n，则该级数是_条件收敛_____（绝对收敛，条件收敛，发散）． 16．已知正项级数2/31)1(1+∑∞=n n ，则该级数是__收敛__（收敛、发散）.17.已知正项级数2/11)1(1+∑∞=n n ，则该级数是_发散____（收敛、发散）。
18．级数∑∞=-22)1(n n n是绝对收敛 的（发散，绝对收敛，条件收敛）19.级数∑∞=-2ln )1(n nn 是条件收敛的（发散，绝对收敛，条件收敛）20.级数nn n x n ∑∞=--11)1(的收敛域是(-1,1]，它的和函数为)1ln(+x ．21. 设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<≤<-=,0,0,2)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在0=x 处收敛于1．(此题得分1分)二、计算题（共30分 每题6分）1. 求微分方程x xy y =-'2满足初始条件10==x y 的特解.解：为一阶线性微分方程，)d )((d )(d )(C x e x Q e y xx p x x p +⎰⎰=⎰- （1分）)d (2x d2x dC x e x e x x +⎰⎰=-⎰)d (22C x e x e x x +=-⎰ （2分）221x Ce +-=， 将10==x y 代入，得2/3=C ， （1分）故满足条件的特解为22321x e y +-=。
（1分）2．计算dy x y x dx xy x L)2()(2+-++⎰，其中L 是上半圆周0,122≤=+y y x 逆时针方向的弧段．解： 设1L 是X 轴上由点（-1，0）到（1，0）的有向线段， 原式=dy x y x dx xy x L L )2()(21+-++⎰+- dy x y x dx xy x L )2()(21+-++⎰=σd x D)1(⎰⎰+ - dy x y x dx xy x L )2()(21+-++⎰ (4分)12211-=-=⎰-ππxdx (2分)3．∑是柱面{}10,1),,(22≤≤=+z y x z y x 的的外侧,则dxdy z y x dzdx y x dydz xz )122(22++++∑+⎰⎰= 解： 令1∑是圆面{}0,1),,(22=≤+z y x z y x ，方向为下侧，2∑是圆面{}1,1),,(22=≤+z y x z y x ，方向为上侧， 原式=dxdy z y x dzdx y x dydz xz )122(2122++++∑∑∑+⎰⎰++ - dxdy z y x dzdx y x dydz xz )122(122++++∑+⎰⎰-dxdy z y x dzdx y x dydz xz )122(222++++∑+⎰⎰ (2分) ⎰⎰⎰≥≥≤+++=1,12222)1(z y x dv y x+π - 2π (2分)= π32(2分)4． 求幂级数∑∞=++11)1(1n n x n n 的收敛域及其和函数.解：1lim1==+∞→nn n a a R ，易知收敛域为[-1，1]。