实验2 方程模型及其求解算法一、实验目的及意义[1] 复习求解方程及方程组的基本原理和方法；[2] 掌握迭代算法；[3] 熟悉MATLAB软件编程环境；掌握MATLAB编程语句(特别是循环、条件、控制等语句)；[4] 通过范例展现求解实际问题的初步建模过程；通过该实验的学习，复习和归纳方程求解或方程组求解的各种数值解法（简单迭代法、二分法、牛顿法、割线法等），初步了解数学建模过程。

这对于学生深入理解数学概念，掌握数学的思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。

二、实验内容1．方程求解和方程组的各种数值解法练习2．直接使用MATLAB命令对方程和方程组进行求解练习3．针对实际问题，试建立数学模型，并求解。

三、实验步骤1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口；2．根据各种数值解法步骤编写M文件3．保存文件并运行；4．观察运行结果(数值或图形)；5．根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会。

四、实验要求与任务基础实验1．用图形放大法求解方程x sin(x) = 1. 并观察该方程有多少个根。

画出图形程序：x=-10:0.01:10;y=x.*sin(x)-1;y1=zeros(size(x));plot(x,y,x,y1)MATLAB运行结果：-10-8-6-4-20246810-8-6-4-22468扩大区间画图程序：x=-50:0.01:50;y=x.*sin(x)-1;y1=zeros(size(x));plot(x,y,x,y1)MATLAB 运行结果：-50-40-30-20-1001020304050由上图可知，该方程有偶数个无数的根。

2．将方程x 5+5x3- 2x + 1 = 0 改写成各种等价的形式进行迭代，观察迭代是否收敛，并给出解释。

（1）画图：x1=-6:0.01:6;x2=-3:0.01:3;x3=-1:0.01:1;x4=-0.8:0.01:-0.75;y1=x1.^5 +5*x1.^3-2*x1+1;y2=x2.^5 +5*x2.^3-2*x2+1;y3=x3.^5 +5*x3.^3-2*x3+1;y4=x4.^5 +5*x4.^3-2*x4+1;subplot(2,2,1),plot(x1,y1),title('子图(1)') ,grid on,subplot(2,2,2),plot(x2,y2),title('子图(2)'),grid on,subplot(2,2,3),plot(x3,y3),title('子图(3)'),grid on,subplot(2,2,4),plot(x4,y4),title('子图(4)') ,grid on,由图可知x 的初值应在（-0.78，0.76）之间。

（2）解：第一步构造迭代函数()x f x=1()x f x =32121555x x x x=-+- 2()x f x = 32521x x x x=-+- 3()x f x = 第二步利用加速迭代收敛法变形后：534241012515x x x x x--+=-- 1()x f x = 62352435322x x x x x x x --=++- 2()x f x = 25328561x x x x x x -+=++- 3()x f x = 第三步迭代设定初值00.75x =-1()n n x f x +=n=0,1,2,3………用 MA TLAB 编程x=-077;y=-0.77;z=-0.77;for k=1:30x=(-4*x^5-10*x^3+1)/(2-5*x^4-15*x^2); y=(2*y^6+4*y^2-3*y)/(5*y^3+3*y^5+2*y-2); z=(8*z^2-2*z)/(z^5+5*z^3+6*z-1); x,y,z;end迭代结果为：x =-61.5948y =-0.7685z =-0.7687x =-49.2694 y =-0.7685 z =-0.7685 x =-39.4074 y =-0.7685 z =-0.7685 x =-31.5158 y =-0.7685 z =-0.7685 x =-25.2000 y =-0.7685 z =-0.7685 x =-20.1442 y =-0.7685 z =-0.7685 x =-16.0957 y =-0.7685 z =-0.7685 x =-12.8521 y =-0.7685 z =-0.7685 x =-10.2512 y =-0.7685 z =-0.7685 x =-8.1634 y =-0.7685-0.7685 x =-6.4844 y =-0.7685 z =-0.7685 x =-5.1311 y =-0.7685 z =-0.7685 x =-4.0373 y =-0.7685z =-0.7685 x =-3.1508 y =-0.7685 z =-0.7685 x =-2.4323 y =-0.7685 z =-0.7685 x =-1.8546 y =-0.7685z =-0.7685 x =-1.4028 y =-0.7685 z =-0.7685 x =-1.0737 y =-0.7685 z =-0.7685 x =-0.8700 y =-0.7685 z =-0.7685 x =-0.7840 y =-0.7685 z =-0.7685 x =-0.7689 y =-0.7685 z =-0.7685 x =-0.7685 y =-0.7685 z =-0.7685 x =-0.7685 y =-0.7685 z =-0.7685 x =-0.7685 y =-0.7685 z =-0.7685 x =-0.7685-0.7685 z =-0.7685 x =-0.7685 y =-0.7685 z =-0.7685 x =-0.7685 y =-0.7685 z =-0.7685 x =-0.7685y =-0.7685z =-0.7685x =-0.7685y =-0.7685z =-0.7685x =-0.7685y =-0.7685z =-0.7685因此方程的解为 -0.7685.3．求解下列方程组121212222123121312312(1)25712(2)31102400x x x x e x x e x x x x x x x x x x x --⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩⎧-+=-⎪+-=⎨⎪+=⎩(1)程序：[x1,x2]=solve('2.*x1-x2=exp(-x1),-x1+2.*x2=exp(-x2)')MATLAB运行结果：x1 =.56714329040978387299996866221036x2 =.56714329040978387299996866221036（2）程序[x1,x2,x3]=solve('x1^2-5*x2^2+7*x3^2+12,3*x1*x2+x1*x3-11*x1,2.*x2*x3+40*x1') MATLAB运行结果：x1 =0.0.0.0.1. -387.00943364216191174841684720677+32.703483593366328482166316712807*i -387.00943364216191174841684720677-32.703483593366328482166316712807*i -.31446604900950983649963891979635x2 =-1.5491933384829667540717061599130 1.5491933384829667540717061599130 0.0.5. -.31228791210131965952830872704551-50.806549482970160848437610559089*i -.31228791210131965952830872704551+50.806549482970160848437610559089*i 2.9579091575359726523899507874243x3 =0.0.1.3093073414159542875965849124937*i -1.3093073414159542875965849124937*i -4. 11.936863736303958978584926181137+152.41964844891048254531283167727*i 11.936863736303958978584926181137-152.41964844891048254531283167727*i2.1262725273920820428301476377270 直接使用MATLAB 命令：solve()和fsolve()对方程组求解。

4．迭代以下函数，分析其收敛性。

任选一个完成。

使用线性连接图、蛛网图或分枝与混沌图对参数a 进行讨论与观察，会得到什么结论？选择2）线性连接图：源代码：>> a=0.5;x=[];x(1)=0.5;for i=2:20x(i)=a*sin(x(i-1));endn=1:20;subplot(2,2,1),plot(n,x),title('a=0.5,x0=0.5')图：05101520a=0.5,x0=0.5应用实验（以下四个问题，至少完成一个）1．油价与船速的优化问题;)()3);sin()()2;)()()142a x x f x a x f a x a x f -==--=油价的上涨，将影响大型海船确定合理的航行速度，以优化航行收入。

直观地，油耗的多少直接影响船速的快慢，因而直接影响航行时间的长短，进而影响支付船员人工费用数量。

过去有一些经验表明：(1) 油耗正比于船速的立方；(2) 最省油航速的基础上改变20%的速度；则引起50%的油耗的变化。

作为一个例子：某中型海船，每天油耗40吨，减少20%的航速，省油50%、即20吨。

每吨油价250美元，由此每天减少耗油费用5000美元，而航行时间的增加将增加对船员支付的费用的增加，如何最优化?算例：航程L=1536海里，标准最省油航速20节，油耗每天50吨，航行时间8天。

最低航速10节，本次航行总收入为84600美元。

油价250美元/吨，日固定开支1000美元。

试确定最佳航速。

2. 炮弹发射角的问题炮弹发射视为斜抛运动，已知初始速度为200 m/s，问要击中水平距离360m、垂直距离160m 的目标，当忽略空气阻力时，发射角应多大？此时炮弹的运行轨迹如何？试进行动态模拟。