极限和连续试题（A 卷）
1.选择题（正确答案可能不止一个）。

（1）下列数列收敛的是（）。

A.n n x n
n 1
)
1( B.n
x n
n
1)
1(C.
2
sin
n x n
D.n
n
x 2
（2）下列极限存在的有（）。

A.x x sin lim
B.x
x x
sin 1
lim C.
1
2
1lim 0
x
x D.1
21
lim 2n n
（3）下列极限不正确的是（）。

A.
2
)
1(lim 1
x x
B.
1
1
1lim 0
x x C.2
1
2
4
lim x x
D.
x
x
e
20
lim （4）下列变量在给定的变化过程中，是无穷小量的有（）。

A.)
0(12
x x
B.
)
0(sin x x
x
C.)
(x e
x
D.
)
0()1sin 2(1
2
x x
x x
（5）如果函数
.
0;0;0,1sin ,,sin 1
)
(x
x x b x
x a x x x f 在0x 处连续，则b a 、的值为（
）。

A.0,0b a
B.1,1b a
C.0
,1b
a
D.
1
,0b
a 2.求下列极限：（1）)13(lim 2
3
1
x x
x
；（2）
)523(lim 2
2
x
x
x
；
（3）)3
11
(lim 0
x
x
；
（4）x
x
x x
2
2
3lim
；
（5）38lim
2
3
x
x
x
；
（6）416lim
2
4
x x
x
；
（7）1
21lim
2
2
1
x x
x
x
；
（8）2
2lim
2
x
x x
；
（9）x
x x
1
1lim
；
（10）x x x
cos lim
；
（11）x
x x
x
x
3
3
313lim
；
（12）x
x x x
x
4
4
51
3lim
；
（13）x
x x x
x
4
3
1
33lim
；
（14）1
1
39lim
2
3
x x x
x
；
（15）x
x
x
33sin
lim
. 3.设2
3
2
()21
013(1)1x x f x x
x
x x
，
，，，求)(lim 1
x f x
，)(lim 0
x f x
，)(lim 2
1x f x
，)(lim 3
x f x 。

4.证明：
)0(~sin x
x x x 。

5.求下列函数的连续区间：（1）
2
9)
3ln(x x y ；
（2）
.
1;1,1,122
x
x x
x y
6.证明2
2lim
2
x
x x
不存在.
7.设
.
0;0,
1sin ,
1
sin )
(x
x x
x x x f 求)(x f 在0x 时的左极限，并说明它在0x 时
右极限是否存在？
8.证明)1
2
1
1
1(
lim 2
2
2
n
n
n
n
n
存在并求极限值。

9.若0)
1
1
(
lim 2
b ax x x
x
，求b a 、的值。

答案
1.（1）B ；（2）BD ；
（3）C ；
（4）ACD ；（5）B.
2.（1）-1；（2）3；（3）3
2
；（4）
6
1
；（5）；（6）8；
（7）
3
2；（8）
2
21；（9）
2
1；（10）0；（11）
3
1；（12）
5
1；
（13）0；（14）
；（15）9
1
.
3.3)
(lim
1
x f x
, )
(lim 0
x f x 不存在,
23
)
(lim 2
1x f x
, 11)(lim 3
x f x .
5.（1）)3,3[；（2）),1()1,(
.
7.)(x f 在
0x 时的左极限为0，在0x 时右极限不存在。

8.极限值为 1. 9.11a
b
,.。