[
] ]
=−
d r [∇ ⋅ ( ψ 2m ∫
2 3
2
∇ψ 1* − ψ 1*∇ψ 2 ) − (∇ψ 2 ) ⋅ (∇ψ 1* ) + (∇ψ 1* ) ⋅ (∇ψ 2 ) ∇ψ 1* − ψ 1*∇ψ 2 )
=−
d r [∇ ⋅ ( ψ 2m ∫
2 3
2
]
=−
即
2m ∫
2
(ψ
2
∇ψ 1* − ψ 1*∇ψ 2 ) ⋅ dS = 0 ， （无穷远边界面上，ψ 1 ,ψ 2 → 0 ）
（1）
（2）
取（1）之复共轭：
−i
（3）
4
似水骄阳
ψ 2 × （3） − ψ 1* × （2）,得
对全空间积分：
−i
2 ∂ * ( ψ 1ψ 2 ) = − ( ψ 2 ∇ 2ψ 1* − ψ 1*∇ 2ψ 2 ) ∂t 2m
−i
2 d 3 * ( ) ( ) d r ψ r t ψ r t = − d 3 r ψ 2 ∇ 2ψ 1* − ψ 1*∇ 2ψ 2 , , 1 2 ∫ ∫ dt 2m
T=
2m ∫
2
d 3 r∇ψ * ⋅ ∇ψ
2
（3）
结合式（1） 、 （2）和（3） ，可知能量密度
ω=
2m
∇ψ * ⋅∇ψ + ψ *Vψ ,
（4）
且能量平均值
E = ∫ d 3r ⋅ω 。

（b）由（4）式，得
⎤ 2 ⎡ ∂ω ⎢∇ ∂ψ ∗⋅∇ψ + ∇ψ * ⋅∇ ∂ψ ⎥ + ∂ψ ∗ Vψ + ψ *V ∂ψ = ∂t 2m ⎢ ∂t ∂t ⎥ ∂t ∂t ⎣ ⎦ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ 2 ⎡ ∂ψ ∗ ∂ψ ∂ψ 2 * ⎟ ⎥ ∂ψ ∗ ∂ψ * ⎟ ⎜ ∂ψ ∗ 2 ⎢ ⎜ Vψ + ψ *V = ∇⋅ ∇ψ + ∇ψ − ∇ψ + ∇ψ + ⎟ ⎜ ∂t ⎟⎥ 2m ⎢ ⎜ ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎝
d ∫∫∫ τ
3
rψ *ψ
（2）
ψ * × （1）-ψ × （2）,得
2 ∂ * ( ( ψ ψ )= − ψ *∇ 2ψ − ψ∇ 2ψ * ) + 2iψ *V2ψ i ∂t 2m
=−
2
2m
∇⋅( ψ *∇ψ − ψ∇ψ * ) + 2iV2ψ *ψ
∴
2V ∂ * ψ ψ =− ∇ ⋅ ψ *∇ψ − ψ∇ψ * + 2 ψ *ψ ∂t 2im
0, 0 < x < a, 0 < y < b V ( x, y ) = ⎧ ⎨ 其余区域 ⎩ ∞,
求粒子的能量本征值和本征波函数。如 a = b ，能级的简并度如何？ 解：能量的本征值和本征函数为
E nx n y =
2 nx ( 2m a 2
2
π2
+b )
2
2 ny
ψn n =
x y
若 a = b ，则
2 2
2
∝1 t 。
2
设整个波包中最强的动量成分为 k 0 ，即 k = k 0 时 ϕ (k ) 最大，由（4）式可见，当 t 足够大以后， ϕ 的 最大值出现在 mx
t = k 0 处，即 x = k 0 t m 处，这表明波包中心处波群的主要成分为 k 0 。
第三章 一维定态问题
3.1）设粒子处在二维无限深势阱中，
2
2 2 因而平面转子的能量 E m = pϕ / 2 I = m
/ 2I ，
m = 1, 2 , 3 ,
第二章 波函数与 Schrödinger 方程
2.1 设质量为 m 的粒子在势 （a）证明粒子的能量平
V (r ) 中运动。
E = ∫ d 3r ⋅ ω ，
（能量密度）
值为
2
ω=
2m
∇ψ *ψ + ψ *Vψ ∂ω +∇⋅s = 0 ∂t
(
)
waterysun
( ) ( (ψ 2im ∫∫
S
)
=−
*
∇ψ − ψ∇ψ * ⋅ dS +
)
2
d ∫∫∫ τ
3
rV2ψ *ψ
）， 而第二项代表体积 τ 中 “产
（= − 上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积 τ 的几率 生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。 2.3 设ψ 1 和ψ 2 是 Schrödinger 方程的两个解，证明
2 / 2I 。 , pϕ 是平面转子的角动量。转子的能量 E = pϕ
解：平面转子的转角（角位移）记为 ϕ 。 ， pϕ 是运动惯量。按量子化条件 它的角动量 pϕ = I ϕ （广义动量）
.
∫
∴
2π
0
pϕ dϕ
pϕ = mh ，
waterysun
= 2π pϕ = mh, m = 1, 2 , 3 ,
d d 3 rψ 1* r ,.t ψ 2 r , t = 0 。 ∫ dt
ip0 x /
( ) ( )
⎛ p2 ⎞ i ⎜ p0 x − 0 t ⎟ / ⎜ m ⎟ 2 ⎝ ⎠
2.4 设一维自由粒子的初态ψ ( x,0 ) = e
， 求ψ ( x, t ) 。
解：
ψ ( x, t ) = e
2.5 设一维自由粒子的初态ψ ( x,0 ) = δ ( x ) ，求 ψ ( x, t ) 。
waterysun
2 ⎛ ⎞ − ∇ 2 + V ⎟ψ * ⎜ ⎝ 2m ⎠
= −∇ ⋅ s +
2 ⎞ ∂ψ ∗ ⎛ ∂ψ − ∇ 2 + V ⎟ψ + ⎜ ∂t ⎝ 2m ∂t ⎠
⎛ ⎞ ∂ψ ∗ ∂ψ * ⎟ = −∇ ⋅ s + E ⎜ ψ ψ+ ⎜ ∂t ⎟ ∂t ⎝ ⎠ = −∇ ⋅ s + E ∂ ρ ∂t
2 n nh = mωπ mω
（3）
代入（2） ，解出
En = n ω, a 2 − u 2 du =
n = 1, 2 , 3 ,
（4）
积分公式：
∫
∫
2π
u a2 u a2 − u2 + arcsin + c 2 2 a
1.4 设一个平面转子的转动惯量为 I，求能量的可能取值。 提示：利用
0
pϕ dϕ = nh, n = 1, 2 ,
.
由此得
a = 2 E / mω 2 ，
（2）
x = ± a 即为粒子运动的转折点。有量子化条件 1 2 2 2 2 2 ∫ p ⋅ dx = 2 −∫a 2m( E − 2 mω x ) dx = 2mω −∫a a − x dx = 2 mω a 2 ⋅
得a =
2 +a +a
π
2
= mωπ a 2 = n h
（1）
当时间足够长后（所谓 t → ∞ ） ，上式被积函数中的指数函数具有 δ 函数的性质，取
α = t 2m ，
参照本题的解题提示，即得
mx ⎞ ⎛ u = ⎜k − ⎟， t ⎠ ⎝
（2）
ψ ( x, t ) ≈
1 2π
e
imx 2 2 t
2πm −iπ / 4 mx ⎞ ⎛ ⋅ e ϕ (k )δ ⎜ k − ⎟d k ∫ t t ⎠ ⎝ −∞
（3）
6
+∞
=
m −iπ / 4 imx 2 / 2 t ⎛ mx ⎞ ϕ⎜ ⎟ e e t ⎝ t ⎠
似水骄阳
ψ ( x, t )
2
m ⎛ mx ⎞ ≈ ϕ⎜ ⎟ t ⎝ t ⎠
2
（4）
物理意义：在足够长时间后，各不同 k 值的分波已经互相分离，波群在 x 处的主要成分为 k = mx
t ，即
x = kt m ，强度 ∝ ϕ (k ) ，因子 m t 描述整个波包的扩散，波包强度 ψ
（b）证明能量守恒公式
s =−
证： （a）粒子的能量平
⎛ ∂ψ * ⎞ ∂ψ ⎜ ∇ψ + ∇ψ * ⎟ ⎜ ⎟ 2m ⎝ ∂ t ∂t ⎠
2
（能流密度）
值为（设ψ 已归一化）
似水骄阳
2
2 ⎛ ⎞ 3 2 − E = ∫ψ * ⎜ ⎜ 2m ∇ + V ⎟ ⎟ψ d r = T + V ⎝ ⎠
（1）
∫e
dp
（指数配方）
e
imx 2 2 t
2 ⎡ it ⎛ mx ⎞ ⎤ − ⎜p− ⎟ ⎥ dp ∫ exp⎢ t ⎠ ⎦ ⎢ 2m ⎝ ⎥ −∞ ⎣
+∞
似水骄阳
5
令
ξ2 =
t ⎛ mx ⎞ ⎜p− ⎟ ，则 t ⎠ 2m ⎝
2
ψ ( x, t ) =
= =
1 2π 1 2π
e
imx 2 2 t
2m ⋅ t
（ ρ ：几率密度）
= −∇ ⋅ s
所以
（定态波函数，几率密度 ρ 不随时间改变）
∂ω +∇⋅s = 0 。 ∂t
2.2 考虑单粒子的 Schrödinger 方程
i
V1 与 V2 为实函数。
2 ∂ ψ (r , t ) = − ∇ 2ψ (r , t ) + [V1 (r ) + iV2 (r )] ψ (r , t ) ∂t 2m
∫∫ j ⋅ dS
d * d 3 rψ 1 (r , t ) ψ 2 (r , t ) = 0 。 ∫ dt
证：
∵ i
2 ⎞ ∂ψ 1 ⎛ =⎜ − ∇2 +V ⎟ ⎟ψ 1 ⎜ ∂t ⎠ ⎝ 2m 2 ⎞ ∂ψ 2 ⎛ i =⎜ − ∇2 + V ⎟ ⎟ψ 2 ⎜ ∂t ⎠ ⎝ 2m 2 ⎞ * ∂ψ 1* ⎛ 2 ⎟ =⎜ − ∇ + V ⎟ψ 1 ⎜ 2m ∂t ⎠ ⎝