等差数列前n项和基础
练习题
公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-
等差数列性质总结
1.等差数列的定义式：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式：
*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a
推广：
d m n a a m n )(-+=． 从而
m
n a a d m
n --=
；
3．等差中项
（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：
2
b a A +=
或b a A +=2
（2）等差中项：数列{}n a 是等差
数列
+-112(2,n N )
n n n a a a n +⇔=+≥∈212+++=⇔n n n a a a
4．等差数列的前n 项和公式： （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）
特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项
()()()121211
21212
n n n n a a S n a +++++=
=
+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）
5．等差数列的判定方法
（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．
（2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列
)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．
⑶数列{}n a 是等差数列
⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。
6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或
d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列
等差中项性质法：
-112(2n )n n n a a a n N ++=+≥∈，． 7.提醒：
（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）设项技巧：
①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；
③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ）
8.等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式
11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和
211(1)()222
n n n d d
S na d n a n -=+
=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.
（2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。
（3）当m n p q +=+时,则有
q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.
注：
12132n n n a a a a a a --+=+=+=⋅⋅⋅，
（4）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则
{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列
(5) 若{n a }是等差数列，则
232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列 （6）数列{}n a 为等差数列,每隔k(k ∈*N )项取出一项
(23,,,,m m k m k m k a a a a +++⋅⋅⋅)仍为等差数列 （7）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和。
当项数为偶数n 2时，。
当项数为奇数12+n 时，则 （其中a n+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）．
（8）{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且
()n
n
A f n
B =， 则2121
(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--.
（9）等差数列{}n a 的前n 项和m S n =，前m 项和n S m =，则前m+n 项和
()m n S m n +=-+
a ,,n m m a n ==则a 0n m +=
(10)求n S 的最值
法一：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*n N ∈。
法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和
即当，，001<>d a 由⎩⎨
⎧≤≥+00
1
n n a a 可得
n S 达到最大值时的n 值．
（2） “首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。
即 当，，001><d a 由⎩⎨
⎧≥≤+0
1n n a a 可得
n S 达到最小值时的n 值．
或求{}n a 中正负分界项
注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：
①基本量法：即运用条件转化为关于1a 和d 的方程；
②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量． 等差数列前n 项和练习题 一、填空题
1.等
差数列{}n a 的前
n 项和
n n S n 32+=．则此数列的公差
=d 。
2.等差数列{}n a 的前n
项和为n S ，且
53655,S S -=则4a = 。
3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若
972S =,则249a a a ++= 。
4.已知{}n a 为等差数列，2812a a +=，则5a = 。
5.已知{a n }为等差数列，a 3 + a 8 = 22，
a 6 = 7，则a 5 = ____________。
6.等差数列{a n }的前
n 项和为S n ，且S 3
＝6，a 3＝4，则公差d = 。
7.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若246,30,S S ==则6S = 。
8.等差数列{}n a 的前
n 项和为n S ，已知
57684,2a a a a +=+=-，则当n S 取最大值
时n 的值是 。
9.设{}n a 是公差为正数的等差数列，若
12315
a a a ++=，
12380
a a a =，则
111213a a a ++= 。
10.在
等差数列{}n a 中，已知
1234520
a a a a a ++++=，那么3a 的值
为 。
11.已知数列{a n }的前
n 项和S n ＝3n 2－
2n ，求=n a 。
12.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若
535a a =则95
S
S = 。
13.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若
972S =,则249a a a ++= 。
二、计算题
1.已知等差数列{n a }中， 1a ＝１，
d =1，求该数列前10项和10S 。
2.已知等差数列{n a }的公差为正数，且
1273-=⋅a a ，464-=+a a ，求20S 。
3.等差数列{n a }中，10S = 100，求
101a a +的值。
4.等差数列{n a }的前
m 项的和为 30 ，
2m 项的和为 100 ，求它的前3m 项的和 。
5.已知数列{n a }，若132+=n a n ，求n
S 达到最大值时n 的值，并求n S 的最大值。
6.由下列等差数列的通项公式，求出首项、公差和前n 项和。
（1）63+=n a n ; (2). 7
2+-=n a n
7. (1) 设等差数列{n a }的通项公式是3n －2，求它的前n 项和公式；
(2) 设等差数列{n a }的前n 项和公式
是n n S n 352+=，求它的前3项，并求它的通项公式。