2、矢量相加和相减可用平行四边形法则求解：
A B
B
A
B
A
AB
B
矢量的乘法
1）矢量与标量相乘
v kA
evx
kAx
evykAy
evzkAz
evAvk
v A
标量与矢量相乘只改变矢量的大小，不改变方向。
2）矢量与矢量点乘
A B | A || B | cosAB Ax Bx Ay By Az Bz
设矢量 A与三个坐标轴 x, y, z 的夹角分别为, , ，则
z
Ax Acos
Ay Acos
v Az
v A
Az Acos
A A(ex cos ey cos ez cos ) 任一方向的单位矢量为
v Ax
o
eA ex cos ey cos ez cos x
v Ay
y
2
2.位置矢量
R2 [(x x)2 ( y y)2 (z z)2 ]
3
3.矢量的代数运算
v A
evx
Ax
evy
Ay
evz
Az
v B
evx
Bx
evyLeabharlann ByevzBz
矢量的加法和减法
v A
v B
evx
( Ax
Bx
)
evy (Ay
By
)
evz
( Az
Bz
)
说明：
1、矢量的加法符合交换律和结合律：
vv vv vv v v vv A B B A (A B) C A (B C)
A B | A || B | sin AB en Ax
Ay
Az
Bx
By
Bz
A B
B
AB sin
A
ex ( Ay Bz Az By ) e y ( Az Bx Ax Bz ) ez ( Ax By Ay Bx )
“模”：| A B || A B sinAB |
方向：“右手螺旋法则”
矢量 r :点P的位置矢量。
z
r xe x ye y zez
矢量 r :点P’的位置矢量。
r xex ye y zez
矢量 R:点P相对于点P’的
相对位置矢量。
x
r R r
R r r
R P(x,y,z)
P’(x’,y’,z’)
r r
o
y
R ( x x)e x ( y y)e y (z z)e z
rA Axrex Ay ery Az erz d r dxex dye y dzez
1.1 标量场和矢量场
一、矢量代数
1.矢量与标量
标量：只有大小，没有方向的物理量(电压U、电荷量Q、能量W等）
矢量：既有大小，又有方向的物理量（作用力，电、磁场强度）
矢量的代数表示
vv v vv
FEH BD
矢量可表示为：Av evA v
v A
其中 eA
A A
A 为模值，表征矢量的大小；
evA 为单位矢量，表征矢量的方向；
A(BC) A B AC
A B B A
(0 )
A(BC) AB AC A B | A|| B | sin en
ex A B Ax
Bx
ey
ez
Ay
Az
By
Bz x
A (BC) B (C A) C (A B)
(A B)C A(B C)
A(BC) (A B)C
A(BC) (A C)B (A B)C
矢量三重积A (B C) ( A C)B ( A B)C 8
矢量代数运算式
ur r r r
A ur
Ax
ex r
Ay
ey r
Az
ez r
B ur
Bx
ex r
By
ey r
Bz
ez r
C Cx ex Cy ey Cz ez
A B B A
A (B C) (A B) C
A B B A | A|| B | cos
A
矢量的几何表示
矢量的几何表示：用一条有方向的线段来表示
说明：矢量书写时，印刷体为场量符号加粗，如 E。教材
上的矢量符号即采用印刷体。
1
在直角坐标系中，如果矢量在 x, y, z 三个坐标轴上 的投影分别为 Ax , Ay , Az ，则矢量 A 表示为
A Axex Ayey Azez
| A | Ax2 Ay2 Az2
标量场 矢量场
12
2．标量场的等值面
由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。
若标量函数为 u u(x, y, z) ，则等值面方程为：
u(x, y, z) c const
高度场的等高线
13
3.矢量场的矢量线
矢量线：表示矢量在空间分布的有向线段。 矢量线的疏密表征矢量场的大小； 矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向。
10
二、标量场与矢量场
1．标量场和矢量场的概念
“场”概念的引入：物理量（如温度、电场、磁场） 在空间以某种形式分布，若每一时刻每个物理量都有 一个确定的值，则称在该空间中确定了该物理量的场。
场的分类： 按物理量的性质分： 1）标量场：描述场的物理量为标量（温度场，电位场）。 2）矢量场：描述场的物理量为矢量（电场，磁场）。
C | C | C C
（2）矢量C是矢量A和B的矢量和：
C AB
C
B
A
C | C |
C
C
C AB
C C (A B)(A B) AA BB2AB
A B A B cos( ) A B cos
C A2 B2 2 AB cos
6
3）矢量与矢量叉乘（矢积）
ex
ey
ez
说明：
v B
v
AB
A
1、矢量的点积符合交换律和分配律：
A B B A A(B C) A B AC
2、两个矢量的点积为标量
3、 ( A B) ( A) B A ( B)
4、 若 A B,则A B 0
5
例：证明“三角形余弦定理”。
C A2 B2 2AB cos （1）C的长度 矢量C的“模”：
按物理量变化特性分：
1）静态场：物理量不随时间发生变化的场。
2）时变场（动态场）：物理量随时间的变化而变化
的场。
11
例如，在直角坐标下,空间区域内的某个物理量满足如 下两个函数：
(x, y, z)
5 4π [(x 1)2 ( y 2)2 z2 ]
如温度场、电位场、高度场等；
A(x, y, z) 2xy2ex x2 zey xyzez 如流速场、电场、涡流场等。
物理含义：
1.“平行四边形面积” 2.“右手法则”
7
说明： 1、矢量的叉积不符合交换律，但符合分配律：
A B B A
A(B C) A B AC
2、两个矢量的叉积为矢量 3、矢量运算恒等式
( A B) ( A) B A ( B) 若A B,则A B 0
标量三重积A (B C) B (C A) C ( A B)