2017-2018年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一） 数 学(理)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷 选择题 (共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+∙柱体的体积公式Sh V =. 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合N M x N x y y M x 则},44|{)},1lg(|{2<=+==等于 （ ）A ．[)+∞,0B ．[)1,0C ．()+∞,1D ．(]1,02. 已知y ,x 满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-305x y x y x ，则y x z 42+=的最小值是( ) A.－6 B.5 C.38 D.－103. 二项式612⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 展开式中的常数项是( )A ．15B ．60C ．120D ．240 4. 对于实数a 和b ，定义运算b a *，运算原理如右图所示，则式子2221e ln *-⎪⎭⎫ ⎝⎛的值为（ ）A ．8B ．10C ．12D ．235. 在ABC ∆中，A C AC BC sin 2sin ,3,5===，则⎪⎭⎫⎝⎛π-4A tan 的值为（ ） A ．31B ．43C ．31- D ．36. 线段AB 是圆10221=+y x C ：的一条直径，离心率为5的双曲线2C 以,A B 为焦点．若P 是圆1C 与双曲线2C 的一个公共点，则PB PA +的值为（ ）A. 152C.7. 已知实数n ,m ，若100=+≥≥n m ,n ,m 且，则1222+++n n m m的最小值为( )A. 41 B.154C.81D. 318. 函数[]11,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x ⎧--∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩,则下列说法中正确命题的个数是（ ）①函数()ln(1)y f x x =-+有3个零点；②若0x >时，函数()kf x x≤恒成立，则实数k 的取值范围是3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭； ③函数()f x 的极大值中一定存在最小值；④()()()N k ,k x f x f k ∈+⋅=22，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9.设i 是虚数单位,复数ii21+= ． 10. 某几何体的三视图如图所示,其俯视图是中心角为60︒的扇形,则该几何体的体积为 .11. 直线()为参数m m y mx ⎩⎨⎧=λ+=1被抛物线()为参数t t x ty ⎪⎩⎪⎨⎧==241 所截得的弦长为4，则=λ.12.在ABC ∆中，060=∠A ,A ∠的平分线交BC 于D ,若3=AB ，且)R (∈μμ+=31,则AD的长13. 如图所示,已知PA 与⊙O 相切,A 为切点,过点P 的割线交圆于C B 、两点,弦APCD //,BC AD 、相交于点E ,F 为CE 上一点,且EDF P ∠=∠,若2:3:=BE CE ,2,3==EF DE ,则PA =___________.三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数()2132++=x cos x cos x sin x f . (Ⅰ)求()x f 的最小正周期，并求出当[,]62x ππ∈时，函数)(x f 的值域；(Ⅱ)当[,]62x ππ∈时，若8()5=f x , 求()12f x π-的值.16．（本小题满分13分）由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行.但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求.为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如下表所示：(Ⅰ)估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；(Ⅱ)现从这10人中随机取3人，求至少有一人来自第二组的概率； (Ⅲ)现从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自X 个组，求X 的分布列及数学期望.17．（本小题满分13分）如图，多面体ABCDEF 中，,,BA BC BE 两两垂直，且EF AB ∥，BE CD ∥，2AB BE ==，1BC CD EF ===. （Ⅰ）若点G 在线段AB 上，且3BG GA =，求证：ADF 平面∥CG ； （Ⅱ）求直线DE 与平面ADF 所成的角的正弦值； （Ⅲ）求锐二面角A DF B --的余弦值. 18．（本小题满分13分）设()xx f +=121，若()()[]()(),f f a ,x f f x f n n n n n 201011+-==+其中*N n ∈．（Ⅰ）求1a ；（Ⅱ）求证：{}n a 为等比数列，并求其通项公式；（Ⅲ）若.n n nn Q ,na a a a T n n n 9363642322223212+++=+++= 其中*N n ∈，试比较n 2T 与n Q 的大小，并说明理由．19．（本小题满分14分）已知椭圆12222=+by a x :C (0>>b a )的离心率为22，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为28. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）四边形BCD A 的顶点在椭圆C 上，且对角线BD AC ,均过坐标原点O ，若21-=⋅BD AC k k . (i) 求⋅的范围；(ii) 求四边形BCD A 的面积.20．（本小题满分14分）已知函数2()(0)f x x ax a =-≠，()ln g x x =，()f x 图象与x 轴交于点M （M 异于原点），()x f 在M 处的切线为1l ，()1-x g 图象与x 轴交于点N 且在该点处的切线为2l ，并且1l 与2l 平行. (Ⅰ)求(2)f 的值；(Ⅱ)已知实数R t ∈，求函数[][()+],1,y f xg x t x e =∈的最小值；(Ⅲ)令()()'()F x g x g x =+，给定1212,(1,),x x x x ∈+∞<，对于两个大于1的正数βα,，存在实数m 满足：21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，并且使得不等式12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-恒成立，求实数m 的取值范围.2017-2018年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）数学理科参考答案一、选择题:每小题5分，满分40分二、填空题: 每小题5分，共30分.9．i 5152+；10．π2 ； 11．0； 12 13．4315； 14．()+∞,1 三、解答题 15.解：（1）1cos 21()sin 222212cos 212sin(2)16+=++=++=++x f x x x x x ππ=π=22T ………4分由26ππ≤≤x ，得67622πππ≤+≤x ………5分 1)62sin(21≤+≤-∴πx ………6分26ππ≤≤∴x 时，函数)(x f 的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦………7分 ...........2分 ...........3分(2)83()sin(2)1,sin(2)6565=++=+=f x x x ππ则67622,26πππππ≤+≤≤≤x x 得； 所以4cos(2),65x π+=- (9)分1212+=⎪⎭⎫ ⎝⎛π-x sin x f………10分=1662+⎪⎭⎫⎝⎛π-π+x sin ………11分=571033+………13分16.解：(Ⅰ)候车时间少于10分钟的人数为 3610510160=⎪⎭⎫⎝⎛+⨯人； ………3分(Ⅱ)设“至少有一人来自第二组为事件A ”()1211131035=-=C C A P…………7分(Ⅲ)X 的可能值为1，2，3()1201113103335=+==C C C X P ()1207122310152313252325=++⨯+==C C C C C )C C (X P ()120382331013151513=++⨯==C C C C C X P …………10分所以X 的分布列为...........8分…………11分408912026712038371211==⨯+⨯+=EX…………13分17．解：（Ⅰ）分别取,AB AF 的中点,M H ，连结,,MF GH DH ，则有,AG GM MF BE = .∵AH HF =∴ 12GH MF ……………………………………………1分又∵1,2CD BE BE MF∴CD GH∴四边形CDHG 是平行四边形 ∴CG DH……………………………………………………2分又∵,CG ADF DH ADF ⊄⊂平面平面∴CG 平面ADF (4)分（Ⅱ）如图，以B 为原点，分别以,,BC BE BA 所在直线为x 轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系O xyz-.则(0,0,2),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,2,1)A C D E F(1,1,0),(1,1,2),(0,2,1)DE DA FA =-=--=-……………………………………6分设平面ADF 的一个法向量(,,)n x y z =，则有2020n DA x y z n FA y z ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，化简，得32x y z y =⎧⎨=⎩ 令1y =，得(3,1,2)n = (8)分设直线DE 与平面ADF 所成的角为θ，则有sin n DE n DEθ⋅==⋅ . ………………………9分所以直线DE 与平面ADF 所成的角的正弦值为77. (Ⅲ)由已知平面ADF 的法向量1n (3,1,2),BF (0,2,1)==设平面BDF 的一个法向量2n (x,y,z),B D (1,1,0)==22n BF 02y z 0x y 0n BD 0⎧=+=⎧⎪∴∴⎨⎨+==⎩⎪⎩z 2y,x y ∴=-=-令y 1,=-则2n (1,1,2)=- (11)分设锐二面角B DF A --的平面角为θ则121212n ncos|cos n,n||||n||n|θ=<>===12分所以锐二面角B DF A--的余弦值为7 (13)分18.解：(Ⅰ).)(f)(fa,)(f412121111=+-==…2分（Ⅱ）)(f)](f[f)(fnnn01211+==+.a)(f)(f)(f)(f)(f)(fannnnnnnn21212124121111-=+-⋅-=+-=+-=+++...3分∴}a{n是首项为41，公比为21-的等比数列． (4)分∴}a{n的通项公式是.*Nn.)21(41a1nn∈-⋅=-…5分（Ⅲ）,naa)n(aaaTnnn212321221232+-++++=-.naa)n(aaTnnn2232212221--+++=- …6分两式相减得.naaaaaTnnn22321223+++++=∴122221412112114123--⋅⋅++--=nnn)(n])([T1222142116161--⋅+--=nn)(n)(…7分∴).n (T nn 22213191+-= …8分,)n ()n (n Q n 212914++=]21)1n 2(1[91n 3291n 3)1n 2(91n 3Q T n 22n 22n n2-++=⋅+-+⋅+=-.)1n 2(2)1n 2(291n 32n 22n 2++-⋅+= …9分.*N n ∈ ∴只要比较n 22与212)n (+大小．当n ＝１时，.05)1n 2(22n 2<-=+-即.Q T 12< …10分 当n ＝2时，.07)1n 2(22n 2<-=+-即.Q T 24< …11分 当，3n 时≥.)1n 2()n n 1(]2)1n (n n 1[)C C C (])11[(22222n n 1n 0n 2n n 2+=++≥-++>+++=+< n n 2Q T >∴故n ＝1或2时，3n ,Q T n n 2≥<时，n n 2Q T >．（结论不写不扣分） …13分19.解：（I ）由已知，22228222122a b c ,b a ,ac=+=⋅⋅=…………2分于是8222===a ,b ,c …………3分所以椭圆的方程为14822=+y x (4)分（II ）当直线AB 的斜率不存在时，2OA OB ⋅=，所以⋅的最大值为2. ……5分当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为m kx y +=，设),(),,(2211y x B y x A联立⎩⎨⎧=++=8222y x m kx y ，得0824)21(222=-+++m kmx x k …………6分()2222244(12)(28)8840km k m k m ∆=-+-=-+>（）…………7分⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=+22212212182214k m x x k km x x ∵21-=⋅=⋅BDAC oB oA k k k k 212121-=∴x x y y 2222212121421822121k m k m x x y y +--=+-⋅⋅-=-=∴…………8分2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++==222222142182m kkm km k m k ++-++-222812m k k -=+ 22222218214kk m k m +-=+--∴2228)4(k m m -=--∴ 2242k m ∴+= …………9分 2121y y x x OB OA +=⋅2222222222844424421212121212m m m k k k k k k---+-=-===-+++++……10分2242OA OB ∴-=-≤⋅<因此，[]22,-∈⋅ …………11分 另解：设直线AB 方程：kx y =，CD 方程：x ky 21-=分别求出B 、A 的坐标 (2)分情况讨论， k >0时，分析B 、A 所在的象限，求范围 (3)同理0<k 时 …………占1分 结论 …………占1分 (ii)设原点到直线AB 的距离为d ，则22442)4(16642||218242142||4)(2||1||||121||212222222222212212122=+-=--=+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+=+⋅-⋅+=⋅=∆m k mm m k m k m k km m x x x x m k m x x k d AB S AOB 13分284==∴∆AO B ABCD S S 四边形.…………14分20. 解: ()y f x =图象与x 轴异于原点的交点(,0)M a ，'()2f x x a =-(1)ln(1)y g x x =-=-图象与x 轴的交点(2,0)N ，1'(1)1g x x -=- 由题意可得12l l k k =，即1a =， …………………2分 ∴2(),f x x x =-，2(2)222f =-= ………………3分 （2）2[()+][ln +](ln +)y f xg x t x x t x x t ==-=22(ln )(21)(ln )x x t x x t t +-+-………4分令ln u x x =，在 []1,x e ∈时，'ln 10u x =+>， ∴ln u x x=在[]1,e 单调递增，0,u e ≤≤ …………5分22(21)y u t u t t =+-+-图象的对称轴122tu -=，抛物线开口向上 ①当1202tu -=≤即12t ≥时，2min 0|u y y t t ===- ……………6分②当122t u e -=≥即122et -≤时，22min |(21)u e y y e t e t t ===+-+- …………7分 ③当1202t e -<<即12122e t -<<时， 22min 12212121|()(21)224tu t t y y t t t -=--==+-+-=- ……………8分1(3)()()'()ln F x g x g x x x =+=+,22111'()0x F x x x x-=-=≥1x ≥得 所以()F x 在区间(1,)+∞上单调递增 ……………………………………9分∴1x ≥当时，F F x ≥>（）（1）0 ①当(0,1)m ∈时，有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-<+-=，得12(,)x x α∈，同理12(,)x x β∈， …………………10分∴ 由)(x f 的单调性知 0<1()()F x F α<、2()()F F x β< 从而有12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-，符合题设. ………………11分②当0m ≤时，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=，12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=，由)(x f 的单调性知 0<12()()()()F F x F x F βα≤<≤， ∴12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符 ………………12分③当1m ≥时，同理可得12,x x αβ≤≥， 得12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符. ……………………13分 ∴综合①、②、③得(0,1)m ∈ …………………14分。