上海市奉贤区 高三摸底测试数学试题（文）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．设全集U ={a 、b 、c 、d 、e}， 集合A={a 、b}，B={b 、c 、d}，则A∩C U B=________． 2．已知f （x ），则＝____________．3．等差数列{a n }中，a 5+a 8+ a 11+ a 14+ a 17=50，则S 21= ． 4．向量、满足||=2，||=3，且|+|=，则．= ．5．现有形状特征一样的若干个小球，每个小球上写着一个两位数，一个口袋里放有标着所有不同的两位数的小球，现任意取一个小球，取出小球上两位数的十位数字比个位数字大的概率是 ．6．方程2cos2x = 1的解是 ．78．设方程x 2–2x+m=0的两个根为α、β，且|α–β|=2，则实数m 的值是 ． 9．圆（x+2）2+（y –1）2 = 5关于原点对称的圆的方程为 ．10．给出下列命题：（1）常数列既是等差数列，又是等比数列；（2）实数等差数列中，若公差d<0，则数列必是递减数列；（3）实数等比数列中，若公比q>1，则数列必是递增数列；（4）；（5）首项为a 1，公比为q 的等比数列的前n 项和为S n =．其中正确命题的序号是 ．11．若点满足不等式组：则目标函数K=6x+8y 的最大值是 ．12．若在由正整数构成的无穷数列{a n }中，对任意的正整数n ，都有a n ≤ a n+1，且对任意的正整数k ，该数列中恰有k 个k ，则a= ．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必本大题满分16分）须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．112+-=x x )3(1-f 71)4142(lim =-+∞→nn n n qq a n --1)1(1),(y x P ,0,0625⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+y x y x y x13．下列函数图象中，正确的是 （ ）A B C D14．顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线上的一点P （m ，－2）到焦点距离为4，则m 的值为 （ ） A ．－2 B ．2或－2 C ．4 D ．4或－4 15．若存在，则r 的取值范围是（ ）A ．r ≥–或r ≤－1 B ．r>－或r<－1C ．r>－或r ≤－1D ．－1≤ r ≤－16．异面直线a ，b 成80°角，点P 是a ，b 外的一个定点，若过P 点有且仅有n 条直线与a ，b 所成的角相等且等于45°，则n 的值为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本小题满分12分）解不等式：．18．（本小题满分12分）已知、的值．19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2、3小题满分各5分） 已知边长为6的正方形ABCD 所在平面外一点P ，PD ⊥平面ABCD ，PD=8， （1）连接PB 、AC ，证明：PB ⊥ AC ；（2）求PB 与平面ABCD 所成的角的大小； （3）求点D 到平面PAC 的距离．12)21(lim +∞→+n n rr 31313131)22(log )2(log 222->--x x x απαααααsin ),2,0(,12cos cos 2sin 2sin 2求=-+αtan20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两种加工资的方案。

第一种方案是每年年末（12月底）加薪一次，每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加1000元；第二种方案是每半年（6月底和12月底）各加薪一次，每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加300元，请选择一种． 根据上述条件，试问：（1）如果你将在该公司干十年，你将选择哪一种加工资的方案？（说明理由）（2）如果第二种方案中的每半年加300元改成每半年加a 元，那么a 在什么范围内取值时，选择第二种方案总是比选择第一种方案多加薪？21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设有抛物线C ：y= –x 2+x –4，通过原点O 作C 的切线y=mx ，使切点P 在第一象限． （1）求m 的值，以及P 的坐标；（2）过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q ；（3）设C 上有一点R ，其横坐标为t ，为使∆OPQ 的面积小于∆PQR 的面积，试求t 的取值范围．22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分） 由函数y=f （x ）确定数列{a n }，a n =f （n ），函数y=f （x ）的反函数y=f –1（x ）能确定数列{b n }，b n = f –1（n ），若对于任意n ∈N *，都有b n =a n ，则称数列{b n }是数列{a n }的“自反数列”．29（1）若函数f （x ）=确定数列{a n }的自反数列为{b n }，求a n ； （2）在（1）条件下，记为正数数列{x n }的调和平均数，若d n =，S n 为数列{d n }的前n 项之和，H n 为数列{S n }的调和平均数，求；（3）已知正数数列{c n }的前n 项之和 求T n 表达式．参考答案一、填空题1．{a} 2．－4 3．210 4．－3 5．0．5 6．x=k π k ∈Z 7．198．2 9．（x －2）2 + （y+1）2= 5 10．（2）、（4） 11．40 12．63 二、选择题13．C 14．D 15．A 16．B三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．解：原不等式变形为……………………………………4分…………………………………………8分，所以x>3………………………………………12分 18．解：由得11++x px nx x x n 11121 ++112-+n a nH nn ∞→lim).(21nn n c nc T +=6π±⎪⎩⎪⎨⎧-<-->->--222010222x x x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧<->->+-03,01,0)1)(2(2x x x x x ⎩⎨⎧<<>30,2x x ,12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα…………………………3分………………………………………6分因为所以2sin －1=0，即sin =……………………………………………9分所以.........................................................12分 19．（1）证明：连接BD ，交AC 于O ，在正方形ABCD 中，AC ⊥ BD ， 又PD ⊥平面ABCD ，所以，PD ⊥AC ，..........................................2分 所以AC ⊥平面PBD ，故PB ⊥ A C ．..........................................4分 （2）解：因为PD ⊥平面ABCD ，则∠PBD 就是PB 与平面ABCD 所成的角， (6)分在∆PBD 中，PD=8，BD=6所以 tan ∠PBD =∠APO=arctan…………………………8分 PB 与平面ABCD 所成的角的大小为arctan……………………………………9分 （3）解：连接PC ，设点D 到平面PAC 的距离为h ，……………………………10分 则有V D –PAC =V P –ACD ，即：⨯ S ∆PAC ⨯ h =⨯PD ⨯AD ⨯DC ………………………12分在∆PAC 中，连结PO ，显然PO ⊥AC ，PO=h =所以点D 到平面PAC 的距离为……………………………………14分 20．解：（1）第10年末，依第一方案得 1000++…+10000=55000（元）……………………………………2分 依第二方案得300+300×2+300×3+…+300×20=63000（元）………………4分 ∵63000－55000=8000（元）0cos 2cos sin 2cos sin 42222=-+ααααα0)1sin sin 2(cos 222=-+ααα.0)1)(sin 1sin 2(cos 22=+-ααα,0cos ,01sin ),2,0(≠≠+∈ααπα且所以αα2133tan ,6==απα即2322322322316182414124414124∴在该公司干10年，选择第二方案比选择第一方案多加薪8000元．............6分 （2）第n 年末，依第一方案，得：1000（1+2+3+...+n ）=500n （n+1）（元）......8分 依第二方案，得：a （1+2+3+...+2n ）=an （2n+1） (10)分 由题意an （2n+1）>500n （n+1）对所有正整数恒成立…………………………12分即a>． ∴当a>时，总是第二方案加薪多．……………………………………14分21．解：设点P 的坐标为（x 1， y 1），则y 1=kx 1……①，y 1= –+x 1 – 4……②，①代入②，得：+（k –）x 1+4=0……………………………………2分因为点P 为切点，所以 （k –）2–16=0，得：k=或k=……………………4分当k=时x 1= –2，y 1=－17；当k=时，x 1= 2，y 1= 1；因为点P 在第一象限，故所求的斜率k=，P 的坐标为 （2，1），……………6分（2）过 P 点作切线的垂线，其方程为：y=－2x+5……③，代入抛物线方程，得：x 2－x+9=0，设Q 点的坐标为 （x 2， y 2），则2x 2=9，所以x 2=，y 2= －4，所以Q 点的坐标为 （，－4），……………………………………10分（3）设C 上有一点R （t ，－t 2+t －4），它到直线PQ 的距离为：d==……………………………………12分 点O 到直线PQ 的距离PO =，S ∆OPQ =⨯PQ ⨯OP ，S ∆PQR =⨯PQ ⨯d ， 因为∆OPQ 的面积小于∆PQR 的面积，S ∆OPQ < S ∆PQR ， 即：OP < d ，即：>5，……………………………………14分+4>0或+14<0解之得：t<或t> 所以t 的取值范围为t<或t>．……………………………16分 3100032502501225025012)1(500=+≥++=++n n n 3100021x 2921x 29292172121721212132929295|5)429(2|2--+-+t t t 5|9213|2+-t t 52121|9213|2+-t t t t 2132-t t 2132-410513-410513+410513-410513+22．解：（1）由题意的：f –1（x ）== f （x ）=，所以p =－1，…………2分 所以a n =………………………………………………………………………3分 （2）a n =，，…………………………………………4分 为数列{d n }的前n 项和，，……………………………………5分 又H n 为数列{S n }的调和平均数，所以………8分………………………………………………………10分 （3）因为正数数列{c n }的前n 项之和所以解之得：c 1=1，T 1=1……………………………………11分当……………………………………14分所以，累加得：………………………………………………16分…………………18分p x x --111++x px 11++-n n 11++-n n n a d n n =-+=112n S 2)1(+=n n S n 2)1()1(232221211121+=+++⨯+⨯=++=n n n nS S S n H nn 2121lim lim=+=∞→→n n n H n n n ).(21nn n c nc T +=),(21111c nc c +=,2,,2111----+-=-=≥n n n n n n n n T T nT T T T T c n 所以时n T T T T nT T n n n n n n =--=+---21211,即,2,,2,1212223222221=--=--=-----T T n T T n T T n n n n ,432212n T T n ++++=- 2)1(,2)1(43212+=+=+++++=n n T n n n T n n。