四川省双流中学高2014级高三毕业班摸底测试数学模拟试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷90 分，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效． 3．考试结束后，只将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.“030α=”是“1cos 22α=”的 （A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件（C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件2．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2．现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为x ，方差为s ，则（A ）5x = ，2s < （B ）5x =，2s > （C ）5x >，2s < （D ）5x >，2s > 3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（A ）180 （B ）200 （C ）220 （D ）2404．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为 （A ）3 （B ）4（C ）5 （D ）6 5．用数学归纳法证明：n n <-++++121...31211，（)1,*>∈n N n 时，第一步应验证的不等式是 （A ）2211<+（B ）331211<++ （C ）34131211<+++ （D ）231211<++6．在ABC ∆中，已知2BD DC =，则AD =（A）1322AB AC-+（B）1322AB AC+（C）1233 AB AC+（D）1233AB AC-7．若实数x,y满足1x yxx y+≥⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩，则下列不等式恒成立的是（A）1y≥（B）2x≥（C）220x y++≥（D）210x y-+≥8．若2121S x dx=⎰，2211S dxx=⎰，321xS e dx=⎰，则123,,S S S的大小关系为（A）123S S S<<（B）213S S S<<（C）231S S S<<（D）321S S S<<9．已知a,b,l是不同的直线，α,β，γ是不重合的平面，有下列命题：①若aβ⊥,αβ⊥，则//aα；②若//aα，a b⊥，则bα⊥；③若//a b，l a⊥，则l b⊥；④若αγ⊥，βγ⊥，，则//αβ.其中正确命题的个数是（A）1（B）2（C）3（D）410．已知1F、2F分别是双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左右焦点，A为双曲线的右顶点，线段2AF的垂直平分线交双曲线于P，且123PF PF=，则该双曲线的离心率是（A）3（B）2（C）117-+（D）117+ 11．已知抛物线23y x=-+上存在关于直线0x y+=对称的相异两点,A B，则AB等于（A）3（B）4（C）32（D）4212. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D-的棱长是1，点E是对角线1AC上一动点，记(03)AE x x=<<，过点E平行于平面1A BD的截面将正方体分成两部分，其中点A所在的部分的体积为()V x则函数()y V x=的图象大致为第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知命题P：x R∀∈，25x=，则⌝P为．14．若函数()f x的导函数为'()f x，则函数32()'(1)=-⋅f x x f x在x=处取得极小值.15．已知2214x ym+=的离心率为3．则m=．16．已知函数2()()xf x x a e =-，的两个极值点为12,x x ，且1212x x x x +≥，则实数a 的取值范围是三、解答题.共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17．（本小题满分10分）已知数列{}n a 的第一项11a =，且1()1nn na a n N a *+=∈+． （Ⅰ）设1n nb a =，求证：数列{}n b 是等差数列； （Ⅱ）数列{}n c 前n 项的和记为n T ，若1n n n c a a +=，求n T 的取值范围． 18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，4sin sin 2cos()1A C A C --=.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若(1,AC =，求a c +的取值范围．19．（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，ABC ∆是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又030CAD ∠=，4PA AB ==,点N 在线段PB 上，且13PN NB =. （Ⅰ）求证：//MN 平面PDC ；（Ⅱ）求二面角P BC A --的余弦值．20．（本小题满分12分）某高校在一次自主招生中，对20名已选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如下表：由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中，随机抽取一名，抽到语言表达能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为25. （Ⅰ）求log n m 的值.（Ⅱ）从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率. 21．（本小题满分12分）如图，椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为3，曲线22:C y x b =-被x 轴截得的线段长等于1C 的长半轴长.（Ⅰ）求曲线1C ，2C 的方程；（Ⅱ）设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点,A B ，直线,MA MB 分别与1C 相交与,D E ． 证明：MD ME ⊥.22．（本小题满分12分）已知函数2()(21)ln f x ax a x x =-+-，2()2ln g x a x x=-，其中a R ∈． （Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a >时，求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若存在21[,e ]ex ∈，使得不等式()()f x g x ≥成立，求a 的取值范围．参考答案一、选择题：二、填空题： 13.00,25x x R ∃∈≠； 14．16或1 ； 15.6； 16．(]1,2-三、解答题： 17．解：（1）11,1n n n n na ab a a +==+，11n n b b +∴-=，11b= {}n b ∴是等差数列．（2）1,n n n b b n a==，1n a n∴=； 111(1)1n c n n n n ==-++，111n T n ∴=-+，1,12n T ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭18．解：(1)4sin sin 2cos()2cos()1A C A C A C --=-+=1cos()2AC ∴+=-，1cos 2B ∴=，又0B π<<，3B π∴=.(2)(1,AC =,b ∴=2sin ,2sin a A c C ==；22(sin sin )2sin 2sin())36a c A C A A A ππ∴+=+=+-=+， 250,3666A A ππππ<<∴<+<， a c ∴+∈19．解：(1)证明：在正三角形ABC 中，BM =，在ACD ∆中，因为M 为AC 中点，DM AC ⊥， 所以AD CD =，因为030CAD ∠=，所以DM =所以:3:1BM MD =， 所以13PN DM NB MB ==，所以//MN PD ， 又MN ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC ， 所以//MN 平面PDC .（2）建立如图直角坐标系，则(0,0,0)A ，(0,0,4)P ，(4,0,0)B，(2,C ， 设二面角P BC A --的平面角为θ，平面PBC 的法向量1(,,)n x y z =，(4,0,4),(2,4)PB PC =-=-，440240x z x z -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩令3x =，则y =3z =；1(3,3,3)n =， 平面ABC 的法向量2(0,0,1)n =， 121221cos n n n n θ•==•. 20．解：（1）由题意得：62205n +=，1420m n ++=， 4,2m n ==，log 2n m =;（2）设至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率为P ；从语言表达能力良好的9名学生中任意抽取2名共有36个结果， 在这9人中逻辑思维能力都不优秀的有6人， 从这6人中任取2名学生共有15个结果；15713612P ∴=-=. 21．解 ：（Ⅰ）由题意知3c e a ==，则2a b =，又2a b =， 解得2,1a b ==,故曲线1C 的方程为2214x y +=故曲线2C 的方程为21y x =-（Ⅱ）由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx =，11(,)A x y ，22(,)B x y .由21y kx y x =⎧⎨=-⎩得210x kx --=，则1212,1x x k x x +==- 又点M 的坐标为(0,1)-， 所以MA MB k k =121211y y x x ++=2121212()1k x x k x x x x +++=22111k k -++=-- 故MA MB ⊥，即MD ME ⊥.22．解：（1）当2a =时，2()25ln f x x x x=--， 252()2f x x x'=-+/, (1)1f '=-/，又(1)0f =，∴曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=；（2）2212()a f x a x x +'=-+/=2(2)(1)x ax x --． 当12a =时，()0f x '≥/恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上为增函数； 当12a >时，当1(0,)x a ∈,(2,)+∞时，()0f x '≥/，函数()f x 为增函数；当1(,2)x a ∈时，()0f x '≤/，函数()f x 为减函数；当102a <<时，当(0,2)x ∈,1(,)a +∞时，()0,f x '≥/函数f （x ）为增函数；当1(2,)x a∈时，()0f x '≤/,函数()f x 为减函数；（3）()()f x g x ≥等价于22(21)ln 2ln ax a x a x x x-+-≥--，即ln 0ax x -≥， 分离参数a 得ln x a x≥，令ln ()xh x x =，若存在21,a e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式()()f x g x ≥成立，即min ()a h x ≥．21ln ()xh x x -'=当1(,)x e e∈时，()0h x '>，()h x 为增函数；当2(,)x e e ∈时，()0h x '<，()h x 为减函数． 而1()h e e=-,222()h e e =． ∴h（x ）()h x 在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为e -，∴a e ≥-．。