1．某人打靶3发，事件Ai 表示“击中i 发”，i=0,1,2,3. 那么事件A=A1∪A2∪A3表示( )。

A. 全部击中.B. 至少有一发击中.C. 必然击中D. 击中3发 2．对于任意两个随机变量X 和Y ，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。

A. X 和Y 独立。

B. X 和Y 不独立。

C. D(X+Y)=D(X)+D(Y)D. D(XY)=D(X)D(Y)3．下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（ ）。

A ． 其它1||0|)|1(2)(≤⎩⎨⎧-=x x x f 。

B. 其它2||05.0)(≤⎩⎨⎧=x x fC. 0021)(222)(<≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--x x e x f x σμπσ D. 其它00)(>⎩⎨⎧=-x e x f x ，4．设随机变量X ～)4,(2μN , Y ～)5,(2μN , }4{1-≤=μX P P ,}5{2+≥=μY P P , 则有（ ）A. 对于任意的μ, P 1=P 2B. 对于任意的μ, P 1 < P 2C. 只对个别的μ，才有P 1=P 2D. 对于任意的μ, P 1 > P 25．设X 为随机变量，其方差存在，c 为任意非零常数，则下列等式中正确的是（ ）A ．D(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c. C. D(X-c)=D(X)-c D. D(cX)=cD(X)6． 设3阶矩阵A 的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为A*， 则|A*+3A –2E|= 。

7．设A= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10000002~011101110x ，则x = 。

8．设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为P ，则该系统正常工作的概率为 。

9．设随机变量X 的概率密度函数为其它Ax x x f <<⎩⎨⎧=002)(，则概率=≥)21(X P 。

10．设二维连续型随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为其它当0,00),()43(>>⎩⎨⎧=+-y x ke y x f y x ，则系数=k 。

11．求函数t e t f β-=)(的傅氏变换 (这里0>β)，并由此证明：二、填空题（每空3分，共15分）三、计算题（每小题10分，共50分）te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2cos 02212．发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“1”和“0”。

由于通讯系统受到干扰，当发出信号“1”时，收报台未必收到信号“1”，而是分别以概率0.8和0.2收到信号“1”和“0”；同时，当发出信号“0”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“0”和“1”。

求 （1）收报台收到信号“1”的概率；（2）当收报台收到信号“1”时，发报台确是发出信号“1”的概率。

13．设二维随机变量),(Y X 的联合概率函数是其它0,00),()42(>>⎩⎨⎧=+-y x ce y x f y x求：（1）常数c ；（2）概率P (X ≥Y )；（3）X 与Y 相互独立吗？请说出理由。

14．将n个球随机的放入N个盒子中去，设每个球放入各个盒子是等可能的，求有球盒子数X的数学期望。

15．设一口袋中依此标有1，2，2，2，3，3数字的六个球。

从中任取一球，记随机变量X为取得的球上标有的数字，求(1)X的概率分布律和分布函数。

(2)EX12n )T，a1≠0,其长度为║a║，又A=aa T,(1)证明A2=║a║2A；(2)证明a是A的一个特征向量，而0是A的n-1重特征值；(3)A能相似于对角阵Λ吗？若能,写出对角阵Λ.四、证明题（共10分）五、应用题（共10分）17.设在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量X是随机变量,它在[2000,4000]( 单位：吨 )上服从均匀分布，又设每售出这种商品一吨，可为国家挣得外汇3万元，但假如销售不出而囤积在仓库，则每吨需保养费1万元。

问需要组织多少货源，才能使国家收益最大。

参考答案及评分标准一、 选择题（每小题3分，共15分）1．B 2．C 3．D 4．A 5．A 二、 填空题（每小题3分，共15分）6. 97. 18. 1–(1–P)39. 3/4 10. 12 三、计算题（每题10分，共50分） 11.解答：函数f(t)的付氏变换为：F (w )=dt e dt edt eeet j tj tj t t ⎰⎰⎰+∞--+∞+--+∞∞---+==ℜ0)(0)(||||][ϖβϖβϖββ （3分）=22211ϖββϖβϖβ+=-++j j (2分)由付氏积分公式有f(t)=[1-ℜF(w )]=ϖϖπϖd e F tj ⎰+∞∞-)(21(2分) =ϖϖϖϖββπd t j t ⎰+∞∞-++)sin (cos 22122 ==ϖϖβϖπβϖϖϖββπd td t ⎰⎰+∞+∞∞-+=+02222cos 2cos 221（2分） 所以 te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2cos 022 （1分）12.解答:设 A1=“发出信号1”，A0=“发出信号0”，A=“收到信号1” （2分）(1)由全概率公式 （1分） 有 P(A)=P(A|A1)P(A1)+P(A|A0)P(A0) （2分） =0.8x0.6+0.1 x0.4=0.52 （1分） (2)由贝叶斯公式 （1分） 有 P(A1|A)=P(A|A1)P(A1)/ P(A) （2分） =0.8x0.6/0.52=12/13 （1分）13.解答:(1) 由联合概率密度的性质有⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dy y x f dx即⎰⎰+∞+-+∞=0)42(01dy cedx y x （2分）从而 c =8 （2分）(2)⎰⎰≥==≥yx dxdy y x f Y X P ),()(⎰⎰=+-+∞xy x dy e dx 0)42(0328 （2分） (3) 当x >0时， ⎰⎰∞∞-∞-+-===2)42(28),()(x y x X e dy edy y x f x f （2分）当x <=0时, 0)(=x f X同理有 其它04)(4>⎩⎨⎧=-y e y f y Y （1分）因 y x y f x f y x f Y X ,)()(),(∀=故X 与Y 相互独立 （1分）14.解答：设 否则个盒子有球第i X i ⎩⎨⎧=01i =1,2,…,N (2分)则 ∑==Ni iXX 1(1分)因 nni N N X P )1()0(-== (2分)nni i NN X P X P )1(1)0(1)1(--==-== (2分) 因而 nni i i N N X P X P EX )1(1)1(1)0(0--==⋅+=⋅= (2分)所以 ))11(1(1nNi iNN EXEX --==∑= (2分) 15.解答：（1）随机变量X 的取值为1，2，3。

（1分）依题意有：62)3(;63}2{;61}1{======X P X P X P （3分） X 的分布函数}{)(x X P x F ≤= （1分） 由条件知：当1<x 时，;0(=）x F （1分）当21<≤x 时，;61)1((===X P x F ） （1分）当32<≤x 时，;32)2()1((==+==X P X P x F ） （1分）当3≥x 时，;1(=）x F （1分）（2）EX=1 x 1/6+2 x 3/6+3 x 2/6= 13/6 （1分）四、证明题（共10分）(1) A 2=aa T ·aa T =a T a ·aa T =║a ║2A （2分）(2)因 Aa= aa T ·a=a T a ·a= ║a ║2a （2分）故a 是A 的一个特征向量。

又A 对称，故A 必相似于对角阵 （1分） 设A ∽ diag(λ1,λ2,…,λn )=B, 其中λ1,λ2,…,λn 是A 的特征值 (1分) 因rank(A)=1, 所以 rank(B)=1 (1分) 从而λ1,λ2,…,λn 中必有n-1个为0, 即0是A 的n-1重特征值 （1分） (3) A 对称，故A 必相似于对角阵Λ，Λ=diag(║a ║2, 0,…,0) (2分)五、应用题（共10分） 解答:设y 为预备出口的该商品的数量，这个数量可只介于2000与4000之间，用Z 表示国家的收益（万元）, （1分） 则有 yX y X X y X y X g Z <≥⎩⎨⎧--==)(33)( （4分）因 X 服从R(2000,4000), 故有其它4000200002000/1)(<<⎩⎨⎧=x x f X (1分)所以dx ydx x y x dx x f x g EZ yyX ⎰⎰⎰+--==∞∞-40002000200032000)(3)()( =–( y 2–7000y + 4•106) /1000 (3分) 求极值得 y=3500 (吨) (1分)工程数学（本）10秋模拟试题（一） 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设B A ,都是n 阶方阵，则下列命题正确的是( AB A B= )．2．向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡732,320,011,001的秩是（ 3 ）．3．n 元线性方程组AX b =有解的充分必要条件是（)()(b A r A r =）．4. 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是（259）． 5．设x x x n 12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2的样本，则（321535151x x x ++ ）是μ无偏估计．二、填空题（每小题3分，共15分）6．设B A ,均为3阶方阵，2,3A B ==，则13A B -'-=-18 ．7．设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量X ，使得AX X λ= ，则称λ为A 的特征值．8．设随机变量012~0.20.5X a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a =0.3 ．9．设X 为随机变量，已知3)(=X D ，此时D X ()32-=27 ．10．设θˆ是未知参数θ的一个无偏估计量，则有 ˆ()E θθ= ．三、（每小题16分，共64分） 11．设矩阵A B =---⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥112235324215011,，且有AX B ='，求X ．解：利用初等行变换得112100235010324001112100011210012301---⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥112100011210001511112100011210001511→------⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥110922010721001511100201010721001511 即A-=-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥1201721511由矩阵乘法和转置运算得X A B ='=-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥-1201721511201151111136212．求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=++--=+-+-=-+-2284212342272134321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的全部解．解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------0462003210010101113122842123412127211131 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→0000002200010101113106600022000101011131方程组的一般解为x x x x x x14243415=+==-⎧⎨⎪⎩⎪ （其中x 4为自由未知量）令x 4=0，得到方程的一个特解)0001(0'=X .方程组相应的齐方程的一般解为⎪⎩⎪⎨⎧-===4342415xx x x x x （其中x 4为自由未知量）令x 4=1，得到方程的一个基础解系)1115(1'-=X .于是，方程组的全部解为10kX X X +=（其中k 为任意常数）13．设)4,3(~N X ，试求: (1))95(<<X P ；(2))7(>X P ．（已知,8413.0)1(=Φ9987.0)3(,9772.0)2(=Φ=Φ） 解：(1))3231()23923235()95(<-<=-<-<-=<<X P X P X P 1574.08413.09987.0)1()3(=-=Φ-Φ=(2))23723()7(->-=>X P X P)223(1)223(≤--=>-=X P X P 0228.09772.01)2(1=-=Φ-=14．据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度)21.1,5.32(~N X ，今从这批砖中随机地抽取了9块，测得抗断强度（单位：kg ／cm 2）的平均值为31.12，问这批砖的抗断强度是否合格（α==0051960975.,..u ）． 解： 零假设H 0325:.μ=．由于已知σ2121=.，故选取样本函数U x nN =-μσ~(,)01 已知x =3112.，经算得σ9113037==..，x n -=-=μσ3112325037373....由已知条件u 0975196..=，x nu -=>=μσ3731960975...故拒绝零假设，即这批砖的抗断强度不合格。