§3.2 线性谐振子
重点：
谐振子模型的意义能量波函数的特征与经典情况的区别
(3.2-1)
其中是弹性系数为k的谐振子作简谐振动的角频率。

经典力学中线性谐振子的哈密顿函数为
（3.2-2）
故在量子力学中，线性谐振子的哈密顿算符为
由于U(x)与时间无关，故为定态。

线性谐振子的定态薛定谔方程为
（3.2-4）为了简化，引入无量纲的变量
（3.2-5）
（3.2-6）
（3.2-7）
则方程（3.2-4）可改写成
（3.2-8）
我们令方程（3.2-8）的一般解为
（3.2-9）所满足的方程
得到H
（3.2-10）
（3.2-11）
代入（3.2-7）中，可求得线性谐振子的能级
（3.2-12）n=0, 1, 2,…，
由此得下面结论：
（1）线性谐振子能是只能取分立值（图3.4），好能量是量子化的，
，这与普朗
（2）谐振子的能级是均匀分布的，相邻两能级间隔
克假设一致。

（3）谐振子的基态（n=0）能量为
（3.2-13）称为零点能，零点能的存在，是量子力学的一个重要结果，这是旧量子论中所没有的。

对应于不同的n或不同的。

（3.2-14）
，它可以用下列式子表示
方程（3.2-14）的解是厄密多项式
（3.2-15）脚标n表示多项式的最高次幂。

下面列出前面n项厄密多项式：
（3.2-16）由（3.2-9）式，对应能量E n的波函数是
（3.2-17a）或
（3.2-14b）
这函数称厄密函数，式中N n为归一化常数。

由归一化条件
经计算得（见附录1）（3.2-18）归一化后的前三个波函数如下：
（3.2-19）
等函数是x的偶函数，即
从上面各式容易看出，
我们称这些波函数具有偶宇称，而
我们称这些波函数具有奇宇称。

（三）与经典比较
经典和量子谐振子的能级与分布几率
上图中横坐标代表振子的位置，抛物线代有势能曲线，En是量子化的能级，虚曲线代表
波函数
，实曲线代表几率分布，由图可以看出：当n=0时，波函数。

除了
有n个节点，即有n个根。

类推，因此波函数
只在于绕平均值迅速振荡而已。

下图中实线是n=11时的几率分布，虚线代表经典谐振子位置几率分布。