§2 线性谐振子
• （一）引言
l
（1）何谓谐振子
l
（2）为什么研究线性谐振子
l （二）线性谐振子
l
（1）方程的建立
l
（2）求解
l
（3）应用标准条件
l
（4）厄密多项式
l
（5）求归一化系数
l
（6）讨论
l （三）实例
1
（一）引言
（1）何谓谐振子
在经典力学中，当质量为 的粒子，受弹性力F = - kx作用， 由牛顿第二定律可以写出运动方程为：

ξ2 >> ± 1
d 2 d 2

d
d
[ ]



d d
[ 2 1]
2
所以
c1e 2 / 2 c2e 2 / 2
因整个波函数尚未归一 化，所以c1可以令其等
波函数有 限性条件：
当ξ→±∞ 时， 应有 c2 = 0，
(x
xa

a)
2!
x 2
( x a)2
xa
V (a) V0
V 0 x xa
V(x)
V0

1 2!
2V x 2
( x a)2
xa

V0

1 2
k(x

a)2
a
x
0
V0
其中：k

2V x 2
3
xa
•
取新坐标原点为(a, V0)，则势可表示为标准谐振

d2x dt 2

kx
x 2 x 0
其中 k
其解为 x = Asin(ω t + δ)。这种运动称为简谐振动，作这种运
动的粒子叫谐振子。
因为
F dV dx
所以
V
kxdx

1 2Hale Waihona Puke kx2 V0
1 2
2x2
V0
若取V0 = 0，即平衡位置处于势 V = 0 点，则
b0 ≠ 0, b1=0. → Heven(ξ); b1 ≠ 0, b0=0. → Hodd(ξ).
则通解可记为：
H = co Hodd + ce Heven ψ= (co Hodd + ce Heven e) exp[-ξ2/2]
bk2 (k 1)(k 2) k
k0
则方程 H 2H ( 1)H 0
变成：
[bk 2 (k 1)( k 2) bk 2k bk ( 1)] k 0
k
9
[bk 2 ( k 1)( k 2) bk 2k bk ( 1)] k 0
于1。最后渐近波函数为：
e 2 / 2
7
为 了 使 方 程d 2 d 2
[
2 ] ( x ) 0的 波 函 数
在 无 穷 远 处 有 e 2 / 2渐 近 形 式 ， 我 们 自 然 会令 ：
( ) H( )e 2 / 2
• 其中 H(ξ) 必须满足波函数的单值、有限、连 续的标准条件。即：
往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在
理论上还是在应用上都是很重要的。 例如双原子分子，两原子
间的势V是二者相对距离x的函数，如图所示。在 x = a 处，V
有一极小值V0 。在 x = a 附近势可以展开成泰勒级数：
V ( x) V (a) 1 V 1! x
1 2V
为求解方程，我们先看一下它的渐 近解，即当 ξ→±∞ 时波函数 ψ的行为。在此情况下，λ<< ξ2， 于是方程变为：
1. 渐近解
d 2 d 2
2
0
其解为：ψ∞ = exp[±ξ2/2]，
欲验证解的正确性， 可将其代回方程，
d d

d
d
e 2 / 2
e 2 / 2
则 Schrodinger 方程可写为 ：
Hˆ pˆ 2 1 2 x 2 2 2

2
2
d2 dx 2

1 2x2
2
2

2
d2 dx 2
[E
1 2


2
x
2
]

(
x
)

0
或
：
d2 dx 2

2
2
[E

1 2
2 x2 ] ( x)
l ① 当ξ有限时，H(ξ)有限； l ② 当ξ→∞时，H(ξ)的行为要保证ψ(ξ)→ 0。
2. H(ξ)满足的方程
将ψ(ξ)表达式代入方程得 关于 待求函数 H(ξ) 所满足的方程：
H 2H ( 1)H 0
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3.级数解
我们以级数形式来求解。 为此令：
H bk k k0
k
即： bk+2(k+2)(k+1)- bk 2k + bk(λ-1) = 0
该式对任意ξ都成立，
从而导出系数 bk 的递推公式：
故ξ同次幂前的系数均应为零，
2k 1
bk 2 ( k 1)( k 2) bk
只含偶次幂项
由上式可以看出：
b0 决定所有角标k为偶数的系数； b1 决定所有角标k为奇数的系数。 因为方程是二阶微分方程，应有两个 线性独立解。可分别令：
子势的形式：
V ( x) 1 kx 2 2
可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往 可以用线性谐振动来近似描述。
4
（二）线性谐振子
• （1）方程的建立 l （2）求解 l （3）应用标准条件 l （4）厄密多项式 l （5）求归一化系数 l （6）讨论
5
（1）方程的建立
线性谐振子的 Hamilton量：
V 1 2x2
2
因：k 2
量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中运动的粒子。
2
（2）为什么研究线性谐振子
l
自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振
动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振
动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动


0
为简单计，引入无量纲变量ξ代替x，
令 ： x 其 中
d 2 d 2
[
2 ] ( x)
0
其中
， 则 方 程 可 改 写 为 ：

2E
此式是一变系数 二阶常微分方程
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（2）求解
d 2 d 2
[
2 ] ( x ) 0
H
bk k k 1
k 0
2H
2bk k k
k0
H
bk k(k 1) k 2
bk k(k 1) k2
k0
k2
令 k k 2 则：
H
bk2 (k 1)(k 2) k
k0
用 k 代替 k’