线性谐振子的不同解法比较关键词：一维谐振子；能量本征值；波函数摘 要：一维线性谐振子作为量子力学中的基础模型，它的解决方法具有多样性并随着科学工作者的努力和对数学理论的应用的不断深入（如群论和群表示理论），谐振子的解法将会最优化，并会对多维谐振子以及耦合谐振子等复合问题[1]的解决起着重要的帮助作用。
在这里我们将分别从表象理论（包括坐标表象、动量表象、能量表象和占有数表象），以及矩阵力学、宇称等角度出发求解一维线性谐振子，并作出适当的比较。
中国分类号：（140物理学） 文献标识码：A 文章编号：Comparison with Several Different Methods on the Solutions of One-dimensional Linear HarmonicOscillator Key words: one-dimensional linear harmonic oscillator; eigenvalue of energy and wavefunctionAbstract: One-dimensional linear harmonic oscillator as a basic model in quantum mechanics, there are more and more solutions to it with the increasing development of the theory of mathematics. It will serve the differentproblems of multidimensional and coupled harmonic oscillator. We will respectively solve one-dimensional linear harmonic oscillator from the theory of presentative, matrix mechanics and parity respectively.1． 引言谐振子的模型在量子力学，量子光学以及固体物理等学科领域都有着广泛的应用。
本文我们将建立最简单一维线性谐振子作为模型并用不同的方法处理。
设一维谐振子的质量为m,其圆频率为ω,势函数为，22()12x V m x ω=， 则其Hamilton 量[2]为1222122p H m x m ω=+ （1.1）收稿日期：2015-03-30作者简介：李德远（1990年生），男，本科学生，物理学我们也可以采用自然坐标系（即1ωμ===）[3],能量单位为ω，长。
则（1）又可写作221122H p x =+ （1.2）我们知道经典力学到量子力学的转变，满足量子化条件[4]ˆˆ[,]xp i =[5]，在自然坐标下又可写作ˆˆ[,]xp i = （1.3） 2． 在坐标表象中的解法写出在x 表象中的Schrodinger 方程22()22()()2122x x x d m x E m dx ψωψψ-+=（2.1）令x ξα≡≡，2Eλω≡（2.2）则（2.1）⨯2ω并带入（2.2）可得， 222()0d d ψλξψξ+-= （2.3） 由数理方法，我们先看ψ在ξ→±∞时方程的渐进行为，可以看出在ξ→±∞时， 方程（6）又可以写作222d d ψξψξ=，它的渐进解为ψ~22e ξ±。
由于波函数的物理边界条件要求ξ→±∞时，ψ有限。
则()ψξ可写作22()()eH ξψξξ-= (2.4)将它带入（2.1）式，并对ξ求二级微商可得：222(1)0d H dHH d d ξλξξ-+-= (2.5) ()H ξ为厄米多项式，（7）式为Hermite方程[6]对（7）式求解，只有当12,0,1,2n n λ-==···时， 才有能量本征值1(),0,1,22n E n n ω=+=····对应波函数22()(),0,1,2n n n N e H n ξψξξ-==··· 其中，n N 是归一化系数，可以通过正交归一化条件来确定。
正交归一化条件为：()()n n nn x x dx ψψδ+∞*''-∞=⎰（2.6）定出：12122!n n N n απ⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭（2.7）3． 在动量表象中的解法在动量表象中，x ip∂=∂[7]，所以（4）在动量表象中的Schrodinger 方程为2222()()()21122p p p d p m E m dpψωψψ-=（3.1） 令p m y ω=，则上式变为22()22()()2122y y y d m y E m dy ψωψψ-+= （3.2）可以看出（9）式和（4）式的形式是相同的，解法也是相同的，所以结果也是一致的。
4． 在能量表象中的解法根据ˆˆˆ[,]ˆF x F ix ∂=∂，ˆˆˆ[,]ˆF p F i p∂=-∂[8]（4.1）对（1.1）式分别对,x p 求导，再将（4.1）式带入，有2ˆˆˆˆˆˆ()ˆH i m xHp pH xω∂==--∂（ 4.2） ˆ1ˆˆˆˆˆ()ˆH i p Hx xH pm ∂==-∂ （4.3） 分别对（4.2）和（4.3）中两式取能量表象的的矩阵元，有2ˆˆˆˆˆ()i i m xj i Hp pH j ω〈||〉=〈|--|〉 （4.4）1ˆˆˆˆˆ()i i p j i Hx xH j m〈||〉=〈|-|〉 （4.5）(4.4)和（4.5）式又可写作2ˆ()ij i j ij im xE E p ω=-- （4.6）1()ij i j ij ip E E x m=- （4.7） 消去（4.6）和（4.7）中两式的ij p ，有222()ij i j ij x E E x ω=-所以ij p 和ij x 有非零解的条件是222()i j E E ω=-和i j E E ω=-解得1(),0,1,22i E i i ω=+=···[9]5． 在占有数表象中的解法（因式分解法）由222211()[()]22H p x x ip =+=-（5.1） 通过因式分解可得111()()222H x ip x ip ixp ipx =-+-+（5.2） 或者111()()222H x ip x ip ixp ipx =+-+-（5.3）由于零点能的存在[10]，（5.3）这种排列不存在零点能，不符合物理规律，顾不考虑。
再由对应关系（1.3），式（5.2）由经典力学转变到了量子力学的邻域，变为111ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ()()222Hx ip x ip ixp ipx =-+-+ 11ˆˆˆˆ()()22x ip x ip =-++ （5.4） 令ˆˆˆ)ax ip -=+和ˆˆˆ)a x ip +=- 并将其带入（5.4）时，有11ˆˆˆˆ22H a a N +-=+=+(5.5) 其中算符ˆN 的本征值是粒子数n ，且ˆN 为正定厄米算子[11]满足11ˆˆ(),0,1,222Hn N n n n n |〉=+|〉=+|〉=··· (5.6) 所以1(),0,1,22n E n n =+=···6． 宇称解法设()()V x V x -=，对应于任何一个能量的本征值E ，总可以找到方程（4）的一组解（且每一个解都有确定的宇称[12]），而属于能量本征值E 的任何解，都可用他们展开[13]设（2.3）式的解为22()()e ξψξψξ-'=（6.1)()ψξ'所满足的方程为22()()2(1)()0d x d x x d d ψψξλψξξ'''-+-= （6.2）又因为()()V x V x -=，所以()ψξ是有确定的宇称，而且()ψξ的奇偶性由()ψξ'决定。
设()()24()240()()2()21,0,2,4(),1,3,5n nn n n n n n n nn n n n n n n a a a a n a a a nξξξψξψξξξ------⎧++++=⎪''==⎨+++=⎪⎩ （6.3）将（6.3）式带入到（6.2）式中，要求21n λ=+解得11(),0,1,2,322E n n λωω==+=对于波函数，可以将21n λ=+带入（6.2）式，有22()()22()0d x d x n x d d ψψξψξξ'''-+= （6.4） 再将（6.3）式带入（6.4）式，有2(0)200()a eξψξ-= 2(1)211()a eξψξξ-=()2(2)2202()(21)a eξψξξ-=-+()2(3)32132()()3a eξψξξξ-=-+2(4)422404()(41)3a e ξψξξξ-=-+2(5)5225144()()153a e ξψξξξξ-=-+······其中(0)0a ，(2)0a ，(4)0a ，(1)1a ，(3)1a 和(5)1a 分别由波函数的归一化条件确定。
7． 矩阵力学的解法矩阵力学主要是有海森堡，波恩，约尔丹，泡利等人发展创立，是量子力学的基础，其主要意图是想通过可以观察的物理量如，光强，频率等，来研究微观模型中电子在原子中的轨道运动等问题[]14。
主要内容有：任何一个物理量都可以用厄米矩阵来表示；坐标矩阵和动量矩阵的对易关系；系统的正则运动方程以及物理系统光谱频率的决定关系。
由海森堡运动方程（即矩阵力学的运动方程），量子力学的泊松括号以及矩阵方程，满足2211()2x p x xp i m=-⋅-2211()2p x pxp pxp xp i m=-⋅-+- pm=（7.1）1(p Hp pH ih=--） （7.2）22211(2p m x p xpx xpx px ihω=⋅-+--）2m x ω=- (7.3)对（1.3）式取厄米共轭，有 引入，()2b x mω=+，()2b x m ω+=- 则有12Hb b ω+=+（7.4）12Hbb ω+=- （7.5）将（7.4）式左乘b 和将（7.5）右乘b ，则两式应相等，即11()()22HH b b ωω+=- （7.6） 可以得到，[]1,HbbHb H b ωωω=-=（7.7）取其矩阵元，矩阵方程，''''''b H H H ω-||H （+1）=0（7.8） 另外，当且仅当'''H H ω=+时，'''b H ||H 才恒不为零。