二次根式知识点一： 二次根式的概念定义：一般地，形如a （a≥0）的代数式叫做二次根式。

”“称为二次根号。

注意：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。

例1233x1x （x>0）0422、yx 1+、y x +（x ≥0，y•≥0）． 知识点二：取值范围1、 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，a 有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2、 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0时，a 没有意义。

例2．当x 是多少时，1x 3+在实数范围内有意义？ 例3．当x 是多少时，32x ++1x 1+在实数范围内有意义？ 知识点三：二次根式a （a≥0）的非负性a （a≥0）表示a 的算术平方根，也就是说，a （a≥0））是一个非负数，即a ≥（a≥0）。

注：因为二次根式a（a≥0）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（a≥0）的算术平方根是非负数，即a ≥（a≥0），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

例4(1)已知y=2x x 2-+-+5，求yx的值． (2)若1b 1a -++=0，求a 2004+b 2004的值知识点四：二次根式()2a 的性质()2a=a（a≥0）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式()2a=a（a≥0）是逆用平方根的定义得出的结论。

例1 计算()252 2 3⎪⎪⎭⎫⎝⎛227⎪⎪⎭⎫⎝⎛例2在实数范围内分解下列因式:（1）3x2-（2）4x4-知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

例1 化简（1）9（2）2(4)-（3）25（4）2(3)-例2 填空：当a≥0时，2a=_____；当a<0时，2a=_______，•并根据这一性质回答下列问题．（1）若2a=a，则a可以是什么数？（2）若2a=-a，则a是什么数？（3）2a>a，则a是什么数？例3当x>2，化简()()22x212x---．知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。

但与都是非负数，即，。

因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.知识点七：二次根式的乘除1、 a b ab （a ≥0，b ≥0） ab a b （a ≥0，b ≥0）2、除法b a b a =（a ≥0，b>0） 反过来，bab a =（a ≥0，b>0） 例1．计算（1）57 （2139 （3927 （4126 例2 化简（1916⨯ （21681⨯ （3229x y （454 例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： （1(4)(9)49-⨯--- （21242525122525122525123 例4．计算：（1123（23128 （311416 （4648 例5．化简：（1364 （222649b a （32964x y （425169xy 例6．9966x xx x --=--x 为偶数，求（1+x 22541x x x -+- 知识点八：最简二次根式与同类二次根式1、最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式； （2）被开方数中不含开得尽方的因数或因式 2、化简最简二次根式的方法：(1) 把被开方数(或根号下的代数式)化成积的形式，即分解因式； (2) 化去根号内的分母（或分母中的根号），即分母有理化；(3) 将根号内能开得尽方的因数(或因式)开出来．（此步需要特别注意的是：开到根号外的时候要带绝对值，注意符号问题）3、同类二次根式：被开方数（因式）相同的（最简）二次根式叫同类二次根式。

判断是否是同类二次根式时务必将各个根式都化为最简二次根式。

如818例1．把下列二次根式化为最简二次根式(1) ; (2) (3) 知识点九：二次根式的加减1、二次根式的加减法：先把各个二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。

（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。

例1．计算（1 （2（3） （4）+例3．已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23+y -（x ）的值． 【基础训练】1．化简：（1=__ __； （2___ __； （3=___ _；（40,0)x y ≥≥=___ _； （5）_______420=-。

2.(16，安徽)化简=_________。

3.（16，武汉）计算的结果是（ ）Ａ.2 Ｂ．±2 Ｃ．-2 Ｄ．4 4. 化简：（1）（16的结果是 ； （2的结果是 ；（3）(16，宁夏)825-= ； （4）（16，黄冈）=_____ _；（5）（16，宜昌）3＋（5－3）=_________；（6）；（7）(16，荆门)＝________；（8）．5．（16，重庆）计算28-的结果是（ ）A 、6B 、6C 、2D 、26.（16，遵义）若20a -=，则2a b -= ．7. (16，聊城)下列计算正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．8.下列运算正确的是（ ） A 、4.06.1= B 、()5.15.12-=- C 、39=- D 、3294= 9．（16，中山）已知等边三角形ABC 的边长为33+，则ΔABC 的周长是____________；10.11．（16，嘉兴）使x 的取值范围是 ．12.(16，常州),则x 的取值范围是（ ）A.x >-5B.x <-5C.x ≠-5D.x ≥-513. (16，黑龙江)函数中，自变量的取值范围是．14.下列二次根式中，x的取值范围是x≥2的是（）A、2－xB、x+2C、x－2D、1 x－215.（16，荆州）下列根式中属最简二次根式的是（）16．（16，中山）下列根式中不是最简二次根式的是（）A B C D17．（16，常德）下列各式中与是同类二次根式的是（）A．2B．C ．D ． 18．下列各组二次根式中是同类二次根式的是（ ）A ．2112与B ．2718与C ．313与 D ．5445与19.(16，乐山)已知二次根式与是同类二次根式，则的α值可以是（）A 、5B 、6C 、7D 、820．（16，大连）若b a y b a x +=-=,，则xy 的值为（ ）A ．a 2B ．b 2C ．b a +D ．b a -21.计算：（1）（2）（3）（16，上海）． （4）（16，庆阳）22.x 值，代入化简后的式子求值。

【提高训练】一、热身运动1、若x x x x --=--3232成立，则x 满足_______________。

2=成立的条件是 。

3、已知233x x +＝－x 3+x ，则（ ）（A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤04、若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++＝（ ）（A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y5、若0＜x ＜1，则4)1(2+-x x －4)1(2-+xx 等（ ） （A ）x 2 （B ）－x2 （C ）－2x （D ）2x 6、化简aa 3-(a ＜0)得（ ） （A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a7、化简二次根式号后的结果是_________．8、已知〉xy 0，化简二次根式_________． 9、已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2222d c ab d c ab +-＝_____10、若最简根式3a 是同类二次根式，求a 、b 的值．11n 是同类二次根式，求m 、n 的值．122440y y -+=，求xy 的值。

二、冲刺阶段1、化简·（m>0，n>0）2、化简-3（a>0）3、化简 22- 、4、当5、已知x ＝2323-+，y ＝2323+-，求32234232y x y x y x xy x ++-的值．（先化简xy ，再化简分式，求值） 6、当x ＝1－2时，求2222a x x a x x+-+＋222222ax x x a x x +-+-＋221a x +的值．7、若x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋21．求x y y x ++2－x y y x +-2的值．8、若│1995-a │=a ，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）。