一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.(10分)(2015•佛山)如图,一小球从斜坡O点处抛出,球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画,斜坡可以用一次函数y=x刻画.(1)请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标;(2)小球的落点是A,求点A的坐标;(3)连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA,求△POA的面积;(4)在OA上方的抛物线上存在一点M(M与P不重合),△MOA的面积等于△POA的面积.请直接写出点M的坐标.【答案】(1)(2,4);(2)(,);(3);(4)(,).【解析】试题分析:(1)利用配方法抛物线的一般式化为顶点式,即可求出二次函数图象的最高点P的坐标;(2)联立两解析式,可求出交点A的坐标;(3)作PQ⊥x轴于点Q,AB⊥x轴于点B.根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA,代入数值计算即可求解;(4)过P作OA的平行线,交抛物线于点M,连结OM、AM,由于两平行线之间的距离相等,根据同底等高的两个三角形面积相等,可得△MOA的面积等于△POA的面积.设直线PM的解析式为y=x+b,将P(2,4)代入,求出直线PM的解析式为y=x+3.再与抛物线的解析式联立,得到方程组,解方程组即可求出点M的坐标.试题解析:(1)由题意得,y=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4,故二次函数图象的最高点P的坐标为(2,4);(2)联立两解析式可得:,解得:,或.故可得点A的坐标为(,);(3)如图,作PQ⊥x轴于点Q,AB⊥x轴于点B.S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA=×2×4+×(+4)×(﹣2)﹣××=4+﹣=;(4)过P作OA的平行线,交抛物线于点M,连结OM、AM,则△MOA的面积等于△POA的面积.设直线PM的解析式为y=x+b,∵P的坐标为(2,4),∴4=×2+b,解得b=3,∴直线PM的解析式为y=x+3.由,解得,,∴点M的坐标为(,).考点:二次函数的综合题2.如图,已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ,B 两点,直线y x m =+过顶点C 和点B .(1)求m 的值;(2)求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式;(3)抛物线上是否存在点M ,使得15MCB ∠=︒?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)﹣3;(2)y 13=x 2﹣3;(3)M 的坐标为(3632). 【解析】【分析】 (1)把C (0,﹣3)代入直线y =x +m 中解答即可;(2)把y =0代入直线解析式得出点B 的坐标,再利用待定系数法确定函数关系式即可; (3)分M 在BC 上方和下方两种情况进行解答即可.【详解】(1)将C (0,﹣3)代入y =x +m ,可得:m =﹣3;(2)将y =0代入y =x ﹣3得:x =3,所以点B 的坐标为(3,0),将(0,﹣3)、(3,0)代入y =ax 2+b 中,可得:390b a b =-⎧⎨+=⎩, 解得:133a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩,所以二次函数的解析式为:y 13=x 2﹣3; (3)存在,分以下两种情况:①若M 在B 上方,设MC 交x 轴于点D ,则∠ODC =45°+15°=60°,∴OD =OC •tan30°3=设DC 为y =kx ﹣33,0),可得:k 3= 联立两个方程可得:233133y x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩, 解得:121203336x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩, 所以M 1(36);②若M 在B 下方,设MC 交x 轴于点E ,则∠OEC =45°-15°=30°,∴OE =OC •tan60°=3设EC 为y =kx ﹣3,代入(30)可得:k 3= 联立两个方程可得:2333133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩, 解得:12120332x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩, 所以M 23,﹣2).综上所述M 的坐标为(3,63,﹣2).【点睛】此题是一道二次函数综合题,熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键.3.如图:在平面直角坐标系中,直线l :y=13x ﹣43与x 轴交于点A ,经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=32. (1)求抛物线的解析式; (2)平移直线l 经过原点O ,得到直线m ,点P 是直线m 上任意一点,PB ⊥x 轴于点B ,PC ⊥y 轴于点C ,若点E 在线段OB 上,点F 在线段OC 的延长线上,连接PE ,PF ,且PE=3PF .求证:PE ⊥PF ;(3)若(2)中的点P 坐标为(6,2),点E 是x 轴上的点,点F 是y 轴上的点,当PE ⊥PF 时,抛物线上是否存在点Q ,使四边形PEQF 是矩形?如果存在,请求出点Q 的坐标,如果不存在,请说明理由.【答案】(1)抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4;(2)证明见解析;(3)点Q 的坐标为(﹣2,6)或(2,﹣6).【解析】【分析】(1)先求得点A 的坐标,然后依据抛物线过点A ,对称轴是x=32列出关于a 、c 的方程组求解即可;(2)设P (3a ,a ),则PC=3a ,PB=a ,然后再证明∠FPC=∠EPB ,最后通过等量代换进行证明即可;(3)设E (a ,0),然后用含a 的式子表示BE 的长,从而可得到CF 的长,于是可得到点F 的坐标,然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=,22y y y y Q P F E ++=,从而可求得点Q 的坐标(用含a 的式子表示),最后,将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可.【详解】(1)当y=0时,14033x -=,解得x=4,即A (4,0),抛物线过点A ,对称轴是x=32,得161203322a c a -+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩,解得14a c =⎧⎨=-⎩,抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4; (2)∵平移直线l 经过原点O ,得到直线m ,∴直线m 的解析式为y=13x . ∵点P 是直线1上任意一点, ∴设P (3a ,a ),则PC=3a ,PB=a .又∵PE=3PF , ∴PC PB PF PE=. ∴∠FPC=∠EPB . ∵∠CPE+∠EPB=90°,∴∠FPC+∠CPE=90°,∴FP ⊥PE .(3)如图所示,点E 在点B 的左侧时,设E (a ,0),则BE=6﹣a .∵CF=3BE=18﹣3a ,∴OF=20﹣3a .∴F (0,20﹣3a ).∵PEQF 为矩形,∴22x x x x Q P F E ++=,22y y y y Q P F E ++=, ∴Q x +6=0+a ,Q y +2=20﹣3a+0,∴Q x =a ﹣6,Q y =18﹣3a . 将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得:18﹣3a=(a ﹣6)2﹣3(a ﹣6)﹣4,解得:a=4或a=8(舍去).∴Q (﹣2,6).如下图所示:当点E 在点B 的右侧时,设E (a ,0),则BE=a ﹣6.∵CF=3BE=3a ﹣18,∴OF=3a ﹣20.∴F (0,20﹣3a ).∵PEQF 为矩形, ∴22x x x x Q P F E ++=,22y y y y Q P F E ++=, ∴Q x +6=0+a ,Q y +2=20﹣3a+0,∴Q x =a ﹣6,Q y =18﹣3a . 将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得:18﹣3a=(a ﹣6)2﹣3(a ﹣6)﹣4,解得:a=8或a=4(舍去).∴Q (2,﹣6).综上所述,点Q 的坐标为(﹣2,6)或(2,﹣6).【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式,用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键.4.如图所示,已知平面直角坐标系xOy ,抛物线过点A(4,0)、B(1,3)(1)求该抛物线的表达式,并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标;(2)记该抛物线的对称轴为直线l ,设抛物线上的点P(m,n)在第四象限,点P 关于直线l 的对称点为E ,点E 关于y 轴的对称点为F ,若四边形OAPF 的面积为20,求m 、n 的值.【答案】(1)y=-224(2)4y x x x =-+=--+,对称轴为:x=2,顶点坐标为:(2,4)(2)m 、n 的值分别为 5,-5【解析】(1) 将点A(4,0)、B(1,3) 的坐标分别代入y =-x 2+bx +c ,得:4b+c-16=0,b+c-1="3" ,解得:b="4" , c=0.所以抛物线的表达式为:24y x x =-+.y=-224(2)4y x x x =-+=--+,所以 抛物线的对称轴为:x=2,顶点坐标为:(2,4).(2) 由题可知,E 、F 点坐标分别为(4-m ,n ),(m-4,n ).三角形POF 的面积为:1/2×4×|n|= 2|n|,三角形AOP 的面积为:1/2×4×|n|= 2|n|,四边形OAPF 的面积= 三角形POF 的面积+三角形AOP 的面积=20,所以 4|n|=20, n=-5.(因为点P(m,n)在第四象限,所以n<0)又n=-2m +4m ,所以2m -4m-5=0,m=5.(因为点P(m,n)在第四象限,所以m>0)故所求m 、n 的值分别为 5,-5.5.如图,已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ,B 两点,且点A (1,-4)为抛物线的顶点,点B 在x 轴上。
(1)求抛物线的解析式;(2)在(1)中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P ,使△POB 与△POC 全等?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若点Q 是y 轴上一点,且△ABQ 为直角三角形,求点Q 的坐标。
【答案】解:(1)2y x 2x 3=--;(2)存在,P (1-132,13-12);(3)Q 点坐标为(0,-72)或(0,32)或(0,-1)或(0,-3). 【解析】【分析】 (1)已知点A 坐标可确定直线AB 的解析式,进一步能求出点B 的坐标.点A 是抛物线的顶点,那么可以将抛物线的解析式设为顶点式,再代入点B 的坐标,依据待定系数法可解. (2)首先由抛物线的解析式求出点C 的坐标,在△POB 和△POC 中,已知的条件是公共边OP ,若OB 与OC 不相等,那么这两个三角形不能构成全等三角形;若OB 等于OC ,那么还要满足的条件为:∠POC=∠POB ,各自去掉一个直角后容易发现,点P 正好在第二象限的角平分线上,联立直线y=-x 与抛物线的解析式,直接求交点坐标即可,同时还要注意点P 在第二象限的限定条件.(3)分别以A 、B 、Q 为直角顶点,分类进行讨论,找出相关的相似三角形,依据对应线段成比例进行求解即可.【详解】解:(1)把A (1,﹣4)代入y =kx ﹣6,得k =2,∴y =2x ﹣6,令y =0,解得:x =3,∴B 的坐标是(3,0).∵A 为顶点,∴设抛物线的解析为y =a (x ﹣1)2﹣4,把B (3,0)代入得:4a ﹣4=0,解得a =1,∴y =(x ﹣1)2﹣4=x 2﹣2x ﹣3.(2)存在.∵OB =OC =3,OP =OP ,∴当∠POB =∠POC 时,△POB ≌△POC ,此时PO 平分第二象限,即PO 的解析式为y =﹣x .设P (m ,﹣m ),则﹣m =m 2﹣2m ﹣3,解得m (m 0,舍),∴P (2,2). (3)①如图,当∠Q 1AB =90°时,△DAQ 1∽△DOB ,∴1DQ ADOD DB =,∴DQ 1=52, ∴OQ 1=72,即Q 1(0,-72); ②如图,当∠Q 2BA =90°时,△BOQ 2∽△DOB , ∴2OQ OB OD OB =,即2363OQ =, ∴OQ 2=32,即Q 2(0,32); ③如图,当∠AQ 3B =90°时,作AE ⊥y 轴于E ,则△BOQ 3∽△Q 3EA , ∴33OQ OB Q E AE =,即33341OQ OQ =- ∴OQ 32﹣4OQ 3+3=0,∴OQ 3=1或3,即Q 3(0,﹣1),Q 4(0,﹣3).综上,Q 点坐标为(0,-72)或(0,32)或(0,﹣1)或(0,﹣3). 6.如图,在平面直角坐标系xOy 中,A 、B 为x 轴上两点,C 、D 为y 轴上的两点,经 过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线,我们把这条封闭曲线称为“蛋线”.已知点C 的坐标为(0,),点M 是抛物线C 2:2y mx 2mx 3m =--(m <0)的顶点.(1)求A 、B 两点的坐标;(2)“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ,使得△PBC 的面积最大?若存在,求出△PBC 面积的最大值;若不存在,请说明理由;(3)当△BDM 为直角三角形时,求m 的值.【答案】(1)A (,0)、B (3,0).(2)存在.S △PBC 最大值为2716(3)2m 2=-或1m =-时,△BDM 为直角三角形. 【解析】 【分析】(1)在2y mx 2mx 3m =--中令y=0,即可得到A 、B 两点的坐标.(2)先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式,由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式,根据二次函数最值原理求出最大值.(3)先表示出DM 2,BD 2,MB 2,再分两种情况:①∠BMD=90°时;②∠BDM=90°时,讨论即可求得m 的值. 【详解】解:(1)令y=0,则2mx 2mx 3m 0--=,∵m <0,∴2x 2x 30--=,解得:1x 1=-,2x 3=. ∴A (,0)、B (3,0).(2)存在.理由如下:∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-(a 0≠), 把C (0,32-)代入可得,12a =. ∴C1的表达式为:()()1y x 1x 32=+-,即213y x x 22=--. 设P (p ,213p p 22--), ∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =23327p 4216--+(). ∵3a 4=-<0,∴当3p 2=时,S △PBC 最大值为2716. (3)由C 2可知: B (3,0),D (0,3m -),M (1,4m -), ∴BD 2=29m 9+,BM 2=216m 4+,DM 2=2m 1+. ∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况:当∠BMD=90°时,BM 2+ DM 2= BD 2,即216m 4++2m 1+=29m 9+, 解得:12m =22m =(舍去). 当∠BDM=90°时,BD 2+ DM 2= BM 2,即29m 9++2m 1+=216m 4+, 解得:1m 1=-,2m 1=(舍去) . 综上所述,2m =或1m =-时,△BDM 为直角三角形.7.如图,(图1,图2),四边形ABCD 是边长为4的正方形,点E 在线段BC 上,∠AEF=90°,且EF 交正方形外角平分线CP 于点F ,交BC 的延长线于点N, FN ⊥BC . (1)若点E 是BC 的中点(如图1),AE 与EF 相等吗?(2)点E 在BC 间运动时(如图2),设BE=x ,△ECF 的面积为y . ①求y 与x 的函数关系式;②当x 取何值时,y 有最大值,并求出这个最大值.【答案】(1)AE=EF ;(2)①y=-12x 2+2x (0<x <4),②当x=2,y 最大值=2. 【解析】 【分析】(1)在AB 上取一点G ,使AG=EC ,连接GE ,利用ASA ,易证得:△AGE ≌△ECF ,则可证得:AE=EF ;(2)同(1)可证明AE=EF ,利用AAS 证明△ABE ≌△ENF ,根据全等三角形对应边相等可得FN=BE ,再表示出EC ,然后利用三角形的面积公式即可列式表示出△ECF 的面积为y ,然后整理再根据二次函数求解最值问题. 【详解】(1)如图,在AB 上取AG=EC , ∵四边形ABCD 是正方形, ∴AB=BC ,有∵AG=EC ,∴BG=BE , 又∵∠B=90°, ∴∠AGE=135°,又∵∠BCD=90°,CP 平分∠DCN , ∴∠ECF=135°,∵∠BAE +∠AEB=90°,∠AEB +∠FEC=90°, ∴∠BAE=∠FEC , 在△AGE 和△ECF 中,AGE ECF AG ECGAE CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴△AGE ≌△ECF , ∴AE=EF ;(2)①∵由(1)证明可知当E 不是中点时同理可证AE=EF , ∵∠BAE=∠NEF ,∠B=∠ENF=90°, ∴△ABE ≌△ENF , ∴FN=BE=x , ∴S △ECF =12(BC-BE)·FN , 即y=12x(4-x ), ∴y=-12x 2+2x (0<x <4), ②()()222111y x 2x x 4x x 22222=-+=--=--+, 当x=2,y 最大值=2. 【点睛】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,二次函数的最值问题,综合性较强,正确添加辅助线、熟练掌握相关知识是解题的关键.8.在平面直角坐标系xOy 中,顶点为A 的抛物线与x 轴交于B 、C 两点,与y 轴交于点D ,已知A(1,4),B(3,0). (1)求抛物线对应的二次函数表达式;(2)探究:如图1,连接OA ,作DE ∥OA 交BA 的延长线于点E ,连接OE 交AD 于点F ,M 是BE 的中点,则OM 是否将四边形OBAD 分成面积相等的两部分?请说明理由; (3)应用:如图2,P(m ,n)是抛物线在第四象限的图象上的点,且m+n =﹣1,连接PA 、PC ,在线段PC 上确定一点M ,使AN 平分四边形ADCP 的面积,求点N 的坐标.提示:若点A 、B 的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),则线段AB 的中点坐标为(122x x +,122y y +).【答案】(1)y=﹣x2+2x﹣3;(2)OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分,理由见解析;(3)点N(43,﹣73).【解析】【分析】(1)函数表达式为:y=a(x﹣1)2+4,将点B坐标的坐标代入上式,即可求解;(2)利用同底等高的两个三角形的面积相等,即可求解;(3)由(2)知:点N是PQ的中点,根据C,P点的坐标求出直线PC的解析式,同理求出AC,DQ 的解析式,并联立方程求出Q点的坐标,从而即可求N点的坐标.【详解】(1)函数表达式为:y=a(x﹣1)2+4,将点B坐标的坐标代入上式得:0=a(3﹣1)2+4,解得:a=﹣1,故抛物线的表达式为:y=﹣x2+2x﹣3;(2)OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分,理由:如图1,∵DE∥AO,S△ODA=S△OEA,S△ODA+S△AOM=S△OEA+S△AOM,即:S四边形OMAD=S△OBM,∴S△OME=S△OBM,∴S四边形OMAD=S△OBM;(3)设点P(m,n),n=﹣m2+2m+3,而m+n=﹣1,解得:m=﹣1或4,故点P(4,﹣5);如图2,故点D作QD∥AC交PC的延长线于点Q,由(2)知:点N是PQ的中点,设直线PC的解析式为y=kx+b,将点C(﹣1,0)、P(4,﹣5)的坐标代入得:45k bk b-+=⎧⎨+=-⎩,解得:11 kb=-⎧⎨=-⎩,所以直线PC的表达式为:y=﹣x﹣1…①,同理可得直线AC的表达式为:y=2x+2,直线DQ∥CA,且直线DQ经过点D(0,3),同理可得直线DQ的表达式为:y=2x+3…②,联立①②并解得:x=﹣43,即点Q(﹣43,13),∵点N是PQ的中点,由中点公式得:点N(43,﹣73).【点睛】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、图形面积的计算等,其中(3)直接利用(2)的结论,即点N是PQ的中点,是本题解题的突破点.9.如图1,抛物线经过平行四边形的顶点、、,抛物线与轴的另一交点为.经过点的直线将平行四边形分割为面积相等的两部分,与抛物线交于另一点.点为直线上方抛物线上一动点,设点的横坐标为.(1)求抛物线的解析式;(2)当何值时,的面积最大?并求最大值的立方根;(3)是否存在点使为直角三角形?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;(2)当t=时,△PEF的面积最大,其最大值为×,最大值的立方根为=;(3)存在满足条件的点P,t的值为1或【解析】试题分析:(1)由A、B、C三点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;(2)由A、C坐标可求得平行四边形的中心的坐标,由抛物线的对称性可求得E点坐标,从而可求得直线EF的解析式,作PH⊥x轴,交直线l于点M,作FN⊥PH,则可用t表示出PM的长,从而可表示出△PEF的面积,再利用二次函数的性质可求得其最大值,再求其最大值的立方根即可;(3)由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况,当∠PAE=90°时,作PG⊥y轴,利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程,可求得t的值;当∠APE=90°时,作PK⊥x 轴,AQ⊥PK,则可证得△PKE∽△AQP,利用相似三角形的性质可得到关于t的方程,可求得t的值.试题解析:(1)由题意可得,解得,∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;(2)∵A(0,3),D(2,3),∴BC=AD=2,∵B(﹣1,0),∴C(1,0),∴线段AC的中点为(,),∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分,∴直线l过平行四边形的对称中心,∵A、D关于对称轴对称,∴抛物线对称轴为x=1,∴E(3,0),设直线l的解析式为y=kx+m,把E点和对称中心坐标代入可得,解得,∴直线l的解析式为y=﹣x+,联立直线l和抛物线解析式可得,解得或,∴F(﹣,),如图1,作PH⊥x轴,交l于点M,作FN⊥PH,∵P点横坐标为t,∴P(t,﹣t2+2t+3),M(t,﹣t+),∴PM=﹣t2+2t+3﹣(﹣t+)=﹣t2+t+,∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=PM•FN+PM•EH=PM•(FN+EH)=(﹣t2+t+)(3+)=﹣(t﹣)+×,∴当t=时,△PEF的面积最大,其最大值为×,∴最大值的立方根为=;(3)由图可知∠PEA≠90°,∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°,①当∠PAE=90°时,如图2,作PG⊥y轴,∵OA=OE ,∴∠OAE=∠OEA=45°, ∴∠PAG=∠APG=45°, ∴PG=AG ,∴t=﹣t 2+2t+3﹣3,即﹣t 2+t=0,解得t=1或t=0(舍去), ②当∠APE=90°时,如图3,作PK ⊥x 轴,AQ ⊥PK ,则PK=﹣t 2+2t+3,AQ=t ,KE=3﹣t ,PQ=﹣t 2+2t+3﹣3=﹣t 2+2t , ∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°, ∴∠PAQ=∠KPE ,且∠PKE=∠PQA , ∴△PKE ∽△AQP , ∴,即,即t 2﹣t ﹣1=0,解得t=或t=<﹣(舍去),综上可知存在满足条件的点P ,t 的值为1或.考点:二次函数综合题10.已知抛物线21322y x x =--的图象如图所示: (1)将该抛物线向上平移2个单位,分别交x 轴于A 、B 两点,交y 轴于点C ,则平移后的解析式为 .(2)判断△ABC 的形状,并说明理由.(3)在抛物线对称轴上是否存在一点P ,使得以A 、C 、P 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.【答案】(1)213222y x x =--+;(2)△ABC 是直角三角形;(3)存在,302,⎛⎫- ⎪⎝⎭、31122⎛-+ ⎝⎭,、31122⎛-- ⎝⎭,. 【解析】 【分析】(1)根据函数图象的平移规律,可得新的函数解析式;(2)根据自变量与函数值的对应关系,可得A ,B ,C 的坐标,根据勾股定理及逆定理,可得答案;(3)根据等腰三角形的定义,分三种情况,可得关于n 的方程,根据解方程,可得答案. 【详解】(1)将该抛物线向上平移2个单位,得:y 12=-x 232-x +2. 故答案为y 12=-x 232-x +2; (2)当y =0时,12-x 232-x +2=0,解得:x 1=﹣4,x 2=1,即B (﹣4,0),A (1,0). 当x =0时,y =2,即C (0,2).AB =1﹣(﹣4)=5,AB 2=25,AC 2=(1﹣0)2+(0﹣2)2=5,BC 2=(﹣4﹣0)2+(0﹣2)2=20.∵AC 2+BC 2=AB 2,∴△ABC 是直角三角形; (3)y 12=-x 232-x +2的对称轴是x 32=-,设P (32-,n ),AP 2=(132+)2+n 2254=+n 2,CP 294=+(2﹣n )2,AC 2=12+22=5.分三种情况讨论: ①当AP =AC 时,AP 2=AC 2,254+n 2=5,方程无解; ②当AP =CP 时,AP 2=CP 2,254+n 294=+(2﹣n )2,解得:n =0,即P 1(32-,0);③当AC =CP 时,AC 2=CP 2,94+(2﹣n )2=5,解得:n 1=22+,n 2=22-,P 2(32-,2),P 3(32-,2). 综上所述:在抛物线对称轴上存在一点P ,使得以A 、C 、P 为顶点的三角形是等腰三角形,点P 的坐标(32-,0),(32-,22+),(32-,22-). 【点睛】本题考查了二次函数综合题.解(1)的关键是二次函数图象的平移,解(2)的关键是利用勾股定理及逆定理;解(3)的关键是利用等腰三角形的定义得出关于n 的方程,要分类讨论,以防遗漏.。