福建省莆田市第六中学2021-2022高一数学上学期期中试题（B 卷）（含解析）（时间120分钟，满分150分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确（每小题5分，共60分）． 1.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A. y x = B. 1y x=C. 3y x =-D. 1()2xy =【答案】C 【解析】试题分析：A 中函数不是减函数；B 中函数在定义域内不是减函数；C 中函数既是奇函数又是减函数；D 中函数不是奇函数 考点：函数奇偶性单调性2.已知集合2{|log ,1}A y y x x ==≥，集合1{|,1}3xB y y x ⎛⎫==≤ ⎪⎝⎭，则A B =（ ） A. 1{|}3y y >B. 1{|}3y y ≥C. {|0}y y >D.{|0}y y ≥【答案】B 【解析】 【分析】分别计算得到{|0}A y y =≥，1{|}3B y y =≥，再计算AB 得到答案.【详解】2{|log ,1}{|0}A y y x x y y ==≥=≥；11{|,1}{|}33xB y y x y y ⎛⎫==≤=≥ ⎪⎝⎭ 1{|}3A B y y =≥故选：B【点睛】本题考查了交集的计算，属于简单题. 3.函数f （x ）=2x e x +-的零点所在的一个区间是 A. （-2,-1）B. （-1,0）C. （0,1）D. （1,2）【答案】C 【解析】 试题分析：()()()()2102220,1120,0020,1120f e f e f e f e ---=--<-=--<=+-=+-()()100f f ∴<，所以零点在区间（0，1）上考点：零点存性定理4.下列函数中，与函数y x =为相同函数的是（ ）A. 2x y x =B. y =C. ln xy e =D.2log 2x y =【答案】C 【解析】 【分析】分别判断函数的定义域和表达式，与函数y x =作比较判断得到答案. 【详解】y x =定义域为RA. 2x y x=定义域为()(),00,-∞⋃+∞，不相同；B. y x == ，表达式不相同；C. ln xy e x ==，定义域为R ，是相同函数； D. 2log 2xy =定义域为()0,∞+，不相同；故选：C【点睛】本题考查了相同函数的判断，确定定义域和表达式是解题的关键.5.已知函数2()3f x ax bx a b =+++是定义域为[1,2]a a -的偶函数，则+a b 的值为（ ） A. 0 B.13C. 1D. -1【答案】B 【解析】函数()23f x ax bx a b =+++是定义域为[]1,2a a -的偶函数，故1120,.3a a a -+==函数是偶函数，故奇次项系数为0.即0b=，此时13a b+=．故答案为B．6.三个数20.6a=，2log0.6b=，0.62c=之间的大小关系是（）A. a c b<< B. b a c<<C. a b c<< D. b c a<<【答案】B【解析】试题分析：2log10b<=，001,21a c<=，所以b a c<<.考点：比较大小．7.函数()1xxay ax=>的图形大致形状是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】按x的正负分类讨论，结合指数函数图象确定结论．【详解】由题意,0,0xxa xya x⎧>=⎨-<⎩，∵1a>，∴只有C符合．故选：C．【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，考查指数函数图象，这类问题可先化简函数式，然后结合基本初等函数的图象与性质确定结论．8.已知函数(2)1,(1)()log,(1)aa x xf xx x--≤⎧=⎨>⎩, 若()f x在(,)-∞+∞上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A. (1,2) B. (2,3)C. (2,3]D. (2,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】根据()f x 在R 上递增列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.【详解】由于()f x 在R 上递增，所以()201211log 1a a a a ⎧->⎪>⎨⎪-⨯-≤⎩，解得23a <≤.故选：C.【点睛】本小题主要考查分段函数的单调性，考查一次函数、对数函数的单调性，属于基础题.9.设25a b m ==，且112a b+=，则m = ( )B. 10C. 20D. 100【答案】A 【解析】 【分析】将指数式化为对数值，然后利用对数运算公式化简112a b+=，由此求得m 的值. 【详解】由25a b m==得25log ,log a m b m==，所以11log 2log 5log 102m m m a b+=+==，210,m m == A. 【点睛】本小题主要考查指数式和对数式互化，考查对数运算，属于基础题.10.某商场对顾客实行购物优惠活动规定，一次购物付款总额．．．．．．．．： （1）如果标价总额．．．．不超过200元，则不给予优惠； （2）如果标价总额．．．．超过200元但不超过500元，则按标价总额．．．．给予9折优惠； （3）如果标价总额．．．．超过500元，其500元内的按第（2）条给予优惠，超过500元的部分给予8折优惠.某人两次去购物，分别付款180元和423元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款（ ） A. 550元 B. 560元 C. 570元 D. 580元【答案】C 【解析】 【分析】先判断第一次购物不超过200，第二次不超过500，计算得到共购物650元，再计算得到答案. 【详解】若第一次购物超过200，则付款大于2000.9180⨯=，故第一次购物不超过200元； 若第二次购物超过500，则付款大于5000.9450⨯=，故第二次购物不超过500元； 第二次购物4230.9470÷= 合计470180650+= 付款为()5000.96505000.8450120570⨯+-⨯=+= 故选：C【点睛】本题考查了分段函数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.11.()f x 是定义在()2,2- 上单调递减的奇函数，当()()2230f a f a -+-< 时，a 的取值范围是 （ ） A. ()0,4 B. 50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 15,22⎛⎫⎪⎝⎭D. 51,2⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】由函数是奇函数可得()()223f a f a -<--，即()()223f a f a -<-+；由函数是单调递减函数可得2235222122232a a a a a ->-+⎧⎪-<-<⇒<<⎨⎪-<-<⎩，应选答案D ．12.用{}min ,,a b c 表示a ,b ,c 三个数中的最小值．设{}()min ,2,10,(0)xf x e x x x =+-≥，则()f x 的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】C 【解析】【分析】化简得到函数()()()104()24xx xf x x t xe x t⎧->⎪=+≤≤⎨⎪≤<⎩，画出函数图像得到答案.【详解】{}()()()104()min,2,1024xxx xf x e x x x t xe x t⎧->⎪=+-=+≤≤⎨⎪≤<⎩其中t为2xe x=+的大于零的根.画出函数图像知：当()max()46f x f==故选：C【点睛】本题考查了函数的新定义问题，分段函数最值，画出函数图像是解题的关键.二、填空题(共5小题，每小题5分，共20分)13.已知集合{}220A x x x=-->，则RA=_____【答案】{}12x x-≤≤【解析】【分析】通过求解不等式，得到集合A，然后求解补集即可．【详解】解不等式220x x-->得12x x-或，所以{}|12A x x x=-或，所以可以求得{}|12RC A x x=-≤≤故答案为{}|12x x-≤≤【点睛】本题考查不等式的解法，补集的运算，是基本知识的考查． 14.函数y 的定义域是________________________． 【答案】(3,4]， 【解析】 【分析】直接利用函数定义域的定义得到不等式0.530log (3)0x x ->⎧⎨-≥⎩计算得到答案.【详解】函数y =的定义域满足：0.530log (3)0x x ->⎧⎨-≥⎩ 解得34x <≤故答案为：(3,4]【点睛】本题考查了函数的定义域，意在考查学生的计算能力.15.已知函数()y f x =与xy e =的图象关于直线y x =对称，则2(28)f x x --的单调递增区间为___________________．【答案】(4)+∞，， 【解析】 【分析】先计算得到()ln f x x =，根据复合函数的单调性得到22801x x x ⎧-->⎨≥⎩计算得到答案.【详解】函数()y f x =与xy e =的图象关于直线y x =对称，则()ln f x x =根据复合函数单调性得到2(28)f x x --的单调递增区间满足22801x x x ⎧-->⎨≥⎩解得4x >故答案为：(4)+∞，【点睛】本题考查了复合函数的单调性，忽略掉定义域是容易发生的错误.16.当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”．2021年7月6日，第43届世界遗产大会宣布，中国良渚古城遗址成功申遗，获准列入世界遗产名录．目前中国世界遗产总数已达55处，位居世界第一．今年暑期，某中学的“考古学”兴趣小组对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料(草裹泥)上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的54%．利用参考数据：lg 20.30,lg30.48==，请你推断上述所提取的草茎遗存物距今大约有_______________________年（精确到1年）． 【答案】4966． 【解析】 【分析】根据题意得到方程5730154%2t⎛⎫= ⎪⎝⎭，计算得到答案.【详解】设时间为t ，根据题意知：573011543lg 3lg 2254%lg lg 57304966257302100lg 2t t t +-⎛⎫=∴=∴=⨯= ⎪-⎝⎭故答案为：4966【点睛】本题考查了指数函数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或或演算步骤）17.（1）计算：()2lg 25lg 2lg50lg 2⋅＋＋； （2）已知()xxf x a a-=+（0a >且1a ≠），若132f ⎛⎫=⎪⎝⎭，求(0)(1)f f +的值． 【答案】（1）2（2）(0)(1)9f f += 【解析】 【分析】（1）直接利用对数的计算法则得到答案. （2）先计算(0)2f =，再得到11223a a -+=，计算211122(1)2f a a a a --⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭得到答案.【详解】（1）()2252?502lg lg lg lg ++()22(215)25lg lg lg lg +++＝251()225lg lg lg lg +++＝11225()()2252lg lg lg lg +＝+＋＝＝（2）()x x f x a a -=+，(0)2f ∴=，又132f ⎛⎫=⎪⎝⎭，即11223a a -+=，∴211122(1)2927f a a a a --⎛⎫=+=+-=-= ⎪⎝⎭则(0)(1)9f f +=【点睛】本题考查了对数的计算，函数值的计算，意在考查学生的计算能力.18.已知函数23()log (4)f x x x m =-+的图象过点(0)1，． （1）求实数m 的值，并求()f x 的定义域和值域； （2）解不等式()1f x ≤．【答案】（1）3m =，定义域为(,1)(3,)-∞+∞，()f x 的值域为R （2）{|01x x ≤<或34}x <≤【解析】 【分析】（1）将(0)1，代入函数解得3m =，再计算2430x x -+>得到定义域，最后计算值域得到答案.（2）根据题意得到233log (43)log 3x x -+≤得到不等式2243040x x x x ⎧-+>⎨-≤⎩计算得到答案.【详解】（1）由题意得3(0)1log 1f m =∴=，所以3m =， 所以23()log (43)f x x x =-+，由2430x x -+>得1x <或3x >， 则()f x 的定义域为(,1)(3,)-∞+∞，因为243(0,)x x -+∈+∞，所以()f x 的值域为R ．（2）不等式233()1log (43)log 3f x x x ≤∴-+≤，所以20433x x <-+≤∴2243040x x x x ⎧-+>⎨-≤⎩ 解得01x ≤<或34x <≤所以不等式()1f x ≤的解集为{|01x x ≤<或34}x <≤【点睛】本题考查了对数型函数的定义域，值域，解不等式，意在考查学生的计算能力. 19.对于函数2()21xf x a =-+()a R ∈．（1）定义法证明：函数()f x 为减函数； （2）是否存在实数a 使函数()f x 为奇函数？【答案】（1）详见解析（2）存在实数1a =使函数()f x 为奇函数 【解析】 【分析】（1）设任意12,x x R ∈且12x x <，计算()21121222()0(21)(21)x x x x f x f x --=>++得到证明. （2）根据()()f x f x -=-化简得到22222222122121x x xx x a ⋅⋅+=+==+++计算得到答案. 【详解】（1）函数2()21xf x a =-+的定义域为R ，设任意12,x x R ∈且12x x <， 则()121211()2121x x f x f x a a ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭21121211222121(21)(21)x x x x x x -=-=++++， 由12x x <，得12022x x <<，则21220x x ->，1210x +>，2210x +>，()12()0f x f x ∴->，即()12()f x f x >()f x ∴为R 上减函数；（2）若函数()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，222121x x a a -⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭，2221221x x x a a ⋅-=-+++，22222222122121x x xx x a ⋅⋅+=+==+++，即1a =， 所以存在实数1a =使函数()f x 奇函数．【点睛】本题考查了定义法证明函数的单调性，根据函数的奇偶性求参数，意在考查学生对于函数性质的综合应用.20.设02x ≤≤,求函数4325xxy =-⋅+最值及相应的x 的值．【答案】2log 31x =-时，min 114y =; 2x =时，max 9y =． 【解析】 【分析】()22325x x y =-⋅+，设214,x t t =≤≤得到2311()24f t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭根据二次函数的单调性得到答案.【详解】()2432543252325x x x x x x y =-⋅+=-⋅+=-⋅+， 设2,02,14x t x t =≤≤∴≤≤，且235y t t =-+， 由于22311()3524f t t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 则()f t 在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，在3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数， ∴当32t =，则322x =，即2log 31x =-时，min 114y = 又(1)3,(4)9f f ==，即(1)(4)f f <，∴当4t =，则24x =，即2x =时，max 9y =．【点睛】本题考查了函数的最值，换元2x t =可以简化运算，是解题的关键.21.某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．（1）分别写出两类产品收益与投资额的函数关系式；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，怎样分配资金才能获得最大收益？其最大收益为多少万元？【答案】（1）()18f x x =()0x ≥，()g x =()0x ≥；（2）债券类产品投资16万元时，收益最大，为3万元【解析】【分析】 （1）由题意，得到()1f x k x =，()g x k =，代入求得12,k k 的值，即可得到函数的解析式；（2）设债券类产品投资x 万元，可得股票类产品投资()20x -万元，求得总的理财收益的解析式，利用换元法和二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）设投资债券类产品的收益()f x 与投资额x 的函数关系式为()()10f x k x x =≥， 投资股票类产品的收益()g x 与投资额x 的函数关系式为()g x k =()0x ≥，可知()110.125f k ==，()210.5g k ==，所以()18f x x =()0x ≥，()g x =()0x ≥. （2）设债券类产品投资x 万元，则股票类产品投资()20x -万元，总的理财收益()()208x y f x g x =+-=+()020x ≤≤.令t =220x t =-，0t ≤≤， 故()()22220111420238288t y t t t t -=+=---=--+， 所以，当2t =时，即债券类产品投资16万元时，收益最大，为3万元.【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，列出函数的解析式，熟练应用函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.22.已知函数1()log 1amx f x x -=+(0,1,1)a a m >≠≠-，是定义在(1,1)-上的奇函数. （1）求实数m 的值；（2）判断函数()f x 在(1,1)-上的单调性．【答案】（1）1m =（2）答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）利用奇函数()()0f x f x 得到22211m x x -=-，计算得到答案. （2）设12111x t x x -==-+++，利用定义法证明为减函数，再讨论1a >和01a <<，利用复合函数单调性得到答案.【详解】（1）因为()f x 是在(1,1)-上的奇函数，所以()()f x f x -=-，即()()0f x f x ， 所以1111log log 0log 01111a a a mx mx mx mx x x x x -+-++=∴⋅=+-++-+，则11111mxmxx x -+⋅=+-+，即22211m x x -=-对定义域中的x 都成立，所以21m =，又1m ≠-，所以1m =；（2）所以1()log 1a x f x x -=+设1(1)221111x x t x x x --++===-++++，设1211x x -<<<，则211212122()2211(1)(1)x x t t x x x x --=-=++++1211x x -<<<∴210x x ->，12(1)(1)0x x ++>∴12t t >.当1a >时，12log log a a t t >，即12()()f x f x >.∴当1a >时，()f x 在(1,1)-上是减函数.当01a <<时，12log log a a t t <，即12()()f x f x <.∴当01a <<时，()f x 在(1,1)-上是增函数.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，分类讨论是常用的方法，需要熟练掌握.。