北大版金融数学引论答案Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#版权所有，翻版必究第二章习题答案1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。
如果它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。
计算X 。
解：S = 1000s 20p 7%+Xs10p 7%X =50000 1000s20p 7%s 10p7%=2．价值10,000元的新车。
购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。
月结算名利率18%。
计算首次付款金额。
解： 设首次付款为X ，则有10000 = X + 250a48%解得X =3．设有n 年期期末年金，其中年金金额为n ，实利率i =1。
试计算该年金的现值。
解：P V = na npi1 v nn = n 1n= (n + 1)nn 2n n+2(n + 1)n4．已知：a n p= X ，a2n p= Y 。
试用X和Y 表示d 。
解： a 2np = a np + a np (1 d)n则Y Xd = 1 ( X )5．已知：a 7p = , a 11p= , a 18p= 。
计算i 。
解：a18p= a 7p + a11pv7解得 6.证明： 11v =s +a 。
si = %北京大学数学科学学院金融数学系第 1 页版权所有，翻版必究 证明：s 10p+ a ∞p (1+i)1+11s 10p=i(1+i)1ii= 1 v 107．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半 年200元，然后减为每次100元。
解：P V = 100a 8p3% + 100a 20p 3% =8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。
然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。
设前25年的年利率为8%， 后15年的年利率7%。
计算每年的退休金。
解： 设每年退休金为X ，选择65岁年初为比较日1000¨25p8%=X¨15p7%解得9．已知贴现率为10%，计算¨8p。
X =解： d = 10%，则 i=110.求证：(1) ¨np = a np + 1 v n；1d1 =19¨8p = (1 + i) 1 v 8i=(2) ¨np = s np 1 + (1 + i)n并给出两等式的实际解释。
证明： (1)¨np =1d v =1v =1vi+ 1vn所以 (2)¨np =(1+i)1¨np = a np + 1 v n(1+i )1=(1+i)1n1d =i+ (1 +i)所以¨np = s np1 + (1 + i)n12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终值。
解：P V = 100a49% 100a% =AV = 100s49% 100s% =13.现有价值相等的两种期末年金A和B。
年金A在第1－10年和第21－30年中每年1元，在第11－20年中每年2元；年金B在第1－10年和第21－30年中每年付款金额为Y ，在第11－20年中没有。
已知：v10=1，计算Y 。
解：因两种年金价值相等，则有2a30p i+a10p i v10=Y a30p i Y a10pi v10所以Y =3v2v1+v2v=14.已知年金满足：2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36；另外，递延n年的2元n 期期末年金的现值为6。
计算i。
解：由题意知，2a2n pi+ 3a n pi = 362a n pi v n= 6解得a7p a3p + s X pi = %15.已知a11p=a Y p + s Z p 。
求X，Y和Z。
解：由题意得解得 1 v71 v11 =(1 + i)X v3 (1 + i)Z v Y16.化简a15p (1 + v15+ v30)。
解：X = 4, Y = 7, Z = 4 a15p (1 + v15+ v30) = a45p北京大学数学科学学院金融数学系第3 页17.计 算 下 面 年 金 在 年 初 的 现 值：首 次 在 下 一 年 的4月1日，然 后 每 半 年 一次2000元，半年结算名利率9%。
解： 年金在4月1日的价值为P =1+%%×2000 = ，则P V =P(1 + i)2+=18.某递延永久年金的买价为P ，实利率i ，写出递延时间的表达式。
解： 设递延时间为t ，有1解得t = ln(1+lniP i)P = i v t19.从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。
从第三十年底开始每年领取一 定的金额X ，直至永远。
计算X 。
解： 设年实利率为i ，由两年金的现值相等，有X 1000¨ 20pi =iv 29解得X = 1000((1 + i)30(1 + i)10)20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A 、B 、C 、和D ：前n 年，A 、B 和C 三人平分每年的年金，n 年后所有年金由D 一人继承。
如果四人的遗产份额的现值相同。
计算(1 + i)n。
解： 设遗产为１，则永久年金每年的年金为i ，那么A,B,C 得到的遗产的现值为 i3an pi，而D 得到遗产的现值为v n。
由题意得所以1 v n3(1 + i)n= 4= v n21.永 久 期 末 年 金 有A 、B 、C 、和D 四 人 分 摊，A 接 受 第 一 个n 年，B 接 受 第 二个n 年，C 接受第三个n 年，D 接受所有剩余的。
已知：C 与A 的份额之比为， 求B 与D 的份额之比。
版权所有，翻版必究解：由题意知那么P V CP V AP V B==a n p v2na n pa n p v n13n== P V D i v元年利率%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最后一次的还款大于100元。
计算最后一次还款的数量和时间。
100a%v4<1000解：100a n+1%v4>1000解得n = 17列价值方程解得100a16%+Xv21 = 1000X =年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等。
如果以同样的年利率计算货币的价值在n年内将增加一倍，计算n。
解：两年金现值相等，则4 × a36p i= 5× 18，可知v18=由题意，(1 + i)n= 2 解得n = 924.某借款人可以选择以下两种还贷方式：每月底还100元，5年还清；k个月后一次还6000元。
已知月结算名利率为12%，计算k。
解：由题意可得方程100a60p1% = 6000(1 + i)k解得25.已知a2pi= ，求i。
解：由题意得解得k = 291 v2=i = %26.某人得到一万元人寿保险赔付。
如果购买10年期末年金可以每年得到1538元，20年的期末年金为每年1072元。
计算年利率。
解：27.某人在银行中存入一万元10年定期存款，年利率4%，如果前5年半内提前支取，银行将扣留提款的5% 作为惩罚。
已知：在第4、5、6和7年底分别取出K元，且第十年底的余额为一万元，计算K 。
解：由题意可得价值方程10000 = 105Ka2p4%v3+Ka2p4% + 10000v10则K = 1000010000v105a v+a v=28.贷款P 从第六个月开始分十年逐年还清。
第一次的还款额为后面还款的一半，前四年半的年利率为i，后面的利率为j。
计算首次付款金额X的表达式。
解：选取第一次还款日为比较日，有价值方程P (1 + i)= X + 2Xa4pi+ 2Xa5pj (1 + i)4所以P (1 + i)X =1 + 2a4pi+ 2a5pj (1 + i)429.已知半年名利率为7%，计算下面年金在首次付款8年后的终值：每两年付款2000元，共计8次。
解：30.计算下面十年年金的现值：前5年每季度初支付400元，然后增为600元。
已知年利率为12%。
（缺命令）解：P V = 4 × 400 + 4 × 600v5=31.已知半年结算的名贴现率为9%，计算每半年付款600元的十年期初年金的现值表达式。
解：32.给出下面年金的现值：在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。
解：P V =1s4pia24p i v3=(1 +i)24 1(1 + i)27[(1 + i)4 1]=a28p a4ps3p + s1p北京大学数学科学学院金融数学系第6 页元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R元的30年期末年金代替，半年换算名利率4%，求R的表达式。
解：设年实利率为i，则(1 + 2%)2= 1 + i。
有题意得750 i+750s20pi i=Ra30pi解得R =34.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91，计算年利率。
解：由题意知解得i = 20%1is3pi=1259135.已知：1元永久期初年金的现值为20，它等价于每两年付款R元的永久期初年金，计算R。
解：由题意得解得R = 20 =1d=Ra2pi i36.已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。
试用贴现率表示递延时间。
(2)解：设贴现率为d，则1 +i 2=1(1 d)设递延时间为t，由题意得10000 = 2 × 500vt¨(2)∞p 解得t =ln 20 + ln(1 (1 d))ln(1 d)37. 计算：3a(2)np = 2a(2)2np = 45s(2)1p，计算i 。
解：i i3 ×a n pi= 2×a n pi = 45 ×i s1pi解得：v n=1, i =1i(2)。
i2 i22 30北京大学数学科学学院金融数学系第7 页38.已知i(4)= 16%。
计算以下期初年金的现值：现在开始每4个月付款1元，共12年。
（问题）解：39.已知：δt =1+1t。
求ˉn p 的表达式。
解：ˉn p =∫ne Rδds dt= ln(1 + n)40.已知一年内的连续年金函数为常数1，计算时刻t，使得只要在该时刻一次性支付一个货币单位，则两种年金的现值相等。
解：第一种年金的现值为∫10 v t dt = 1 eδδ第二种年金的现值为eδt，则所以t = 1 +1δlnδi 1 eδδ= eδt41.已知：δ = 。