版权所有，翻版必究第二章习题答案1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。
如果它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+X元，年利率7%。
计算X。
解：S=1000s20¬p7%+Xs10¬p7%X=50000−1000s20¬p7%s10¬p7%=651.724年。
6.证明：11−v10=10¬p+a∞¬p。
s10¬p北京大学数学科学学院金融数学系第1页版权所有，翻版必究 证明：s 10¬p +a ∞¬p(1+i)10−1+11s 10¬p= i(1+i)10−1ii= 1−v 107．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半 年200元，然后减为每次100元。
解：PV =100a¬8p3% +100a 20¬p 3% =2189.7168．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。
然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。
设前25年的年利率为8%，¨¬n p=s¬−n p1+(1+i)n12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终值。
解：PV =100a49¬p1.5% −100a¬2p1.5% =3256.88AV =100s49¬p1.5% −100s¬2p1.5% =6959.3713.现有价值相等的两种期末年金A和B。
年金A在第1－10年和第21－30年中每年1元，在第11－20年中每年2元；年金B在第1－10年和第21－30年中每年付款金36；另17.计算下面年金在年初的现值：首次在下一年的4月1日，然后每半年一次2000元，半年结算名利率9%。
解：年金在4月1日的价值为P=1+4. 5% 4.5%×2000=46444.44，则PV = P(1+i)2+23=41300.65718.某递延永久年金的买价为P，实利率i，写出递延时间的表达式。
B和C三人0.49，求B与D的份额之比。
版权所有，翻版必究解：由题意知那么PVCPVAPVB==a¬n pv2na¬n pa¬n pv n13n=0.49=0.61PVD iv22.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最后一次的还款大于100元。
计算最后一次还款的数量和时间。
100100a列价值方程解得年的期末年金每次1538元，20的期末年金为每年1072元。
计算年利率。
解：27.某人在银行中存入一万元10年定期存款，年利率4%，如果前5年半内提前支 取，银行将扣留提款的5%作为惩罚。
已知：在第4、5、6和7年底分别取出K 元， 且第十年底的余额为一万元，计算K 。
解：由题意可得价值方程10000=105Ka¬2p4%v 3+Ka¬2p4% +10000v 10则 K=10000−10000v 10105a¬2p4%v 3+a¬2p4%v 5=979.9428.贷款P 从第六个月开始分十年逐年还清。
第一次的还款额为后面还款的一半， 前四年半的年利率为i ，后面的利率为j 。
计算首次付款金额X 的表达式。
元。
已知 第6页33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R元的30年期末年金代替，半年换算名利率4%，求R的表达式。
解：设年实利率为i，则(1+2%)2=1+i。
有题意得75 0 i + 750s20¬pi i=Ra30¬pi解得R=1114.7734.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91，计算年利率。
解：由题意知125n2 30北京大学数学科学学院金融数学系第7页38.已知i(4)=16%。
计算以下期初年金的现值：现在开始每4个月付款1元，共12年。
（问题）解：39.已知：δt=1+1t。
求¯¬n p 的表达式。
解：¯¬n p= ∫ne−R0tδs ds dt=ln(1+n)40.已知一年内的连续年金函数为常数1，计算时刻t，使得只要在该时刻一次性支付一个货币单位，则两种年金的现值相等。
元的固定第8页43.已知某永久期末年金的金额为：1，3，5，...。
另外，第6次和第7次付款的现值相等，计算该永久年金的现值。
解：由题意：11 13(1+i)6=(1+i)7⇒i=112PV =v+3v2+···+(2n−1)v n+···=v[1+PV +2(v+v2+···)]=v(1+PV +2v 解得:PV =66 1−v)44.给出现值表达式Aa¬n p +B(Da)n|所代表的年金序列。
用这种表达式给出如1009、10年底各300元，依此类推。
证明其现值为:v4100北京大学数学科学学院金融数学系i−vd第9页解：把年金分解成：从第5年开始的100元永久年金，从第7年开始的100元永久年金...。
从而PV =v4100 1 1=100v41 1 =100 v4i a¬2pi i i1−v2 i−vd48.十年期年金：每年的1月1日100元；4月1日200元；7月1日300元；10月1日400元。
证明其现值为：4年。
北京大学数学科学学院金融数学系6000¨¬4p ¨(12)9/12| 第10页51. 现有如下的永久年金：第一个k 年每年底还；第二个k 年每年底还2R ；第三 个k 年每年底还3R ；依此类推。
给出现值表达式。
解：把此年金看成从第nk 年开始的每年为R 的永久年金(n=0,1,2,···):每个年金的值为Ra ∞¬p在分散在每个k 年的区段里： Ra ∞| a k|再按标准永久年金求现值：X=20X=(四年一次的永久年金：首次1 =v·PV解：由于0<k<i ，故下列广义积分收敛：PV = ∫ ∞ ∫ ∞ (1+k)te −δt dt = (0 01+k1+i )t dt =1 ln(1+i)−ln(1+k)北京大学数学科学学院金融数学系第11页55. 递延一年的13年连续年金的年金函数为t 2−1，利息力为(1+t)−1，计算该年 金现值。
与原答案有出入 解：PV=exp(−∫111+tdt)∫14 1(t 2−1)exp(−∫t −1 01 1+sds)dt=47.4356. 给出下列符号的表达式:∑n∑it=11∑n1∑¨¬−i nt=1 t− t=1 n1−v ti = 1n(n+1)−1i 2 i 2i(n−a¬np)=2n (n+1)−n+a¬npi 257. 现有两种永久年金：A －金额为p 的固定期末年金；B －金额为q,2q,3q,···的 递增期末年金。
分别对两种年金的现值之差为0和得到极大两种情况计算年利 率。
北京大学数学科学学院金融数学系第12页版权所有，翻版必究解：年金现值分别为：PV A = pa∞¬pi=p i q qPV B= q(Ia)∞| =(1)当PV A=PV B时有：ip=iq+qi+i 2i=q解得：p−q,p>qi不存在, p≤q(2)令f(i)=p i −q i −i q2pi2+ q +2 q =0年，单AV = s m¬p7%×(1+0.11)n+s¬n p11%= s m¬p7%×(0.11s¬n p11% +1)+s¬n p11%=640.72北京大学数学科学学院金融数学系第13页60. 甲持有A 股票100股，乙持有B 股票100股，两种股票都是每股10元。
A 股票每年底每股分得红利0.40元，共计10年，在第10次分红后，甲以每股2元的价格将所 有的股票出售，假设甲以年利率6%将红利收入和股票出售的收入进行投资。
B 股 票在前10年没有红利收入，从第11年底开始每年每股分得红利0.80元，如果乙也是以年利率6%进行投资，并且在n 年后出售其股票。
为了使甲乙在乙的股票出售 时刻的累积收入相同，分别对n=15,20两种情况计算乙的股票出售价格。
解：设X 为买价，有价值方程：0.4s 10¬p 6%+2=0.8s n −10|6%+X(1+0.06)−(n−10)从而有：5.22 2.48 某奖学金从1990日用半8%结算利息。
另外，从1991 2000年元旦的 解：由题意： N2Ka M ¬p i=Ka N ¬pi⇒v M=1+vN>v 2即：M<N/2北京大学数学科学学院金融数学系2第14页64. 从1990年的元旦开始在每年的1月和7月的第一天存款500元，年利率6%，问：什么时刻，余额首次超过一万元、十万元。
解：半年实利率：i=(1+6%)1/2−1=2.9563%余额首次超过X的时刻：500¨n|i ≥X2X=100008从而解得：n≈35 X=100000年元旦2n B n nA+A2+4AB −168. 对于固定的n和L，且L>n，证明：L=a¬n p 在−1<i<1上有唯一解。
证：(斯图姆判别？)考虑如下现金流：初始时刻投入L,而后的n年每年末得到回报1,从而此投资的内部收益率i满足L=a¬n pi由于现金流只改变一次方向，从而由笛卡儿符号法则有，在−1<i<1,有唯一的内部收益率。
69. 证明：(Ia)n pi+(Da)ni=(n+1)a n pi;s n+1pi=i(Is)n pi+(n+1)。
并给出实际背景解释。
n,n−1,···,11,2,+n−a¬v)每年以4％的速度增加(假定提薪恰好在每年的年中进行)。
1)分别对以下两种退休金方式计算年退休金占退休前一年年薪的比例：如果年退休金为工作期间年平均工资的70%；年退休金为年平均工资的2.5%再乘以工作年限。
2〕如果企业和个人分别将年工资的3%存入年利率6%的养老基金，试对以上两种退休金方式计算退休金的领取年限。
北京大学数学科学学院金融数学系第16页解：1)平均工资：$=18000(1+1.04+···+1.0436)/37=39747.04退休前一年的工资：18000×(1+0.04)36=73870.79 法一：年退休金：0.7$=27822.93,比例为：37.66%法二：年退休金：0.25$×37=36766.01,比例为：49.77% 2)企业和个人各存3%则一共存6%,从而这笔基金的终值为：∑36P =18000×6%×(1+4%)t(1+6%)36−t=235871.7t=0设年退休金为R,则有：n=12第一种方式8第二种方式已知永久期初年金为：首次1+2+解：进行现金流拆分：从第一年出发的一份标准永久年金，从第二年出发的两t 的6年底，B 希望立即收回所有借款，因此将今后接受还款的权利转卖给C ，转卖价格使C 今后几年的年收益率将达到6%，计算转卖价格。