第二章习题答案1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。

如果它们前十年每年底存 款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。

计算X 。

解：20|7%10|7%50000100020|7%10|7% 1000 651.72s s s S s X X -=+==2．价值10,000元的新车。

购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。

月结算名利率18%。

计算首次付款金额。

解： 设首次付款为X ，则有48|1.5%1000250X a =+解得X = 1489.363．设有n 年期期末年金，其中年金金额为n ，实利率i = 1。

试计算该年金的现值。

解：22|1( 1)1( 1)n n n n i nv n n n PV na n n n+-+-===+ 4．解： ]]]2(1)nn n n a a a d =+-则1 1()n Y X d X -=- 5．已知：]]]71118 5.58238, 7.88687, 10.82760a a a ===。

计算i 。

解：]]]718711a a a v =+解得i = 6.0%6.证明：]]]10101 110s a v s ∞+=- 证明：]]]1010101010(1)111(1)11i s a i i i s v i∞+-++==+-- 7．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半 年200元，然后减为每次100元。

解：8p]3%20]3%100100 2189.716a a PV =+=8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。

然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。

设前25年的年利率为8%，后15年的年利率7%。

计算每年的退休金。

解： 设每年退休金为X ，选择65岁年初为比较日15]7%100025]8%a s X =￢解得X = 8101.659．已知贴现率为10%，计算8]a 。

解： d = 10%，则88]111 191 (1 ) 5.6953i d v a i i=-=--=+= 10.求证：()()]]]]1 12? 1 (1 )n n n n n n a a v s s i =+-=-++；并给出两等式的实际解释。

证明： (1)]111¨ 11n n nn n v v v a v i d ii---===+-+ 所以]]¨ 1n n n a a v =+- (2)]1(1)1(1)1(1)1¨ (1 )1n n n n n i ii i i s i d i ++-+-+-===++- 所以]]¨ 1 (1 )n n n a s i =-++12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利 率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终 值。

解：PV = 100a 49】1.5% − 100a 2]1.5% = 3256.88AV = 100s 49]1.5% − 100s 2]1.5% ￢ = 6959.3713.现有价值相等的两种期末年金A 和B 。

年金A 在第1－10年和第21－30年中每 年1元，在第11－20年中每年2元；年金B 在第1－10年和第21－30年中每年付款金额为Y ，在第11－20年中没有。

已知：1012v = ，计算Y 。

解： 因两种年金价值相等，则有101030]30]10]?10]? ? i i i v i v a a Y a Y a +=-所以1030103032 1.812v v Y v v --==+- 14.已知年金满足：2元的2n 期期末年金与3元的n 期期末年金的现值之和为36；另 外，递延n 年的2元n 期期末年金的现值为6。

计算i 。

解： 由题意知，2]]]2 3 362 6n i n i n n i a a a v +==解得i = 8.33%15.已知7]3]]11]]]X Y Z a a s a a s +=+。

求X ，Y 和Z 。

解： 由题意得73111(1 )1(1 )X Z Y v i v v i v-+-=-+- 解得X = 4, Y = 7,Z = 416.化简153015](1 )a v v ++。

解：153015]45](1 ) a v v a ++=17.计算下面年金在年初的现值：首次在下一年的4月1日，然后每半年一 次2000元，半年结算名利率9%。

解： 年金在4月1日的价值为P = (1+4.5%)/4.5%× 2000 = 46444.44 ，则232 41300.657(1 )PPV i +==+18.某递延永久年金的买价为P ，实利率i ，写出递延时间的表达式。

解： 设递延时间为t ，有1t P v i=解得ln ln(1)iP t i =-+ 19.从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。

从第三十年底开始每年领取一定的金额X ，直至永远。

计算X 。

解： 设年实利率为i ，由两年金的现值相等，有2920]1000i X a v i= 解得3010 1000((1 )(1 ))X i i =+-+20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A 、B 、C 、和D ：前n 年，A 、B 和C 三人 平分每年的年金，n 年后所有年金由D 一人继承。

如果四人的遗产份额的现值相 同。

计算(1 )n i +。

解： 设遗产为１，则永久年金每年的年金为i ，那么A,B,C 得到的遗产的现值 为]3n i i a ，而D 得到遗产的现值为v n 。

由题意得 13nn v v -=所以(1 ) 4n i += 21.永久期末年金有A 、B 、C 、和D 四人分摊，A 接受第一个n 年，B 接受第二个n 年，C 接受第三个n 年，D 接受所有剩余的。

已知：C 与A 的份额之比为0.49， 求B 与D 的份额之比。

解： 由题意知2]]0.49n n C A n a v PV PV a == 那么]31 0.61n n B n D i a v PV PV v== 22.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最 后一次的还款大于100元。

计算最后一次还款的数量和时间。

解：4]4.5%41]4.5%10010001001000n n a v a v +<>解得n = 17列价值方程216]4.5%100 1 1000a Xv +=解得X = 146.0723.36年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等。

如果以同样的年利率计算货币的价值在n 年内将增加一倍，计算n 。

解： 两年金现值相等，则36]4 518i a ⨯=⨯，可知18 0.25v =由题意，(1 ) 2n i += 解得n = 924.某借款人可以选择以下两种还贷方式：每月底还100元，5年还清；k 个月后一 次还6000元。

已知月结算名利率为12%，计算k 。

解： 由题意可得方程100a 60p 1% ￢ = 6000(1 + i )−k解得k = 2925.已知2] 1.75i a =，求i 。

解： 由题意得21 1.75v i -=解得i = 9.38%26.某人得到一万元人寿保险赔付。

如果购买10年期末年金可以每年得到1538元，20年的期末年金为每年1072元。

计算年利率。

解：27.某人在银行中存入一万元10年定期存款，年利率4%，如果前5年半内提前支 取，银行将扣留提款的5% 作为惩罚。

已知：在第4、5、6和7年底分别取出K 元， 且第十年底的余额为一万元，计算K 。

解： 由题意可得价值方程3102]4%2]4%10352]4%2]4%10000 105 100001000010000 979.94105Ka v Ka v v K a v a v =++-==+则28.贷款P 从第六个月开始分十年逐年还清。

第一次的还款额为后面还款的一半， 前四年半的年利率为i ，后面的利率为j 。

计算首次付款金额X 的表达式。

解： 选取第一次还款日为比较日，有价值方程121424]5]44]5](1 ) 2 2(1 )(1 )1 22(1 )a i j i j P i X X Xa i P i X a a i --+=++++=+++所以29.已知半年名利率为7%，计算下面年金在首次付款8年后的终值：每两年付 款2000元，共计8次。

解：30.计算下面十年年金的现值：前5年每季度初支付400元，然后增为600元。

已知 年利率为12%。

（缺命令）解：5 4400 4600 11466.14PV v =⨯+⨯=31.已知半年结算的名贴现率为9%，计算每半年付款600元的十年期初年金的现 值表达式。

解：32.给出下面年金的现值：在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。

解：2428]4]324]2744]3]1]1(1 )1(1 )[(1 )1]i i a a i PV a v s i i s s -+-===++-+ 33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R 元的30年期末 年金代替，半年换算名利率4%，求R 的表达式。

解： 设年实利率为i ，则(1 + 2%)2 = 1 + i 。

有题意得30]20]p 750750a i i R i s i+=解得R = 1114.7734.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91，计算年利率。

解： 由题意知3]112591i is =解得i = 20% 35.已知：1元永久期初年金的现值为20，它等价于每两年付款R 元的永久期初年 金，计算R 。

解： 由题意得2]120 i R d a i==解得R = 1.95 36.已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。

试用贴现率表示递延 时间。

解： 设贴现率为d ，则()12211 2(1)i d +=- 设递延时间为t ，由题意得()2]10000 2500t v a ∞=⨯解得12ln 20 ln(1(1))ln(1)d t d +--=- 37. 计算：()()()222]2]1]32 45n n a a s ==，计算i 。

解：()]]1]2223 2 45n i n i i ii i a a s i i i ⨯=⨯=⨯解得：11, 230n v i == 39.已知：11t tδ=+。

求]a n ˉ的表达式。

解：0]0 ln(1 )t s ds na e dt n δ-⎰=⎰=+n ˉ 40.已知一年内的连续年金函数为常数1，计算时刻t ，使得只要在该时刻一次性支付一个货币单位，则两种年金的现值相等。