第三章 行列式及其应用§3-1 行列式的定义一、填空题。

1、行列式a bc d=__ad bc -___;112213141---=____-24____. 2、行列式111112121200000a a a ab bc cd d =______0_____. 3、已知行列式1111111111111111D -=-----,则32M =___4__;32A =___-4__. 4、已知排列2145697m n 为奇排列，则m =__8_;n =__3_. 5、4阶行列式中含1331a a 且符号为负的项是____13223144a a a a -____.二、选择题。

1、方程0110001x x x=的实根为__C___. （A ）0; （B ）1; （C ）-1; （D ）2.2、若n 阶行列式中零元素的个数大于2n n -，则此行列式的值为__A__.（A ）0; （B ）1; （C ）-1; （D ）2. 3、排列396721584的逆序数为__C__.（A ）18; （B ）19; （C ）20; （D ）214、n 阶行列式00102000D n = 的值为__D ___.（A ）!n ; （B ）!n -; （C ）(1)!nn -; （D ）(1)2(1)!n n n --.5、行列式312111321111x x x x x--中4x 的系数为__A____.(A ）-1; （B ）1; （C ）2; （D ）3.三、计算下列行列式1、12110001- 解：3331212110(1)(1)111001r +--=-按展开2、1010120012301234解：44432101010112004(1)12012301231234101412024003r r +--=按c 展开3、1132101123011002-- 解：4141132113010111013223012303100210001300133033c c --------=--按r 展开四、设排列12n a a a 的逆序数为k ，证明排列11n n a a a - 的逆序数为(1)2n n k --. 证明：设i a 在排列12n a a a 的逆序数为i k ，则12n k k k k +++= ，且i a 在排列11n n a a a - 的逆序数为i t ，则i i i k t n a +=-，所以，i i i t n a k =--， 所以，排列11n n a a a - 的逆序数为12112122122(1)()()2n n n n n n a k n n n t t t n a k n a k a a k k a k k ---=--+++=--+--++++++++=-（另解：因为12n a a a 中的任两个不同的元素,i j a a 必在排列12n a a a 或排列11n n a a a - 中构成逆序且只能在其中一个中构成逆序，所以排列12n a a a 和11n n a a a - 的逆序数之和等于从n 个元素中任取两个不同数的组合数kn C ，即11n n a a a - 的逆序数为(1)2n n k --.）§3-2 行列式的性质与计算一、填空题。

1、行列式111111111x y y+++=_____xy _____.2、行列式232629242730252831=_____0______. 3、若0,1,2,3i i a b i ≠=，则行列式111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______0______.4、若行列式2342342341111a a a a D b b b b c c c c =,则21222324A A A A +++=____0_____. 5、若行列式11001010001x y z x y z =，则x =__0__;y =___0___;z =__0____.二、选择题。

1、行列式0000000a b a b b a ba的值为_____C___. （A ）44a b -; （B ）4()a b -; （C ）222()a b -; （D ）4()a b +.2、行列式33332222(1)(2)(3)(1)(2)(3)1231111a a a a a a a a a a a a ---------的值为__A___.（A ）12; （B ）11;（C ）13; （D ）14.3、若行列式12000221312151011D -=，则4243442M M M +-的值为__D__. （A ）-6; （B ）6; （C ）40; （D ）0;4、若行列式11121314212223243132333441424344a a a a a a a a a a a a a a a a a =，则行列式41424344313233342122232411121314a a a a a a a a a a a a a a a a =___B__.（A ）0; （B ）a ; （C ）4a ; （D ）a -.5、行列式212322212223()333245354435743x x x x x x x x f x x x x x x x x x --------=-------，则()0f x =的根的个数为____B___.(A ）1; （B ）2; （C ）3; （D ）4.三、解方程2211231223023152319x x -=-解：222143222222321123112312230100231523152319000412312(1)215(1)(4)210043(1)(1)(2)(2)r r x x r r x x r x r x x x x x x x ----------=--+-+按展开按展开所以，12341,1,2, 2.x x x x =-==-=四、计算下列行列式1、1123010130231211----解：314113111123112330101010130230346121103341110034634333433143531r r r r c c ----------------+---------=--按c 展开按c 展开2、1210030200101000002400061解：1210012130200243022(22)4410100611010002400061==--=3、12345222225123453333312345555551234511111x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x = 解：12345222222123453333331234544444435124555555123455115111111()()i j i i i j yx x x x x y x x x x x D x x x x x y x x x x x y x x x x x y y x x x =≤≤≤=--∏∏由范德蒙德行列式而123452222221234533333312345444444351245555551234554326665646362616111111yx x x x x y x x x x x D x x x x x yxx xxxy x x x x x yA y A y A y A y A y A =+++++按c 展开所以，5561234515()()j i i j D A x x x x x x x ≤≤≤=-=++++-∏4、000n x x x xD x x =解：12121110(1)(1)(1)000(1)00(1)(1)(1)0n nn nn x x n x n x n x x x x x D r r r x x xxr n x x x r r x n n x r r x----=+++÷----=----5、12312111111111111(0)1111n n na a D a a a a a ++=+≠+解：1212112311311111212123132311211111111111111100000000100000111000001(1).nn nn nnnnn i ia a D a a r r a a r r a a r r a a a a a a a a a r r r r a a a a a a a a a a a =++=++------++++-------=+∑6、计算行列式112200000000011111n n n a a a a D a a --=-解：112212212121121200000000011111000000000011111(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n na a a a D a a a a a c c c a a n n a a a n a a a ++--=--++-++-=+-按c 展开五、证明：1100100,(1),0001n n n n a b ab a b a b a b D a b n a a b a b ab a b++++⎧-≠⎪==-⎨⎪+=+⎩+. 证明：1111100000r ()0000001001n n n a bababa b a b D a b ab a b ab a b ab a b a b --++++-++++按展开12()n n a b D abD --=+-所以，212112121()()()n nn n n n n n n n n D a b D abD D bD a D bD D bD a D bD a -------=+-⇒-=-⇒-=-=212112121()()()n nn n n n n n n n n D a b D abD D aD b D aD D aD b D aD b -------=+-⇒-=-⇒-=-=于是，11()n n n a b D a b ++-=-1）当a b ≠时， 11n n a b a b++--2）当a b =时，将n D 按r 1展开得：2122n n n D aD a D --=-，2212112*********()()()2(1)n nnnnnn n n n n n n n n n n n n n D aD a D D aD a D aD D aD aD aD aD aD a a aD a a a D a n a-----------=-⇒-=-⇒-=-=⇒=+=++=+==+§3-3 行列式的应用一、填空题。