2 22高二数学选修 2-1 期末考试卷一、选择题（每小题 5 分，共 10 小题，满分 50 分）1、对抛物线 y = 4x 2 ，下列描述正确的是A 、开口向上，焦点为(0,1)C 、开口向右，焦点为(1,0)1B 、开口向上，焦点为(0, ) 16 1D 、开口向右，焦点为(0, ) 162、已知 A 和 B 是两个命题，如果 A 是 B 的充分条件，那么⌝A 是⌝B 的A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件3、在平行六面体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，M 为 AC 与 BD 的交点，若 A 1B 1 = a , A 1 D 1 = b ，A 1 A = c ，则下列向量中与B 1 M 相等的向量是A 、 - 1 a + 1 b + cB 、 1 a + 1 b + cC 、 1 a - 1 b + cD 、 2 2 2 2 2 2 - 1 a - 1b +c 2 24、椭圆5x 2 + ky 2 = 5 的一个焦点是(0, 2) ，那么实数 k 的值为A 、 -25B 、 25C 、 -1D 、15、空间直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A （3，1，0），B （-1，3，0），若点 C 满足OC =α OA +β OB ，其中 α，β∈R ，α+β=1，则点 C 的轨迹为A 、平面B 、直线 =（3，0，-1）， c = ⎛- 1,1,- 3C ⎫、圆 D 、线段 给出下列等式：6、已知 a =(1,2,3), b ⎪⎝ 55 ⎭①∣ a + b + c ∣=∣ a - b - c ∣ ② (a + b ) ⋅ c = a ⋅ (b + c )③ (a + b + c )2 = a + b + c 其中正确的个数是④ (a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c )A 、1 个B 、2 个C 、3 个D 、4 个7、设∈[0,]，则方程 x 2 sin+ y 2 cos = 1 不能表示的曲线为A 、椭圆B 、双曲线C 、抛物线D 、圆8、已知条件 p ： x -1 <2，条件 q ： x 2 -5x -6<0，则 p 是 q 的 A 、充分必要条件 B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分又不必要条件kx + 79、已知函数 f(x)=，若∀x ∈ R ，则 k 的取值范围是kx 2 + 4kx + 33 3 3 3 A 、0≤k<B 、0<k<C 、k<0 或 k>D 、0<k ≤444410、下列说法中错误的个数为b a ⎩ ⎩①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②若一个命题的否命题为假，则它⎧x > 1 ⎧x + y > 3本身一定为真；③ ⎨ y > 2 是⎨xy > 2 的充要条件；④ = 与a =b 是等价的； ⑤“ x ≠ 3”是“ x ≠ 3 ”成立的充分条件. A 、2B 、3C 、4D 、5二、填空题（每小题 6 分，共 6 小题，满分 36 分）11、已知 a + b = 2i - 8 j + k , a - b = -8i + 16 j - 3k ( i , j , k 两两互相垂直)，那么 a ⋅ b =。
12、以(1,-1) 为中点的抛物线 y 2 = 8x 的弦所在直线方程为：．13、在△ ABC 中， BC 边长为24 ， AC 、 AB 边上的中线长之和等于39 ．若以 BC 边中点为原点， BC 边所在直线为 x 轴建立直角坐标系，则△ ABC 的重心G 的轨迹方程为：．14、已知 M 1（2，5，-3），M 2（3，-2，-5），设在线段 M 1M 2 的一点 M 满足 M 1 M 2 =4MM 2 ，则向量OM 的坐标为。
15、下列命题①命题“事件 A 与 B 互斥”是“事件 A 与 B 对立”的必要不充分条件. ② “am 2<bm 2”是“a <b ”的充分必要条件.③ “矩形的两条对角线相等”的否命题为假.④在∆ABC 中，“∠B = 60︒ ”是∠A , ∠B , ∠C 三个角成等差数列的充要条件. ⑤ ∆ABC 中,若sin A = cos B ,则∆ABC 为直角三角形. 判断错误的有16、在直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中， BC 1 ⊥ A 1C ．有下列条件： ① AB = AC = BC ；② AB ⊥ AC ；③ AB = AC ．其中能成为 BC 1 ⊥ AB 1 的充要条件的是（填上该条件的序号）．三、解答题（共五小题，满分 74 分）17、（本题满分14 分）求ax2+2x+1=0（a≠0）至少有一负根的充要条件．18、（本题满分15 分）已知命题p：不等式|x－1|>m－1 的解集为R，命题q：f(x)=－(5－2m)x 是减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围.19、（本题满分15 分）如图，在平行六面体 ABCD-A1BC1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥面 ODC1。
20、（本题满分15 分）直线l ：y =kx +1与双曲线C ：3x2 -y2 = 1 相交于不同的A 、B 两点．（1）求AB 的长度；（2）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过坐标第原点？若存在，求出k 的值；若不存在，写出理由．21、（本题满分15 分）如图，直三棱柱ABC-A 1B1C1底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2M，N 分别是A1B1，A1A 的中点。
（1）求BN 的长度；（2）求cos（BA1，CB1）的值；（3）求证：A1B⊥C1M。
参考答案一、选择题（每小题5 分，共10 小题，满分50 分）11、B2、C3、A4、D5、B6、D7、C8、B9、A 10、C二、填空题（每小题 6 分，共 6 小题，满分 36 分） 11、- 65 12、 4x + y - 3 = 0 13 、 x 2+ y 2 ⎛ 11 1 9 ⎫ = 1 （ y ≠ 0 ） 14、,- ,- ⎪ 169 25⎝ 4 4 2 ⎭15、②⑤ 16、①、③三、解答题（共六小题，满分 74 分）17、（本题满分 14 分）解:若方程有一正根和一负根，等价于 x 1 x 2 = a < 0 ⇒ ⎧ ⎪ Δ = 4 - 4a ≥ 0 ⎪⎪2a ＜0若方程有两负根，等价于 ⎨ ⎪ - < 0 ⇒ 0＜a≤1a ⎪ 1 > 0⎩ a综上可知，原方程至少有一负根的必要条件是 a ＜0 或 0＜a≤1由以上推理的可逆性，知当 a ＜0 时方程有异号两根；当 0＜a≤1 时，方程有两负根.故 a ＜0 或 0＜a≤1 是方程 ax 2+2x+1=0 至少有一负根的充分条件. 所以 ax 2+2x+1=0（a≠0）至少有一负根的充要条件是 a ＜0 或 0＜a≤118、（本题满分 15 分）解：不等式|x －1|<m －1 的解集为 R ，须 m －1<0即 p 是真 命题，m<1f(x)=－(5－2m)x 是减函数，须 5－2m>1 即 q 是真命题，m<2由于 p 或 q 为真命题，p 且 q 为假命题故 p 、q 中一个真，另一个为假命题 因此，1≤m<219、（本题满分 1 5 分） =，C C =，则B C = - ，C O = 1 +）证明：设C B = a ，C D cc aa 1 1OD = 11 1 b11（ b 1121 （ b - a ），OD = （b - a ）+ c 。
若存在实数x ，y ，使得B 1C = xOD 1 + yOC （1 x ，y ∈ R ）成立 ∵ a ， 2b ，⎡c 1 不 同 面 ∴⎤2 ⎡ 1 ⎤ 1 1 ⎧12（x + y ）=1 则c - a = x b - a ）+ c + y - a + b ） = - x + y ）a + x - y ） b + xc⎪ ⎢ （ ⎥ ⎢ （ ⎥ （（ ⎪1 ⎧x = 1 ⎣2 ⎦ ⎣ 2 ⎦ 2 2 ⎨ （x - y ）= 0即⎨⎪ 2⎪⎩x = 1⎩ y = 12 - a 4 + 5a 2 + 6a 2 - 33 6，CB 1 BA 1 CB 1 CB 1 1 + a 2 1+ a 2 (x 1+ x )22 - 4x x 1 2 ⋅∴ B 1C = OD + OC 1∵ B 1C ，OD ，OC 1为共面向量，且B 1C 不在OD ，OC 1所确定的平面ODC 1内。
∴ B 1C // 平面ODC 1，即B 1C // 平面ODC 1。
20、（本题满分 15 分）联立方程组⎧ y = ax + 1⎨消去 y 得(3 - a 2 )x 2 - 2ax - 2 = 0 ，因为有两个交点，所以{3 - a 2 ≠ 0⎩3x 2 - y 2 = 12a- 2，解得 a 2 < 6,且a 2 ≠ 3, x + x =, x x =。
∆ = 4a 2 + 8(3- a 2 )> 0123 - a 21 23 - a 2(1)AB = x 1 -22x 2 ==(a < 6且a ≠ 3)。
(2)由题意得 k oa k ob = -1,即x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0,即x 1 x 2 + (ax 1 + 1)(ax 2 + 1) = 0整 理得 a 2 = 1, 符合条件，所以a = ±1 21、（本题满分 15 分）如图，解：以C 为原点， CA ，CB ，CC 1 分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系。
（1） 依题意得出 B （0，1，0），N （1，0，1），∴ BN = ；（2） 依题意得出A （1 1，0，2）B （0，1，0），C （0，0，0），B （1 0，1，2）∴ BA 1 =（1，- 1，2），CB 1 =（0，1，2），BA 1 ⋅ C B 1 = 3，BA 1 = =∴ cos ﹤ BA ，CB ﹥=BA 1 ⋅ = 1 30 1 1 10（3） 证明：依题意将C （0，0，2），M ⎛ 1 1 2⎫，A B =（- 11，- 2）C M = ⎛ 1 1 0⎫1 ， ，⎪ 1 1 1， ，⎪ ⎝ 2 2 ⎭⎝ 2 2 ⎭5∴A B ⋅C M =-1+1+ 0 = 0，∴A B ⊥C M1 12 2 1 1 ∴A1B ⊥C1M“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。