对应于2=3 =2的特征向量为k2p2 +k3p3
(k2, k3不同时为零).
特征值与特征向量
定义 n阶方阵
特征值
A =
非零向量 特征向量
特征矩阵
E–A
特征值
A = (E–A) = 0
特征向量
特征多项式 |E–A| = 0 特征方程
–a11 –a12 … –a1n
|E–A| =
–a21 …
–a22 … –a2n
…… …
–an1 –an2 … –ann
计算
1. 理论依据
求得(2E–A)x = 0 的基础解系: p1=(0,0,1)T.
对应于1=2的特征向量为kp1 (0kR). 对于2=3=1,
求得(E–A)x = 0 的基础解系: p2=(–1, –2,1)T.
对应于2=3 =1的特征向量为kp2 (0kR).
2 1 1
例3、求A 0 2 0的特征值和特征向量.
定理4.2. (1)0为A的特征值 |0E–A| = 0. (2)为A的对应于0特征向量 (0E–A) = 0.
2. 步骤
计算|E–A|
求|E–A| = 0的根
求(E–A)x = 0的基础解系
Hale Waihona Puke 例1、求A=3 1
1 3
的特征值和特征向量.
解:
|E–A|
=
–3
1
1
–3
= (–2)(–4).
所以A的特征值为1=2, 2=4.
对于2=4, (4E–A)x = 0 即
x1 + x2 = 0 x1 + x2 = 0
解之得
x1 x2
=k
1 1
(0 k R).
A的对应于2=4的特征向量为
k k
(0kR).
1 1 0
例2、求A
4
1
3 0
0 的特征值和特征向量.
2
解: |E–A| = (–2)(–1)2.
所以A的特征值为1=2, 2= 3= 1. 对于1=2,
4 1 3
解: |E–A| = (+1)( –2)2.
所以A的特征值为1= –1, 2= 3= 2.
(–E–A)x = 0的基础解系: p1=(1,0,1)T.
对应于1= –1的特征向量为kp1 (0kR).
(2E–A)x = 0的基础解系:
p2=(0, 1, –1)T, p3=(1, 0, 4)T.
对于1=2, (2E–A)x = 0 即
x1+ x2=0 x1 x2 = 0
解之得
x1 x2
=k
1 1
(0 k R).
A的对应于1=2的特征向量为
k k
(0kR).
例1. 求A =
3 1 1 3
的特征值和特征向量.
解:
|E–A|
=
–3
1
1
–3
= (–2)(–4).
所以A的特征值为1=2, 2=4.