z0
1 ) c z ( 1，利用 1 n 0 n 0
n n 0 n n


z n n n c z c z ( 向级数 c z n n0 z n 0 靠拢) n 0 n 0 n 0 0


n

z
z0
1 ) c z ( 1，利用 1 n 0 n 0
lim zn z0 lim | zn || z0 |
n n
这是因为
0 || zn | | z0 ||| zn z0 | 0
n+… 例3： 设| |<1，证明级数1+ +…+
收敛于 1 1
n+… 例3： 设| |<1，证明级数1+ +…+
收敛于 1 1 证明：先求部分和
可知数列 zn cos in 发散。
例2： 讨论数列{zn}的收敛性，其中
为复数。 zn n ，
例2： 讨论数列{zn}的收敛性，其中
为复数。 zn n ， 分析与解：
类似于实数列情形，应该以1为临界
点分为三种情况： （1）| |<1，（2）| |=1，（3）| |>1
为复数。 zn n ，
| zn || | 1 ，可知数列{zn} （2）| |=1，
n
在单位圆上运动。设 =ei ，则 zn=ein。
当 =2k ，即 =1时，显然有 lim zn 1 。
| 当 k 2 ≠，
zn zn 1 || e
in
e
n i ( n 1)
| |1 |
由Cauchy收敛准则知极限不存在。
例2： 讨论数列{zn}的收敛性，其中
为复数。 zn n ， （3）| |>1，此时有
| zn || |
n
可知极限不存在。
例2： 讨论数列{zn}的收敛性，其中
为复数。 zn n ， 注：（3）用到了如下性质

敛，记作 S zn
n 1
n 1
若{Sn}发散，则称级数 zn 发散。
n 1
若
| z
n 1

n
| 收敛，称级数 zn 绝对收敛。
n 1

对应的实数项级数
x
n 1 n 1

n
x1 x2
xn
y
部分和
n
y1 y2
n
yn
xn yn
例2： 讨论数列{zn}的收敛性，其中
为复数。 zn n ， （1）| |<1，此时
| zn || | 0
n
可知 lim zn 0
n
例2： 讨论数列{zn}的收敛性，其中
为复数。 zn n ，
| zn || | 1 ，可知数列{zn} （2）| |=1，
Abel定理：
若幂级数 cn z 在点 z0≠0 收敛，则
n

它在区域 D ： {z | |z|<|z |} 绝对收敛， 0 即级数
n 0
c z
n n 1
n
在区域 D 收敛；
Abel定理：
若幂级数 cn z 在点 z0≠0 收敛，则
n

它在区域 D ： {z | |z|<|z |} 绝对收敛， 0 即级数
n 1 n 1
例1：判断如下数列的收敛性，若收敛， i )n ( zn cos in。 ，（2） zn 求极限。（1） 2
例1：判断如下数列的收敛性，若收敛， i )n ( zn cos in。 ，（2） zn 求极限。（1） 2
分析与解：（1）由于 |i/2|<1，猜测{zn}的
n 1 n 1


n 1
此时，S=X+iY
证明：由于Sn=Xn+iYn，可知 Sn S Xn X，Yn Y。
定理：复数项级数 zn 绝对收敛 实 数 项 级 数 xn ， 都绝对收敛。 n 1 n 1 yn
n 1

定理：复数项级数 zn 绝对收敛 实 数 项 级 数 xn ， 都绝对收敛。 n 1 n 1 yn 证明：“ ”假设
极限为0
i n 1 | zn || ( ) | n 0 2 2
可知
lim zn 0
n
例1：判断如下数列的收敛性，若收敛， i )n ( zn cos in。 ，（2） zn 求极限。（1） 2
分析与解：（2）由余弦函数的定义
1 n n z n cos in (e e ) 2 ( n 0)
Sn 1

n 1
1 1
n
1 由例2， lim S n ，即 n 1
1 1 n 0
n

n+… 例3： 设| |<1，证明级数1+ +…+
收敛于 1 1
类似地，可证明当 | | 1 时，级数
n 2 1 n 0
例5： 求如下级数的收敛域
(n !) 2 n (1) n z n 1 n
解：由于

n 1 lim n ( n 1) n e cn 1 lim n c n
n
可知
因此，R=0，收敛域为{0}。
例5： 求如下级数的收敛域
1 z n (2) 2 ( ) 2 n 1 n
n
在单位圆上运动。
例2： 讨论数列{zn}的收敛性，其中
为复数。 zn n ，
| zn || | 1 ，可知数列{zn} （2）| |=1，
n
在单位圆上运动。设 =ei ，则 zn=ein。
当 =2k ，即 =1时，显然有 lim zn 1 。
n
例2： 讨论数列{zn}的收敛性，其中
复数项级数和序列
复数序列
复数列即有序的复数集
{zn}={z1，z2，…，zn，…}
称{zn}收敛于z0，若
lim | zn z0 | 0
记作
n
lim zn z0
n
复数列的极限归结为实数列的极限
lim zn z0 lim | zn z0 | 0
n n
n n 0 n n


由于级数
n 0 n

c z n收敛，可知 c z n 有界
n 0 n 0
1 M M 1 n 0
由Abel定理，只有三种情况 ☺ ☺
☺
n c z 幂级数 n 在整个复平面收敛 n 0
幂级数只在 z=0 处收敛
在圆 |z|=R外发散，在圆内收敛，在 圆周上单独讨论。 此时，称 |z|=R为收敛圆。



n 1

级数 zn

n 1
收敛。
n 1
性质：
1、
z 收敛
n

2、
z 收敛
n n 1
n 1
zk 0 {zk}有界；
> 0，存在N，使
得n>N时，
| zn 1 zn 2
3、
zn p |

(z
n 1

n
wn ) zn wn
n 1

| x |， | y
n


n
| 收
(| x
n 1

n 1
n 1
n
| | yn |) 收敛，由于
|zn|≤|xn|+|yn|，可知
| z
n 1

n
| 收敛。
定理：复数项级数 zn 绝对收敛 实 数 项 级 数 xn ， 都绝对收敛。 n 1 n 1 yn 推论：复数项级数 zn 绝对收敛
X n xk x1 x2 Yn yk y1 y2
k 1 k 1 n
定理：复数项级数 zn 收敛于S 实数项级数 xn， yn 分别收敛于X和Y。
n 1 n 1

ห้องสมุดไป่ตู้

n 1
此时，S=X+iY
定理：复数项级数 zn 收敛于S 实数项级数 xn， yn 分别收敛于X和Y。
n 0
c z
n n 1
n 0
n
在区域 D 收敛；
n

若幂级数
c z
n
在点 z0≠0 发散，则
它在区域 K：{z | |z|>|z0|} 发散。
z n n n c z c z ( 向级数 c z n n0 z n 0 靠拢) n 0 n 0 n 0 0


n

z
n>N时，| zm
zn |
复数项级数
对于复数列 {z1，z2，…，zn，…}，称
z
n 1

n
z1 z2
zn
为复数项级数。部分和记为
S n zk z1 z2
k 1
n
zn
收敛性：若 lim S n S ，则称级数 zn 收
n

lim | xn x0 | 0 n lim | y y | 0 n 0 n lim xn x0 n lim yn y0 n
性质1 线性性质
， C，lim zn z0， lim wn w0
n n n
收敛。因此收敛域为{z | |z| 2}。
例5： 求如下级数的收敛域