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上海市九年级数学上册期中试卷及答案

第3题图上海市九年级数学上学期期中质量调研试题(考试时间100分钟,满分150分)题号 一 二 三 四 总分 得分一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分)1.已知两个相似三角形的周长比为4:9,则它们的面积比为( ) A .4:9 B .2:3 C .8:18 D .16:49 2.如图,在△ABC 中,∠ADE = ∠B ,DE :BC = 2 :3,则下列结论正确的是( )A. AD : AB = 2 : 3; B .AE : AC = 2:5; C . AD : DB = 2 : 3; D .CE : AE= 3 : 2. 3.在正方形网格中,△ABC 的位置如图所示,则cos ∠B 的值为( ) A .12; B .22; C .32;D .33. 4. 如图,已知向量a ,b ,c ,那么下列结论正确的是( )A. a b c +=B.b c a +=C.a c b +=D.a c b +=-5.已知P 为线段AB 的黄金分割点,且AP <PB ,则( )A. AP 2=AB ·PB ;B. AB 2=AP ·PB ;C. PB 2=AP ·AB ;D. AP 2+BP 2=AB 2.6. P 是△ABC 一边上的一点(P 不与A 、B 、C 重合),过点P 的一条直线截△ABC ,如果截得的三角形与△ABC 相似,我们称这条直线为过点P 的△ABC 的“相似线”.Rt △ABC 中,∠C =90°,∠A =30°,当点P 为AC 的中点时,过点P 的△ABC 的“相似线”最多有几条?( ) A. 1条B. 2条C. 3条D.4条二、填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分) 7. 已知23=b a ,那么bba -= . 8. 已知线段a =2cm 、b =8cm ,那么线段a 、b 的比例中项等于 cm ..9. 计算:()23a b b -+=____________.10.点G 是ABC ∆的重心,如果13==AC AB ,10=BC ,那么AG 的长是 .第16题图A DCBEECDAF BCBAD11.在△ABC 中,已知点D 、E 分别在边AB 、AC 上,DE ∥BC .如果AD =1cm ,AB =3cm ,DE =4cm ,那么BC = cm . 12. 如图,平行四边形ABCD 中,E 是边BC 上的点,AE 交BD 于点F ,如果23BE BC =,那么BFFD= .13.如图,直线AD //BE //CF ,23BC AB =,6DE =,那么EF 的值是 . 14.在ABC ∆中,AB AC =,BC =6,3=∆ABC S ,那么sin B = .15.如图,在△ABC 中,点D 在AB 上,请再添一个适当的条件,使△ADC ∽△ACB ,那么可添加的条件是 .16.如图,已知点D 、E 分别在△ABC 边AB 、AC 上,DE //BC ,AD BD 2=,那么EBC DEB S S ∆∆:= .17.在Rt ABC ∆中,︒=∠90C ,点D 在AC 上,BD 平分ABC ∠,将△BCD 沿着直线BD 翻折,点C 落在1C 处,如果5=AB ,4=AC ,那么1sin ADC ∠的值是 . 18. 新定义:到三角形的两个顶点距离相等的点,叫做此三角形的准外心.根据准外心的定义,探究如下问题:如图,在Rt ABC ∆中,︒=∠90C ,10=AB ,6=AC ,如果准外心P 在BC 边上,那么PC 的长为 . 19.(本题满分10分)计算:︒︒+︒︒-︒60cos 45cot 30cos 30tan 245sin 420.(本题满分10分,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分4分)如图,已知平行四边形ABCD ,点M 、N 是边DC 、BC 的中点,设a AB =,b AD =. (1)求向量MN (用向量a 、b 表示);(2)在图中求作向量MN 在AB 、AD 方向上的分向量. (不要求写作法,但要指出所作图中表示结论的向量).21.(本题满分10分,第(1)小题满分5分,第(2)小题满分5分) 如图,已知AB ∥EF ∥CD ,AD 与BC 相交于点O .(1)如果CE =3,EB=9,DF=2,求AD 的长;(2)如果BO :OE :EC =2:4:3,AB=3,求CD 的长.ABCDE第21题图F O22.(本题满分10分,其中第(1)小题6分,第(2)小题4分)如图,在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒,点D 是BC 边上的一点,6CD =,3cos 5ADC ∠=,2tan 3B =.(1)求AC 和AB 的长; (2)求sin BAD ∠的值.四、解答题:(本大题共3题,满分38分)23.(本题满分12分,每小题满分6分)已知:如图10,在△ABC 中,点D 、E 分别在边AB 、AC 上,且∠ABE =∠ACD ,BE 、CD 交于点G .(1)求证:△AED ∽△ABC ;(2)如果BE 平分∠ABC ,求证:DE =CE .D图10B24.(本题满分12分,每小题满分4分)如图所示,在△ABC 中,已知6BC =,BC 边上中线5AD =。

点P 为线段AD 上一点(与点A 、D 不重合),过P 点作EF ∥BC ,分别交边AB 、AC 于点E 、F ,过点E 、F 分别作EG ∥AD ,FH ∥AD ,交BC 边于点G 、H . (1)求证:P 是线段EF 的中点;(2)当四边形EGHF 为菱形时,求EF 的长; (3) 如果5sin 6ADC ∠=,设AP 长为x ,四边形EGHF 面积为y ,求y 关于x 的函数解析式及其定义域.B C(第24题图)25.(本题满分14分,第(1)题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分4分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,翻折∠C,使点C落在斜边AB上某一点D处,折痕为EF (点E、F分别在边AC、BC上)(1)若△CEF与△ABC相似,且当AC=BC=2时,求AD的长;(2)若△CEF与△ABC相似,且当AC=3,BC=4时,求AD的长;(2)当点D是AB的中点时,△CEF与△ABC相似吗?请说明理由.参考答案一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分) 1. D 2. A 3. B 4. D 5. C 6. C 二、填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分) 7.21; 8. 4; 9.b a +2; 10. 8; 11. 12; 12.32; 13. 4; 14. 1010;15. B ACD ∠=∠等; 16.31; 17. 54; 18. 4或47. 三、简答题:(本大题共4题,满分40分) 19.(本题10分)解:原式=21123332224+⨯⨯-⨯5分 =2122+- 3分 =122+ 2分 20.(本题10分)解:(1)b a DB -= 2分DB MN 21=2分 b a MN 2121-= 2分(2)略作图 2分, 结论 2分21.(本题10分)(1)解:FDAFEC EB CDEF AB =∴//// 2分 2392,9,3AFDF EB EC =∴=== 1分 6=∴AF 1分 8=∴AD 1分(2)解:7:2:3:4:2::=∴=OC BO EC OE BO 2分OC BOCD AB CD AB =∴// 1分 又7233=∴=CD AB 1分 221=∴CD 1分 22.解:(1)在Rt △ACD 中,cos ∠ADC =AD CD……………………………1分∵cos ∠ADC =53,CD =6 , ∴AD =10 ……………………………… 1分 ∴AC =822=-CD AD ………………………………………………… 1分在Rt △ACB 中,tanB =CB AC……………………………1分∵tanB =32,AC =8 , ∴CB =12 ……………………………… 1分 ∴AB =13422=+CB AC …………………………………………… 1分(2)作DH ⊥AB ,交AB 于点H ,则∠BHD =∠C =90º在△BHD 与△BCA 中⎩⎨⎧∠=∠∠=∠C BHD B B∴△BHD ∽△BCA ………………………………………… 1分 ∴AB BDAC DH = 即13468=DH ………………………………………… 1分 ∴DH =131312 ………………… 1分 ∴在Rt △ADH 中,sin ∠BAD =65136=AD DH…… 1分23.(本题满分12分,其中每小题各6分) 解:(1)∵∠ABE =∠ACD ,且∠A 是公共角,∴△ABE ∽△ACD .……………………………………………………………………2分∴AE AB AD AC =,即AE ADAB AC=. ………………………………………………………1分 又∵∠A 是公共角, …………………………………………………………………1分 ∴△AED ∽△ABC . ……………………………………………………………………2分 (2)∵∠ABE =∠ACD ,∠BGD =∠CGE ,∴ △BGD ∽△CGE . ……………………………………………………………………1分∴DG BG EG CG =,即DG EGBG CG =. 又∵∠DGE =∠BGC ,∴△DGE ∽△BGC .………………………………………………………………………2分 ∴∠GBC =∠GDE ,………………………………………………………………………1分 ∵BE 平分∠ABC ,∴∠GBC =∠ABE , ∵∠ABE =∠ACD ,∴∠GDE =∠ACD .………………………………………………………………………1分 ∴DE =CE . ………………………………………………………………………………1分24.解:∵EF ∥BC ,∴EP AP BD AD =;FP APCD AD=. ……………………2分 ∴EP FPBD CD=. ……………………………………………………………1分 又∵BD =CD ,∴EP =FP ,即P 是EF 中点. ………………………1分 (2)∵EF ∥BC ,∴△AEF ∽△ABC . ………………………………1分∴EF APBC AD=, ……………………………………………………………1分 设EF a =,则5AP a =-.∴565a a -=,解得3011a =. …………… 2分(3)∵EF ∥BC ,EG ∥FH ,∴四边形EGHF 是平行四边形.作PQ ⊥BC ,垂足为Q ,则5sin (5)6PQ PD ADC x =∠=-. ……… 1分由(2)得EF AP BC AD =,65EF x =,65xEF =. ………………………… 1分 ∴25y EF PQ x x ==-+ (05)x <<. ……………………………… 2分25.解:(1)若△CEF 与△ABC 相似,且当AC =BC =2时, △ABC 为等腰直角三角形,如答图1所示.…………………………………………………… 图 1分此时D 为AB 边中点 …………………………………………………………… 1分 AD =AC =. …………………………………………………………… 2分(2)若△CEF 与△ABC 相似,且当AC =3,BC =4时,有两种情况: (I )若CE :CF =3:4,如答图2所示.∵CE:CF=AC:BC,∴EF∥BC.由折叠性质可知,CD⊥EF,∴CD⊥AB,即此时CD为AB边上的高.……………… 1分在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,∴BC=5,∴cosA=.AD=AC•cosA=3×=1.8;…………………………………………………………… 2分(II)若CF:CE=3:4,如答图3所示.∵△CEF∽△CAB,∴∠CEF=∠B.………………………………………………………1分由折叠性质可知,∠CEF+∠ECD=90°,又∵∠A+∠B=90°,∴∠A=∠ECD,∴AD=CD.同理可得:∠B=∠FCD,CD=BD,∴此时AD=AB=×5=2.5.…………………………………………………………… 2分综上所述,当AC=3,BC=4时,AD的长为1.8或2.5.(3)当点D是AB的中点时,△CEF与△ABC相似.理由如下:如答图3所示,连接CD,与EF交于点Q.∵CD是Rt△ABC的中线,∴CD=DB=AB,∴∠DCB=∠B.1分由折叠性质可知,∠CQF=∠DQF=90°,∴∠DCB+∠CFE=90°,∵∠B+∠A=90°,∴∠CFE=∠A,2分又∵∠C=∠C,∴△CEF∽△CBA1分。

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