第六讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
一、学习目标
1．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．
2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
二、疑 难 辨 析
1．关于直线与圆的位置关系
(1)直线x ＋y ＝1与圆x 2＋y 2
＝12
相切．( )
(2)直线x －y ＋2＝0与圆x 2
＋y 2
＝1相离．( ) 2．关于圆与圆的位置关系
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( ) 3．关于圆的切线与公共弦．
(1)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2
.( )
(2)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2
外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB
的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2
.( )
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( )
三、典例分析
例1(1)[2012²安徽卷] 若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2
＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )
A ．[－3，－1]
B ．[－1,3]
C ．[－3,1]
D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
(2)[2012²湖北卷] 过点P (1,1)的直线，将圆形区域{}x ，y |x 2＋y 2
≤4分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )
A ．x ＋y －2＝0
B ．y －1＝0
C ．x －y ＝0
D ．x ＋3y －4＝0
例2 (1)[2012²福建卷] 直线x ＋3y －2＝0与圆x 2
＋y 2
＝4相交于A ，B 两点，则弦AB
的长度等于( )
A ．2 5
B ．2 3 C. 3 D ．1
(2)过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2
＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．
例3 (1)若圆C 1：x 2＋y 2－5x －5y ＋6＝0与圆C 2：x 2＋y 2
－4x －4y ＝0相交，则两圆的公共弦长是________．
(2)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2
＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离
四、课后追踪
1．(2012²重庆)对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2
＝2的位置关系一定是( )
A ．相离
B ．相切
C ．相交但直线不过圆心
D ．相交且直线过圆心
2．(2012²天津)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2
＋(y －1)2
＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )
A ．[1－3，1＋3]
B ．(－∞，1－3]∪[1＋3，＋∞)
C ．[2－22，2＋22]
D ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)
3．(2013²临沂质检)已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2
＋y 2
＝4交于A 、B 两点，且|O A →＋O B →|＝|O A →
－O B →
|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为( )
A ．2
B ．±2
C ．－2
D ．± 2
4．(2013²安徽师大附中月考)直线l ：y ＝k (x －2)＋2与圆C ：x 2
＋y 2
－2x －2y ＝0相切，则直线l 的一个方向向量v ＝( )
A ．(2，－2)
B ．(1,1)
C ．(－3,2)
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，12 5．(2013²珠海调研)已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，PA 、PB 是圆C ：
x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A 、B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为( )
A. 2
B.
21
2
C ．2 2
D ．2 6．(2013²湛江调研)设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2
＋y 2
＝3的圆心，且圆上的一点M (x ，
y )满足O M →²C M →
＝0，则y x
等于( )
A.33
B.
33或－33
C. 3
D.3或－ 3
7．过点P (3,4)作圆x 2
＋y 2
＝1的两条切线，切点分别为A 、B ，则线段AB 的长为__________． 8．已知AC 、BD 为圆O ：x 2
＋y 2
＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M (1，2)，则四边形ABCD 的面积的最大值为__________．
9．(2013²安徽联考)若直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2
＋y 2
＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则ab 的最大值是__________．
10．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2
－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．
(1)求圆C 的方程；
(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．
11．(2013²苏北三市联考)已知平面区域⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，y ≥0，
x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －
a )2＋(y －
b )2＝r 2及其内部所覆盖．
(1)试求圆C 的方程；
(2)若斜率为1的直线l 与圆C 交于不同两点A 、B ，满足CA ⊥CB ，求直线l 的方程．
12．(2013²揭阳调研)已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2
＋(y －2)2
＝4.
(1)求过M 点的圆的切线方程；
(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值；
(3)若直线ax －y ＋4＝0与圆相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，求a 的值．。