河北省衡水中学2015届高三第五次调研考试数学（理）试
题（word 版）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、设集合{|12,}A x x x N =-<≤∈，集合{2,3}B =，则A B 等于（ ）
A ．{}2
B ．{}1,2,3
C ．{}1,0,1,2,3-
D ．{}0,1,2,3
2、已知复数241(i i i z
+-=为虚数单位），则z 等于（ ） A ．13i -+ B ．12i -+ C ．13i - D ．12i -
3、公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且41016a a =，则6a 等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
4、某商场在今年端午节的促销活动中，对6月2日时至14时
的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至
10时的销售额为3万元，则11时至12月的销售额为（ ）
A ．8万元
B ．10万元
C ．12万元
D ．15万元
5、甲：函数()f x 是R 上的单调递增函数；乙：1212,()()x x f x f x ∃<<，则甲是乙的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6、运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t 的取值范围为（ ）
A ．14t ≥
B ．18t ≥
C ．14t ≤
D ．18
t ≤ 7、为得到函数sin()3y x π
=+的图象，可将函数sin y x =的图象向左平移m 个
单位长度，或向右平移n 个单位长度(,m n 均为正数），则m n -的最小值是（ ）
A ．3
π B ．23π C ．43π D ．53π 8、已知非零向量,OA a OB b ==，且,BC OA C ⊥为垂足，若(0)OC a λλ=≠，
则λ等于（ ）
A ．a b
a b ⋅⋅ B ．2a b a ⋅ C ．2a b
b ⋅ D ．a b a b ⋅⋅
9、已知(,)P x y 为区域2200y x x a ⎧-≤⎨≤≤⎩
内的任意一点，当该区域的面积为4时，2z x y =-的最大值是（ ）
A ．6 B
．0 C ．2 D ．10、将一张边长为6cm 的纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，将剩余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心）模型，如图
2放置，若正四棱锥的正视图是正三角形（如图3），则正四棱锥的体积是（ ）
A 3
B 3
C 3
D 3 11、已知O 为原点，双曲线2
221(0)x y a a
-=>上有一点P ，过P 作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为,A B ，平行四边形OBPA 的面积为1，则双曲线的离心率为（
）
A
．
2
．3 12、已知函数()21020
x e x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩，若关于x 的方程()f x x a =-有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．9(,0)4-
B ．1(0,)4
C ．91(,)44-
D ．9(,0)4-或1(0,)4
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
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13、二项式5
的展开式中常数项为 （用数字作答） 14、已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()21f =且对任意x R ∈都有()()3f x f x +=， 则()2014f =
15、已知三棱锥P ABC -的所有棱长都相等，现沿,,PA PB PC 桑涛侧棱剪开，将其表面
展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥P ABC -的内切球的表面积为
16、已知等差数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，等比数列{}n b 中，1143,1b a b a ==+，记集合
{|,},{|,},n A x x a n N B x x b n N U A B ==∈==∈=，把集合U 中的元素按从小到大依次排列，构成数列{}n c ，则数列{}n c 的前50项和50S =
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、（本小题满分12分）
在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3cos cos cos a A c B b C =+。
（1）求cos A 的值；
（2）若cos 3
a B C =+=
，求边c 。
18、（本小题满分12分）
在一块耕地上种植一种作物每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均均有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
（1）设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X 的分布列；
（2）若在这块地上连续3季种植词作物求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率
19、（本小题满分12分）
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11A ABB 为菱形，145A AB ∠=，四边形11BCC B 为矩形若5,4,3AC AB BC ===
（1）求证：1AB ⊥平面1A BC ；
（2）求二面角1C AA B --的余弦值。
20、（本小题满分12分）
以椭圆2222:1(0)y x C a b a b +=>>的中心O
“版随”，已知椭圆C 的离心率为2，且过点1(2。
（1）求椭圆C 及其“伴随”的方程；
（2）过点(0,)P m 作“伴随”的切线l 交椭圆C 于,A B 两点，记AOB ∆(O 为坐标原点)的面积
为AOB S ∆，求AOB S ∆的最大值。
21、（本小题满分12分）
设函数()2
ln(1)f x x a x =++
（1）若()y f x =在区间[)1,+∞上是单调递增函数，求实数a 的取值范围；
（2）若函数()y f x =由两个极值点12,x x 且12x x <，求证22()10ln 22f x x <
<-+
请考生在第（22）、（23）（24）三体中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图所示，圆O 的直径为BD ，过圆上一点A 作圆O 的切线AE ，过点D 作DE ⊥AE 于点E ，延长ED 与圆O 交于点C 。
（1）证明：DA 平分∠BDE ；
（2）若AB=4，AE=2，求CD 的长。
23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，以O 为极点x 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l 的参数方程为(x t t y at =⎧⎨=⎩
为参数），曲线1C 的方程为(4sin )12ρρθ-=，顶点(6,0)A ，点P 是曲线1C 上的动点，Q 为AP 的中点。
（1）求点Q 的轨迹2C 的直角坐标方程；
（2）直线l 与直线2C 交于,A B
两点，若AB ≥a 的取值范围。
24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()()21,f x x g x x a =+=+
（1）当0a =时，解不等式()()f x g x ≥；
（2）若存在x R ∈，使得()()f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围。