福建省龙岩市非一级达标校2014-2015学年第一学期期末高三教学质量检查数学（理科）试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知{}2,R y y x x M ==∈，{}221,R,R y x y x y N =+=∈∈，则MN =（ ）A ．[]2,2-B ．[]0,2C ．[]0,1D ．[]1,1-2、把一个骰子连续抛掷两次，第一次得到的点数为a ，第二次得到的点数为b ，则事件“a b =”的概率为（ ）A ．16B ．136C ．112D ．143、抛物线24x y =的准线方程是（ ） A ．1x = B ．1x =- C ．1y = D ．1y =-4、某几何体的三视图如图所示，它的体积为（ ） A ．81π B ．57π C ．45π D ．12π5、甲、乙两位同学在高二5次月考的数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是x 甲、x 乙，则下列正确的是（ ） A ．x x <乙甲，甲比乙成绩稳定 B ．x x >乙甲，乙比甲成绩稳定 C ．x x >乙甲，甲比乙成绩稳定 D ．x x <乙甲，乙比甲成绩稳定6、阅读如右图所示的程序框图，则该算法的功能是（ ） A ．计算数列{}12n -前5项的和 B ．计算数列{}21n -前5项的和 C ．计算数列{}12n -前6项的和 D ．计算数列{}21n -前6项的和7、下列结论正确的是（ ）A ．命题“若sin sin αβ=，则αβ=”是真命题B ．若函数()f x 可导，且在0x x =处有极值，则()00f x '=C ．向量a ，b 的夹角为钝角的充要条件是0a b ⋅<D ．命题:p “R x ∃∈，1x e x >+”的否定是“R x ∀∈，1x e x <+”8、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，311a =，14217S =，则12a =（ ）A ．18B ．20C ．21D ．229、已知函数()(),034,0x a x f x a x a x ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]0,1B ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,3D ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭10、若两条异面直线所成的角为60，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连结正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有（ ）A ．48对B ．24对C ．12对D ．66对二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．） 11、已知随机变量ξ服从正态分布()22,σN ，()40.84ξP ≤=，则()0ξP ≤= ．12、过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段FO （O 为坐标原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 ．13、某老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：请甲同学计算ξ的数学期望，尽管“”处完全无法看清，且两个“?”处字迹模糊，但能断定这两个“?”处的数值相同，据此，该同学给出了正确答案ξE = ．14、在C ∆AB 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2cos cos a b c B +A =，则B = ．15、已知定义在区间[]0,1上的函数()y f x =的图象如图所示，对于满足1201x x <<<的任意1x ，2x ，给出下列结论： ①()()2121f x f x x x ->-；②()()2112x f x x f x >；③()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭；④()()21210f x f x x x ->-．其中正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16、（本小题满分13分）某同学用“五点法”画函数()()sin f x x ωϕ=A +在某一个周期的图象时，列表并填入的部分数据如下表：()I 求1x ，2x ，3x 的值及函数()f x 的表达式；()II 将函数()f x 的图象向左平移π个单位，可得到函数()g x 的图象，求函数()()y f x g x =⋅在区间50,3π⎛⎫⎪⎝⎭的最小值．17、（本小题满分13分）已知椭圆C :22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点与抛物线2y =的焦点重合，且椭圆C 的离心率e =．()I 求椭圆C 的标准方程；()II 若直线x t =（0t >）与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，以线段AB 为直径作圆M ．若圆M 与y轴相切，求直线10x +=被圆M 所截得的弦长． 18、（本小题满分13分）我国东部某风景区内住着一个少数民族部落，该部落拟投资1500万元用于修复和加强民俗文化基础设施．据测算，修复好部落民俗文化基础设施后，任何一个月（每月均按30天计算）中第n 天的游客人数n a 近似满足1010n a n=+（单位：千人），第n 天游客人均消费金额n b 近似满足16218n b n =--（单位：元）．()I 求该部落第n 天的日旅游收入n c （单位：千元，130n ≤≤，n *∈N ）的表达式；()II 若以一个月中最低日旅游收入金额的%作为每一天应回收的投资成本，试问该部落至少经过几年就可以收回全部投资成本．19、（本小题满分13分）如图，在四棱锥CD P -AB 中，侧棱PA ⊥底面CD AB ，D//C A B ，C 90∠AB =，C 2PA =AB =B =，D 1A =，M 是棱PB 中点． ()I 求证：//AM 平面CD P ；()II 设点N 是线段CD 上一动点，且D DC λN =，当直线MN 与平面PAB 所成的角最大时，求λ的值．20、（本小题满分14分）已知函数()2ln f x ax x x =++（R a ∈）．()I 当1a =时，求函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程； ()II 设0a =，求证：当0x >时，()21f x x ≤-；()III 若函数()y f x =恰有两个零点1x ，2x （12x x <），求实数a 的取值范围．21、（本小题满分14分）本题有()1、()2、()3三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．()1（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知线性变换T 把点()1,1-变成了点()1,0，把点()1,1变成了点()0,1．()I 求变换T 所对应的矩阵M ；()II 求直线1y =-在变换T 的作用下所得到的直线方程．()2（本小题满分7分）选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线的极坐标方程为sin 6m πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（m 为常数），圆C的参数方程为12cos 2sin x y αα=-+⎧⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）．()I 求直线的直角坐标方程和圆C 的普通方程；()II 若圆心C 关于直线的对称点亦在圆上，求实数m 的值．()3（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知234x y z ++≥（x ，y ，R z ∈）．()I 求222x y z ++的最小值；()II 若()222722a x y z +≤++对满足条件的一切实数x ，y ，z 恒成立，求实数a 的取值范围．龙岩市非一级达标校2014～2015学年第一学期期末高三教学质量检查数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准指定相应的评分细则.二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本涂考察基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分.1-5 CADBD 6-10 CBBBB二、填空题：本题考察基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分.11．0.16 12．2 13．3 14．2π15．②③④三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由038,032=+=+ϕωπϕωπ可得 :3,21πϕω-== ……2分 由ππππππ2321;23321;2321321=-=-=-x x x 可得: 314,311,35321πππ===x x x 又2)33521sin(=-⨯ππA 2=∴A)321sin(2)(π-=∴x x f ……6分（Ⅱ）由)321sin(2)(π-=x x f 的图象向左平移π个单位得)32cos(2)2321sin(2)(πππ-=+-=x x x g 的图象, ……8分)32sin(2)32cos()32sin(22)().(πππ-=-⋅-⨯==∴x x x x g x f y……10分 )35,0(π∈x 时, ),32(32πππ-∈-x时，时，即当6232πππ=-=-∴x x 2min -=y ……13分 注：若用11()4sin()sin()2326f x x x ππ=-+运算，请参照给分.17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为抛物线x y 682=的焦点坐标为)0,62(，所以62=C ………2分又椭圆的离心率3662===a a c e ，所以12,6222=-==c a b a所以椭圆方程为：1123622=+y x……5分 （Ⅱ）由题意知M ，圆心M 为线段AB 中点，且位于x 轴的正半轴，故设M 的坐标为)0,(t因为圆M 与y 轴相切，不妨设点B 在第一象限，又t MB MA ==，所以),(t t B)0(1123622>=+t t t 解得3=t ……8分 ∴圆心)0,3(M ,半径3=r∴圆M 的方程为：9)3(22=+-y x ……10分又圆心M 到直线013=+-y x 的距离22103=+-=d所以，直线013=+-y x 被圆M 所截得的弦长为：52492222=-=-d r ………13分18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当118n ≤≤时，1144010(1)(144)145010n n n c a b n n n n==++=++……2分 当1930n ≤≤时，1180180010(1)(180)10(179)179010n n n c a b n n n n n n ==+-=+-=+- …4分综上，1440145010,1181800179010,1930n n n nc n n n ⎧++≤≤⎪⎪=⎨⎪+-≤≤⎪⎩……6分（Ⅱ）当118n ≤≤时，144014501014501690n c n n =++≥+=（当且仅当12n =时取等号） ……8分当1930n ≤≤时，1800179010n c n n=+- ∵180010y n n=-在[19,30]上为减函数， ∴180017901030155030n c ≤+-⨯= ……10分于是min 30()1550n c c ==（千元），即日最低收入为1550千元.该村一年可收回的投资资金为⨯1550%11230⨯⨯=5580（千元）=558（万元）， 两年可收回的投资资金为55821116⨯=（万元）， 三年可收回的投资资金为3558⨯=1674（万元）.∴至少经过3年可以收回全部投资成本. ……13分19.（本小题满分13分） 解：（1）以点A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则)1,1,0(),2,0,0(),0,0,1(),0,2,2(),0,2,0(),0,0,0(M P D C B A⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00n CD n PD 即20,20,x z x y -=⎧⎨--=⎩令1z =，则2,1x y ==-，于是(211)n =-，，∵0AM n ⋅=，∴AM n ⊥，∴AM//平面PCD ……6分 （2）因为点N 是线段CD 上的一点，可设)0,2,1(λλ==DC DN)0,2,1()0,2,1()0,0,1(λλλ+=+=+=DN AD AN )1,12,1()1,1,0()0,2,1(--+=-+=-=λλλλAM AN MN又面PAB 的法向量为错误！未找到引用源。