龙岩市一级达标校2020～2019学年第一学期期末高一教学质量检查 数 学 试 题（考试时间：120分钟 满分150分）注意：1．试卷共4页，另有答题卡，解答内容一律写在答题卡上，否则不得分．2．作图请使用2B 铅笔，并用黑色签字笔描画．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填涂在答题卡上．） 1．已知集合{}50≤≤∈=x N x A ，集合{}A 1,3,5,C B=B =则 A ．{}4,2,0 B ．{}4,2C ．{}3,1,0D ．{}4,3,22．tan 225︒的值为A ．1B．2C．2-D ．1-3．下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 A ．xy e = B ．sin 2y x = C ．22x xy -=- D ．3y x =-4．函数)32tan()(ππ+=x x f 的最小正周期是 A ．1B ．2C ．3D ．45．已知52)cos(3)sin(2)23cos(=-+-+ααπαπ，则αtan =A ．6-B ．23-C ．23D ．66．已知在扇形AOB 中，2AOB ∠=，弦AB 的长为2，则该扇形的周长为 A ．2sin1B ．4sin1C ．2sin 2D ．4sin 27．在ABC ∆中，=3AC ，=4AB ，AD 是BC 边上的中线，则=AD BCA ．7-B ． 72-C ．72D ．78．关于狄利克雷函数1,()0x D x x ⎧=⎨⎩为有理数，为无理数，下列错误!未找到引用源。

叙述错误的是A ．错误!未找到引用源。

的值域是错误!未找到引用源。

B ．错误!未找到引用源。

是偶函数C ．任意x R ∈，都有()1f f x ⎡⎤=⎣⎦D ．错误!未找到引用源。

是奇函数9．已知函数31log (3),1()21,1x x x f x x --<⎧=⎨+≥⎩，则2(6)(log 6)f f -+= A ．4B ． 6C ．7D ．910．已知向量,a b ，其中=1a ，2=4a b -，2=2a b +，则a 在b 方向上的投影为 A ．1-B ．1C ．2-D ．211．设点),(y x A 是函数()sin()f x x =-([0,])x π∈图象上的任意一点，过点A 作x 轴的平行线，交其图象于另一点B （,A B 可重合），设线段AB 的长为()h x ，则函数()h x 的图象是A B C D12．已知82)15sin cos ((0,))4πααααπ+=∈，则sin cos αα-=A 41B 541C ．541D ．41第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应位置．）13．已知向量)3,2(-=a ，)1,(x b =，若a b ⊥，则实数x 的值是_________14．0.01161.01,ln 2,a b c ===,,a b c 从小到大的关系是_________15．若2lg(2)lg lg x y x y -=+，则2x y=_________16．已知定义在R 上的奇函数，满足0)()2(=+-x f x f ，当]1,0(∈x 时，x x f 2log )(-=，若函数x x f x F πsin )()(-=，在区间],1[m -上有2020个零点，则m 的取值范围是三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答写在答题卡相应位置并写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10分）某同学用“五点法”画函数()sin()(0,)2f x A x πωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数()f x 的解析式． （Ⅱ）若函数()f x 的值域为A ，集合{}13C x m x m =-≤≤+且AC A =，求实数m 的取值范围。

18．（本小题满分12分）已知734sin =α，),2(ππα∈．（Ⅰ）求2sin2α的值；（Ⅱ）若1433)sin(=+βα，)2,0(πβ∈，求β的值．19．（本小题满分12分）已知函数3423)(+-=x axx f（Ⅰ）当1=a 时，求函数)(x f 的值域； （Ⅱ）若)(x f 有最大值81，求实数a 的值．20．（本小题满分12分）若(2sin ,cos 2),(cos ,3)a x x b x ==-，且()f x a b =， （Ⅰ）求函数()f x 的解析式及其对称中心．（Ⅱ）函数()y g x =的图象是先将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位，再将所得图象横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到的. 求函数()y g x =，[0,]x π∈的单调增区间．21．（本小题满分12分）某投资人欲将5百万元资金投入甲、乙两种理财产品，根据银行预测，甲、乙两种理财产品的收益与投入资金t 的关系式分别其中a 为常数且05a <≤．设对乙种产品投入资金x 百万元．（Ⅰ）当2a =时，如何进行投资才能使得总收益y 最大；（总收益12y y y =+） （Ⅱ）银行为了吸储，考虑到投资人的收益，无论投资人资金如何分配，要使得总收益不低于0.45百万元，求a 的取值范围．22．（本小题满分12分）定义在R 上的函数)(x f 满足：对于任意实数y x ,, 都有21)()()(-+=+y f x f y x f 恒成立，且当0>x 时，21)(>x f ． （Ⅰ）判定函数)(x f 的单调性，并加以证明;（Ⅱ）设⎪⎩⎪⎨⎧>≤<=e x xe ex x x g ,0,ln )(，若函数1)())(()(--+=k f x g f x F 有三个零点从小到大分别为c b a ,,，求22()a b a b a b g c ⋅+⋅+⋅⋅的取值范围．龙岩市一级达标校2020～2019学年第一学期期末高一教学质量检查数学试题参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．32 14. ．c b a << 15．16 16．2015[,1008)2三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）根据表中已知数据，解得4A =,2ω=,6πϕ=-函数表达式为()4sin(2)6f x x π=-. (3)分补全数据如下表：……………5分（Ⅱ）∵()4sin(2)[4,4]6f x x π=-∈-[4,4]A ∴=-， ……………6分又AC A =，C A ∴⊆ ……………7分依题意 143134m m m -≥-⎧⇒-≤≤⎨+≤⎩……………-9分 ∴实数m 的取值范围是[3,1]- ……………10分18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）因为734sin =α，),2(ππα∈，所以71sin 1cos 2-=--=αα． (2)分从而 21cos 114sin[1()]22277αα-==⨯--=． ……………5分（Ⅱ）因为),2(ππα∈，)2,0(πβ∈，所以)23,2(ππβα∈+, ……………6分所以13cos()14αβ+==-． ……………8分sin sin[()]sin()cos cos()sin βαβααβααβα∴=+-=+-+ 23734)1413()71(1433=⨯---⨯=． ……………10分 又)2,0(πβ∈，3πβ∴=． ……………12分19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）当1=a 时，3423)(+-=x xx f ， ……………1分()3t f t =在R 上单调递增，且11)2(3422-≥--=+-x x x ……………3分∴31331342=≥-+-x x∴函数)(x f 的值域为),31[∞+ (5)分（Ⅱ）令342+-=x ax t当0≥a 时，t 无最大值，不合题意； (6)分当0<a 时，34)2(3422+--=+-=aax a x ax t ……………7分 ∴at 43-≤ ， ……………8分又()3tf t =在R 上单调递增，∴44338133)(==≤=-a t x f∴443=-a， ……………11分 ∴4-=a ……………12分20．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）依题意有()(2sin ,cos 2)(cos ,3)2sin cos 2sin 222sin(2)43f x a b x x x x x x x x x π==-=-==-分令23x k ππ-=，则62kx ππ=+∴函数()y f x =的对称中心为(,0)()62k k Zππ+∈……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，……………9分由()+22262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，即()22233k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，又[0,]x π∈ ∴()g x 的单调增区间为[0,]3π.……………12分21. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）设对乙种产品投入资金x 百万元，则对甲种产品投入资金5x -（）百万元 当2a =时，令t =∴当1t =时，总收益y 有最大值，此时1,54x x =-=.即甲种产品投资4百万元，乙种产品投资1百万元时，总收益最大……………5分 对任意[]0,5x ∈恒成立，对任意[]0,5x ∈恒成立，设t =则()2221g t t at =-++，其图象的对称轴为7分时，()g t 在减，且，，得，又时，()g t 在递减，，可得()()min 100g t g ==≥，符合题意时，易知()2221g t t at =-++增可得()()min 100g t g ==≥恒成立，∴实数a ……………12分 22. （本小题满分12分） 解：依题意有（Ⅰ）判定：)(x f 在R 上单调递增. ……………1分证明：任取,,21R x x ∈且21x x <,则21)()())(()()(12111212--=-+-=-x x f x f x x x f x f x f ,012>-x x 21)(12>-∴x x f ,021)(12>--∴x x f 0)()(12>-∴x f x f , )()(12x f x f >∴,所以函数)(x f 在R 上单调递增. ……………4分（Ⅱ）由⇔=0)(x F 01)())((=--+k f x g f 2121)())((=--+⇔k f x g f , 又21)0()0()00(-+=+f f f ,21)0(=∴f ,)0(21)())((f k f x g f =--+∴,)0())((f k x g f =-∴由（1）知)(x f 在R 上单调递增,k x g =∴)( (7)分所以题意等价于k y x g y ==与)(的图象有三个不同的交点（如下图）,则10<<k且,,,kec e b e a kk ===-22()(),k k ab a b abg c ab a b k e e k -∴++=++=++ 令)1,0(,)(∈++=-x x ee x h xx,1021<<<x x 设,则)(11)()(1222121122x x e e e e x h x h x x x x -++-+=-)()1)((12211212x x e e e e x x x x x x -+--=++, 0,1,010********>->>-∴<<<+x x e e e x x x x x x ,)()(12x h x h >∴即)1,0()(∈x x h 在上单调递增，)1()()0(h x h h <<∴即1)(21++<<∴-e e x h , 综上：)1,2(122++-+-e e abc b a ab 的取值范围是. ……………12分.。