方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.
11.【答案】
【解析】
.
12.【答案】
【解析】因为由题意得：所求封闭图形的面积为
。
13.【答案】（1，0）或（-1，-4）
【解析】函数求导，
，令
A. [-1，+∞） B. （-1，+∞） C. （-∞，-1] D. （-∞,-1）
20. 观察（ ）'=- ，（x3）'=3x2，（sinx）'=cosx，由归纳推理可得：若函数 f（x）在其定义域上满足 f（-x）=-f
（x），记 g（x）为 f（x）的导函数，则 g（-x）=
A. -f（x） B. f（x） C. g（x） D. -g（x）
3. 曲线 y=x·ex 在 x=1 处切线的斜率等于 A. 2e B. e C. 2 D. 1
Байду номын сангаас4.
等于
A. -21n 2 B. 21n 2 C. -ln 2 D. ln 2 5. 函数 f（x）=3+x lnx 的单调递增区间为
A. （0， ） B. （e，+∞） C. （ ，+∞）
D. （ ，e]
+∞）上恰有 2 个零点，求实数 a 的取值范围.
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2017 北京四中高二（下）期中数学（文）
参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 1.
【答案】D
【解析】
，故选 D.
2. 【答案】B
3. 【答案】A
【解析】
时，
，故选 A.
4. 【答案】D
【解析】
故选 C
可得规律:奇函数的导函数是偶函数.由 f（-x）=-f（x）可知 是奇函数,故 为偶函数,
,故
选 C.
21.
【答案】C
【解析】|z-1+i|的几何意义是单位圆上的点与(1,1)点的距离,因为圆心到(1,1)点的距离为 ,所以|z-1+i|的最大
值为
,故选 C.
【答案】1 【解析】由题意,阴影部分的面积
为:
,故填 1.
15.【答案】
【解析】
,故填
.
16.【答案】 【解析】根据已知中关于函数 f(x)在 D 上的几何平均数为 M 的定义，
由于 f(x)的导数为
在[1,2]内 f′(x)>0，
则 f(x)=x3−x2+1 在区间[1,2]单调递增， 则 x1=1 时,存在唯一的 x2=2 与之对应， 且 x=1 时,f(x)取得最小值 1，x=2 时，取得最大值 5， 故 M= 故答案为： . 三、解答题：本大题共 2 小题，共 20 分.
6. 在复平面内，复数 （i 是虚数单位）的共轭复数对应的点位于
A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限
7. 函数 f（x）= 在区间[0，3]的最大值为
A. 3 B. 4 C. 2 D. 5 8. 已知 f（x）=1+（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n，则 f '0）=
18. 已知函数 f（x）=
，其中 a∈R.
（I）当 a=1 时，求曲线 y=f（x）在原点处的切线方程； （II）求 f（x）的极值.
卷（II） 一、选择题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
19. 若 f（x）=- x2+bln（x+2）在（-1，+∞）上是减函数，则实数 b 的取值范围是
（I）解：当 a=1 时，f（x）= ，f '（x）=-2
.…………2 分
由 f '（0）=2，得曲线 y=f（x）在原点处的切线方程是 2x-y=0.………4 分
（II）解：f '（x）=-2
. ………6 分
①当 a=0 时，f '（x）= .
所以 f（x）在（0，+∞）单调递增，（-∞，0）单调递减. ………………7 分
21. 若 i 为虚数单位，设复数 z 满足| z |=1，则|z-1+i|的最大值为
A. -1 B. 2-
C. +1 D. 2+
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二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 22. 曲线 y=xn 在 x=2 处的导数为 12，则正整数 n=__________. 23. 设函数 y=-x2+l 的切线 l 与 x 轴，y 轴的交点分别为 A，B，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最小值为__________. 24. 对于函数①f（x）=4x+ -5，②f（x）=|log2 x|-（ ）x，③f（x）=cos（x+2）-cosx，判断如下两个命题的真 假：
，解得
，
当
，
，
；
当
，
.
综上：P0 坐标为（1,0）或（-1，-4）.
点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点
及斜率，其求法
为：设
是曲线
上的一点，则以 的切点的切线方程为：
．若曲线
在
点
的切线平行于 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为
．
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14. 如下图，由函数 f（x）=x2-x 的图象与 x 轴、直线 x=2 围成的阴影部分的面积为__________.
5. 【答案】C
【解析】
，令
，解得 ，故增区间为（ ，+∞），故选 C.
6. 【答案】D
考点：复数的运算及表示． 7.
【答案】A 【解析】
,令
,解得
或
(舍),当
时,
;当
时,
8. 【答案】D
【解析】
;所以当
时,函数有极大值
,即 f（x）在[0，3]的最大值为 3,故选 A.
，
，故选 D.
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9. 【答案】C 【解析】
当 a≠0，f '（x）=-2a
.
②当 a>0 时，令 f '（x）=0，得 x1=-a，x2= ,f（x）与 f '（x）的情况如下：
x
（-∞，x1）
x1
（x1,x2）
x2
f '（x）
-
0
+
0
f（x）
↘
f（x1）
↗
f（x2）
故 f（x）的单调减区间是（-∞，-a）,（ ,+∞）；单调增区间是（-a， ）.
命题甲：f（x）在区间（1，2）上是增函数； 命题乙：f（x）在区间（0，+∞）上恰有两个零点 x1，x2，且 x1x2<1. 能使命题甲、乙均为真的函数的序号是_____________. 三、解答题：本大题共 2 小题，共 20 分学&科&网... 25. 已知函数 f（x）=x3+ax2+bx+a2. （I）若 f（x）在 x=1 处有极值 10，求 a，b 的值； （II）若当 a=-1 时，f（x）<0 在 x∈[1，2]恒成立，求 b 的取值范围 26. 已知函数 f（x）=x3-3ax+e，g（x）=1-lnx，其中 e 为自然对数的底数. （I）若曲线 y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线 l：x+2y=0 垂直，求实数 a 的值； （II）设函数 F（x）=-x[g（x）+ x-2]，若 F（x）在区间（m,m+1）（m∈Z）内存在唯一的极值点，求 m 的值； （III）用 max{m，n}表示 m，n 中的较大者，记函数 h（x）=max{f（x），g（x）}（x>0）. 若函数 h（x）在（0，
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（II）由（I）f（x）在[ ，1]单调递增，在[1，e]上单调递减，
∴f（x）max=f（1）=0，f（x）max=f（1）=a-1. 18. 【答案】（I）2x-y=0; （II）见解析. 【解析】试题分析：（1）求出在原点处的导数值，得斜率，即可求出切线方程；
（2）求出导数，讨论单调性得极值. 试题解析：
的几何平均数为 M. 那么函数 f（x）=x3-x2+1，在 x∈[1，2]上的几何平均数 M=____________.
f(x)=x2-x
三、解答题：本大题共 2 小题，共 20 分. 17. 设函数 f（x）=lnx-x2+x.
（I）求 f（x）的单调区间；
（II）求 f（x）在区间[ ，e]上的最大值.
2017 北京四中高二（下）期中 数 学（理）
卷（I） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 1. 复数 =
A. + i B. + i C. 1-i D. 1+i 2. 下列求导正确的是
A. （3x2-2）'=3x B. （log2x） '=
C. （cosx） '=sinx D. （ ）'=x
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 11. 复数（2+i）·i 的模为__________. 12. 由曲线 y=x2,y=x3 围成的封闭图形的面积为__________.
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13. 若曲线 y=x3+x-2 上的在点 P0 处的切线平行于直线 y=4x-1，则 P0 坐标为__________. 14. 如下图，由函数 f（x）=x2-x 的图象与 x 轴、直线 x=2 围成的阴影部分的面积为__________.