北京市第四中学2011-2012学年下学期高二年级期中测试数学试卷（文科）（试卷满分150分，考试时间为120分钟）试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分卷（Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1.复数i−12等于A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i2.在复平面内，复数iiz −=1（i 是虚数单位）对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.下列推理所得结论正确的是A.由ac ab c b a +=+)(类比得到y x y x a a a log log )(log +=+B.由ac ab c b a +=+)(类比得到y x y x sin sin )sin(+=+C.由)()(c b a c b a ++=++类比得到)()(yz x z xy =D.由n n n b a ab =)(类比得到nn n y x y x +=+)(4.若x x x f sin 1)(2−=，则)(x f 的导数是A.x x x x x 22sin cos )1(sin 2−−− B.x x x x x 22sin cos )1(sin 2−+−C.xx x x sin )1(sin 22−+− D.xx x x sin )1(sin 22−−−5.复数i z +=1，z 为z 的共轭复数，则=−−1z z z A.－2iB.–iC.iD.2i6.已知函数)(x f y =，其导函数)('x f y =的图象如下图，则对于函数)(x f y =的描述正确的是A.在)0,(−∞上为减函数B.在0=x 处取得最大值C.在),4(+∞上为减函数D.在2=x 处取得最小值7.函数x x x f ln 3)(+=的单调递减区间为A.⎟⎠⎞⎜⎝⎛e 1,0 B.⎟⎠⎞⎜⎝⎛∞−e 1, C.⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∞,1e D.⎟⎠⎞⎜⎝⎛e e ,18.函数216x xy +=的极大值为A.3B.4C.2D.59.函数1)(3++=x ax x f 有极值的充要条件是A.0>a B.0≥a C.0<a D.0≤a 10.当0<a 时，函数4331223−−−=x a ax x y 在()+∞,3上是增函数，则实数a 的取值范围是A.()0,3− B.[)0,3− C.[]1,3− D.()1,3−11.给出四个命题：（1）函数在闭区间],[b a 上的极大值一定比极小值大；（2）函数在闭区间],[b a 上的最大值一定是极大值；（3）对于12)(23+++=x px x x f ，若6<p ，则)(x f 无极值；（4）函数)(x f 在区间),(b a 上一定不存在最值。

其中正确命题的个数是A.0B.1C.2D.312.函数cx bx ax x f ++=23)(的图象如图所示，且)(x f 在0x x =与2=x 处取得极值，则)1()1(−+f f 的值一定A.等于0B.大于0C.小于0D.小于或等于0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.在曲线133+−=x x y 的所有切线中，斜率最小的切线所对应的方程为。

14.设i 是虚数单位，复数iai−+21为纯虚数，则实数a 的值为。

15.当]1,1[−∈x 时，函数x ex x f 2)(=的值域是。

16.已知函数],0[,31cos ],,0[,31sin )(00ππ∈=∈−=x x x x x x f ，那么下面命题中真命题的序号是。

（写出所有真命题的序号）①)(x f 的最大值为)(0x f ；②)(x f 的最小值为)(0x f ；③)(x f 在],0[0x 上是减函数；④)(x f 在],[0πx 上是减函数。

三、解答题：本大题共2小题，共20分17.已知*N n ∈，且2≥n ，求证：11−−>n n n。

18.已知函数236)(ax x x f −=，其中0≥a 。

（1）当1=a 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程；（2）讨论函数)(x f 的单调性。

卷（Ⅱ）一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分1.i 为虚数单位，则201211⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+i i 的值是A.–i B.iC.1D.－12.下列函数中，0=x 是极值点的函数是A.3x y −= B.xy 2cos = C.xx y −=sin D.xy 1=3.设函数)(x f ，)(x g 在],[b a 上均可导，且)(')('x g x f >，则当b x a <<时，有A.)()(x g x f > B.)()(x g x f <C.)()()()(a f x g a g x f +>+ D.)()()()(b f x g b g x f +>+二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分4.如图，函数)(x f y =的图象在点))4(,4(f P 处的切线方程是92+−=x y ，则)4(')4(f f +的值为。

5.若函数)2('2)(2xf x x f +=，则=)2('f 。

6.若数列}{n a 的通项公式)()1(12+∈+=N n n a n ，记⋯)1)(1()(21a a n f −−=)1(n a −，试通过计算)3(),2(),1(f f f 的值，推测出=)(n f 。

三、解答题：本大题共2小题，每小题10分，共20分7.已知：函数)0(ln )(22>−+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值c −−3，其中c b a ,,为常数。

（1）试确定b a ,的值；（2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ，不等式22)(c x f −≥恒成立，求c 的取值范围。

8.已知函数()m x x g x x x f +=+−=ln 6,8)(2。

（1）求)(x f 在区间]1,[+t t 上的最大值)(t h ；（2）若)(x f y =的图象与)(x g y =的图象有且仅有三个不同的交点，求实数m 的取值范围。

【试题答案】卷（Ⅰ）1—5ACCAB 6—10CAACB11—12BB 13.13+−=x y 14.215.],0[e 16.①④17.略18.解：（Ⅰ）当1=a 时，x x x f x x x f 123)(',6)(223−=−=。

2分所以曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线斜率是9)1('−=f 3分因为5)1(−=f 所以曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程是)1(95−−=+x y ，即049=−+y x 。

5分（Ⅱ）令0)4(3123)('2=−=−=a x x ax x x f ，得a x x 4,021==。

7分①当0=a 时，03)('2≥=x x f ，故)(x f 在R 上为增函数。

9分②当04>a ，即0>a 时，列表分析如下：x )0,(−∞0)4,0(a a4),4(+∞a )('x f ＋－＋所以函数)(x f 在)0,(−∞和),4(+∞a 内单调递增，在)4,0(a 内单调递减。

13分综上，当0=a 时，)(x f 在R 上单调递增；当0>a 时，)(x f 在)0,(−∞和),4(+∞a 内单调递增，在)4,0(a 内单调递减。

卷（Ⅱ）1—3CBC 4.－15.4−6.222++n n 7.解：（Ⅰ）由题意知c f −−=3)1(，因此c c b −−=−3，从而3−=b 。

又对)(x f 求导得x ax x ax x f 6ln 2)('−+=由题意0)1('=f ，因此02=+b a ，解得6=a （Ⅱ）由（Ⅰ）知x x x f ln 12)(=。

令0)('=x f ，解得1=x 。

x )1,0(1),1(+∞)('x f －0＋)(x f ↘极小值)1(f ↗因此)(x f 的单调递减区间为)1,0(，而)(x f 的单调递增区间为),1(+∞。

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，)(x f 在1=x 处取得极小值c f −−=3)1(，此极小值也是最小值。

要使)0(2)(2>−≥x c x f 恒成立，只需223c c −≥−−。

即0322≥−−c c ，从而0)1)(32(≥+−c c 。

解得23≥c 或1−≤c 。

所以c 的取值范围为),23[]1,(+∞−−∞∪8.（1）()164)(2+−−=x x f ，当41<+t 即3<t 时，)(x f 在[]1,+t t 上单调递减，76)1()(2++−=+=t t t f t h ；当14+≤≤t t 即43≤≤t 时，16)4()(==f t h ；当4>t 时，)(x f 在[]1,+t t 上单调递减，t t t f t h 8)()(2+−==，综上，⎪⎩⎪⎨⎧>+−≤≤<++−=4,843,163,76)(22t t t t t t t t h （2）函数)(x f y =与)(x g y =的图象有且仅有三个不同的交点，即函数)()()(x f x g x −=ϕ的图象与x 的正半轴有且仅有三个不同的交点，)0()3)(1(2682)(',ln 68)(2>−−=+−=+−−=x xx x x x x m x x x x ϕϕ∵当()1,0∈x 时，)(,0)('x x ϕϕ>是增函数；当()3,1∈x 时，)(,0)('x x ϕ<ϕ是减函数；当()+∞∈,3x 时，)(,0)('x x ϕϕ>是增函数；当3,1==x x 时，0)('=x ϕ153ln 6)3()(,7)1()(2−+=ϕ=ϕ−=ϕ=ϕ∴m x m x 极小值极大值，∵当x 充分接近0时，0)(<x ϕ，当x 充分大时，0)(>x ϕ，∴要使)(x ϕ的图象与x 的正半轴有三个不同的交点，必须且只需,3ln 61570153ln 6)(07)(−<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧<−+=ϕ>−=ϕm m x m x 极小值极大值则)3ln 615,7(−∈m 。