第七章三角形【知识要点】一．认识三角形1．关于三角形的概念及其按角的分类定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2．三角形的分类：①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形。

2．关于三角形三条边的关系（判断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短）根据公理“两点之间，线段最短”可得：三角形任意两边之和大于第三边。

三角形任意两边之差小于第三边。

3．与三角形有关的线段．．：三角形的角平分线、中线和高三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与对边相交形成的线段；三角形的中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段，三角形任意一条中线将三角形分成面积相等的两个部分；三角形的高：过三角形的一个顶点做对边的垂线，这条垂线段叫做三角形的高。

注意：①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。

但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部。

④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。

（三角形的三条高（或三条高所在的直线）交与一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角顶点，钝角三角形高（所在的直线）的交点在三角形的外部。

）4．三角形的内角与外角（1）三角形的内角和：180°引申：①直角三角形的两个锐角互余；②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；③一个三角中至少有两个内角是锐角。

（2）三角形的外角和：360°（3）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；——常用来求角度②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

——常用来比较角的大小5.多边形的内角与外角（1）多边形的内角和：（n-2）180°（2）多边形的外交和：360°引申：（1）从n边形的一个顶点出发能作（n-3）条对角线；（2）多边形有2)3(nn条对角线。

（3）从n边形的一个顶点出发能将n边形分成（n-2）个三角形；※6．镶嵌（1）同一种正三边形、正四边形、正六边形可以进行平面镶嵌；（2）正三角形与正四边形、正三角形与正六边形……可以进行平面镶嵌；（1）同一种任意三角形、任意四边形可以进行镶嵌。

【典型例题】考点一：三角形的分类例题1：具备下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ B ）。

A ：∠A+∠B=∠C B ：∠A=∠B= ∠C C ：∠A=90°-∠B D ：∠A-∠B=90 例题2：等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( D )． A ．60° B ．120° C ．60°或150° D ．60°或120° 考点二：三角形三边的关系例题1：已知：如图1，△ABC 中，D 是AB 上除顶点外的一点.， 求证：AB+AC>DB+DC ；变式一：已知：如图3，△ABC 中，点P 为△ABC 内任一点求证： AB+BC > PB+PC 延长BP 与AC 交于点D,根据三角形三边的关系：有)1(BD BP AD AB BD AD AB +>+>+即)2(PC DC PD >+(1)+(2)-PD 得PC PB AC AP +>+ 变式二：如图2，点P 为△ABC 内任一点，求证：PA+PB+PC>21(AB+BC+AC);变式三：如图3，D 、E 是△ABC 内的两点，求证：AB+AC>BD+DE+EC.例题2：现有两根木棒，它们的长分别是40cm 和50cm ，若要钉成一个三角形木架，则在下列四根木棒中应选取长为（ C ）A.100cm 的木棒B.90cm 的木棒C.40cm 的木棒D.10cm 的木棒 练习：1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是 （ D ）PCBA图2 ED CBA图3图1A 、 3，4，8B 、 5，6，11C 、 1，2，3D 、 5，6，102. 一个等腰三角形的两条边长分别为8㎝和3㎝，那么它的周长为 19cm . 考点三：三角形的中线的性质例题1：将△ABC 分成面积相等的四个三角形。

例题2：已知：如图，AD 、BC 、DE 是△ABC 的三条中线，O 为交点。

求证：（1）ABC AOE S S ∆∆=61(2) 1:2:=OD AO练习:1.如图5，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，且ABC S ∆= 42cm ，则S 阴影等于( B ) A ．22cm B. 12cm C.122cm D. 142cm 考点四：三角形的稳定性三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理． 练习：1.不是利用三角形稳定性的是( )A 、自行车的三角形车架B 、三角形房架C 、照相机的三角架D 、矩形门框的斜拉条 2.下列图形中具有稳定性的有（ ）A 、正方形B 、长方形C 、梯形D 、 直角三角形 考点五：三角形的外角与不相邻的内角的关系例题1：如图，已知点P 在△ABC 内任一点，试说明∠A 与∠P 的大小关系。

例题2：如图4，∠1+∠2+∠3+∠4等于多少度；（280°）ACBDEFOA B C 方法一 A BC 方法二A B C方法三_ D _ B _ CPCBA4题图EBDA CH练习：1、如图，下列说法错误的是( A )A 、∠B >∠ACD B 、∠B+∠ACB =180°－∠AC 、∠B+∠ACB <180°D 、∠HEC >∠B2、若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( C ). A 、直角三角形 B 、锐角三角形 C 、钝角三角形 D 、无法确定 考点六：三角形的内角和、外角和相关的计算与证明例题1：若三角形的三个外角的比为3：4：5，则这个三角形为（ B ）． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．钝角三角形 例题2：已知等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角为_______. 练习：1、如图，若∠AEC=100°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE 等于( A ) A. 125° B. 115° C. 110° D. 105°2、如图，∠1=______.3、如图，则∠1=______,∠2=______,∠3=______,4、已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是( C )A.等腰直角三角形B.一般的等腰三角形C.等边三角形D.等腰钝角三角形5、如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°，那么与这个外角相邻的内角的度数为( C )A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°6、已知三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4，则它的最大内角的度数( D ). A. 90° B. 110° C. 100° D. 120°例题2：如图,已知ABC ∆中,ACB ABC ∠∠和的角平分线BD,CE 相交于点O. （1）若︒=∠50ABC ，︒=∠70ACB ，则=∠C B 0 ； （2）若︒=∠48ABC ，︒=∠64ACB ，则=∠C B 0 ； （3） 若60=∠A ,则=∠C B 0 ； （4）请探究的关系与BOC A ∠∠.变式一：如图，BP 平分∠FBC ，CP 平分∠ECB. （1）若∠A=40°，求∠BPC 的度数；（2）若∠A=a ，求∠BPC 的度数（用含a 的代数式表示）.ABCO_3 题图 _ 150 ︒ _ 50 ︒ _ 3 _ 2 _ 1 _2 题图 _ 140 ︒ _ 80 ︒ _1 _ 1题图 _ F _E _ A _ C _ B _ D变式二：已知：BD 为△ABC 的角平分线，CO 为△ABC 的外角平分线，它与BO 的延长线交于点O ，试探索∠BOC 与∠A 的数量关系，并说明理由．引申：如图，若E 为BA 延长线上一动点，连EC ，∠AEC 与∠ACE 的角平分线交于Q ，当E 滑动时有下面两个结论：①∠Q+∠A 1的值为定值；②∠Q-∠A 1的值为定值，其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值．（①正确，∠Q+∠A 1=180°）变式三：已知：如图1，线段AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、CB ，如图，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD 、AB 分别相交于M 、N ．试解答下列问题： （1）在图中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P 的度数；（写出解答过程）（2）如果图中∠D 和∠B 为任意角，其他条件不变，试写出∠P 与∠D 、∠B 之间数量关系．（∠B+∠D=2∠P ）例题3：如图甲，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC ． （1）若∠B=30°，∠C=70°，则∠DAE= 20° ； （2）若∠C ﹣∠B=30°，则∠DAE= 15° ；（3）若∠C ﹣∠B=a （∠C ＞∠B ），求∠DAE 的度数（用含a 的代数式表示）；（ 21）（4）如图乙，当∠C ＜∠B 时我们发现上述结论不成立，但为了使结论的统一与完美，我们不妨规定：角度也有正负，规定顺时针为正，逆时针为负．例如：∠DAE=﹣18°，则∠EAD=18°，作出上述规定后，上述结论还成立吗？ _____成立____ ；若∠DAE=﹣7°，则∠B ﹣∠C= ____14_____ °．变式一：已知：如图1，△ABC 中，∠B ＞∠C ，AD 是△ABC 的角平分线，点P 是AD 上的一点，过点P 画PH ⊥BC 于H（1）求证：∠DPH=（∠B ﹣∠C ）；（2）如图2，当点P 是线段AD 的延长线上的点时，过点P 画PH ⊥BC 于H ，上述结论任然成立吗？请你作出判断并加以说明．变式二：如图，AE 、OB 、OC 分别平分∠BAC 、∠ABC 、∠ACB ，OD ⊥BC ，求证：∠1=∠2． 由（1）得OBC OCB ABC ACB EOD ∠-∠=∠-∠=∠)(21OCE OBC EOD ∠=∠+∠︒=∠+∠=∠+∠+∠∴9021OCD EOD OBE21∠=∠∴例题4：如图①，一张三角形ABC 纸片，点D 、E 分别是△ABC 边上两点．研究（1）：如果沿直线DE 折叠，使A 点落在CE 上，则∠BDA′与∠A 的数量关系是 _∠BDA′=2∠A _ 研究（2）：如果折成图②的形状，猜想∠BDA′、∠CEA ′和∠A 的数量关系是 ____∠BDA′+∠CEA′=2∠A 研究（3）：如果折成图③的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A 的数量关系，并说明理由．__∠BDA′-∠CE A′=2∠A变式：研究（4）：将问题1推广，如图，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是___2∠A+2∠B-∠1-∠2-180°=0________．考点五：多边形的内角和与外角和（识记）例题1：若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（A）A．三角形B．六边形C．五边形D．四边形例题2：下列说法错误的是（ A ）A．边数越多，多边形的外角和越大B．多边形每增加一条边，内角和就增加180°C．正多边形的每一个外角随着边数的增加而减小D．六边形的每一个内角都是120°例题3：一个多边形内角和与其中一个外角的总和为1360°这个多边形的边数为9 .例题4：一个多边形的每一个外角都是24°，则此多边形的内角和（B）2160° B ．2340° C ．2700° D ．2880°1．一个多边形内角和是10800，则这个多边形的边数为 （ B ）A 、 6B 、 7C 、 8D 、 9 2．一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是（ C ）A 、 四边形B 、 五边形C 、 六边形D 、 八边形 3．一个多边形的边数增加一倍，它的内角和增加( A )A. 180°B. 360°C. (n-2)·180°D. n ·1804、若一个多边形的内角和与外角和相加是1800°，则此多边形是( B ) A 、八边形 B 、十边形 C 、十二边形 D 、十四边形5、正方形每个内角都是 _90°_____，每个外角都是 ___90°____。