12．3．1 概率的加法公式
2．任意事件概率的加法公式
任意事件概率的加法公式为 P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ）
公式可以推广到有限个事件的情形。

下面给出三个事件的并的概率加法公式：
P （A ∪B ∪C ）=P （A ）+P （B ）+P （C ）－P （AB ）－P （AC ）－P （BC ）+P （ABC ）
例2 如图12-6（课本）所示的线路中，元件a 发生故障的概率为0.08,元件b 发生故
障的概率为0.05,元件a,b ，同时发生故障的概率为0.004,求线路中断的概率。

解 设A={元件a 发生故障}，B={元件b 发生故障}，C={线路中断}，根据电学知识
可知
C=A ∪B 。

根据题意可知，P （A ）=0.08, P(B)=0.05, P(AB)=0.004. 由公式12-4得
P(C)=P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ）=0.08+0.05－0.004=0.126.
课堂练习
12．3．2概率的乘法公式
1．条件概率
定义 在事件A 发生的条件下发事件B 发生的概率叫条件概率，记作P （B ︱A ）。

例3 五个球中有三个白球，二个红球，每次任取一个，不放回抽取两次，试求在第
一次取到红球的条件下第二次取到白球的概率。

解 设A={第一次取到红球}，B={第二次取到白球}。

由于事件A 已经发生，而且取出的球不放回，所以5个球中只剩下4个，其中白球仍
有三个，于是由古典概型可知 P （B ︱A ）=
43 条件概率有以下计算公式：
P （B ︱A ）=)()(A P AB P P （A ）≠0 P （A ︱B ）=)
()(B P AB P P （B ）≠0。

（12-6） 课堂练习
2．乘法公式
由条件概率的计算公式可得
P （AB ）=P （A ）P （B ︱A ）=P （B ）P （A ︱B ） （12-7）
公式（12-7）称为概率的乘法公式。

例4 设在一个盒子中装有10只晶体管，4只是次品，6只是正品，从中接连取两次，
每次任取一只，取后不再放回。

问两次都取到正品管子的概率是多少？
解 设A={第一次取到的是正品管子}，B={第二次取到的是正品管子}。

则AB={两次都取到正品管子}。

因为 P （A ）=106， P （B ︱A ）=9
5， 所以，由公式（12-7）得 P （AB ）=P （A ）P （B ︱A ）=
3195106=⋅。

概率的乘法公式，可以推广到有限个积事件的情形，下面给出三个事件积的概率公式：
P （ABC ）=P （A ）P （B ︱A ）P （C ︱AB ）。

12．3．3 事件的独立性
定义 如果事件A （或B ）的发生不影响事件B （或A ）发生的概率，即P （B ︱A ）
=P （B ）或P （A ︱B ）=P （A ），那么事件A 、B 叫做相互独立事件。

如果事件A 、B 相互独立，那么两事件的积AB 的概率等于两个事件概率的乘积，即
P （AB ）=P （A ）P （B ）
反过来，如果上式成立，那么事件A 、B 一定相互独立。

如事件A 和事件B 相互独立，则A 与B A A B B ,与，
与都是相互独立的。

如果事件n A A A ，⋯,,21中任一事件i A （i=1，2，…，n ）发生的概率不受其他事件发生的影响，那么事件n A A A ，⋯,,21叫做相互独立事件，并且有
P （n A A A ⋯21）=P ）（）（）（n A A P A ⋯21
例5 掷甲、乙两枚硬币，事件A 表示甲币出现“正面向上”，事件B 表示乙币出现“正面向上”，计算P （A ），P （B ），P （B ︱A ）和P （A ︱B ）。

解 根据题意，全集Ω={（正正），（正反），（反正），（反反）}，
所以 P （A ）=,2142)(,2142===B P ，P （B ︱A ）=21，P （A ︱B ）=21。

由例5可以看出，P （B ︱A ）=P （B ），P （A ︱B ）=P （A ），即事件A 、B 相互独立。

例6 甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.6，计算： （1）两人都击中目标的概率；
（2）其中恰有一人击中目标的概率； （3）至少有一人击中目标的概率。

解 设A={甲击中目标}，B={乙击中目标}。

由于甲（或乙）是否击中目标，对乙（或
甲）是否击中的概率是没有影响的，因此A 与B 是相互独立的事件，A 与B A B A B 与，
与,都是相互独立事件。

（1）“两人都击中目标”就是事件AB ，由公式（12-9）得
P （AB ）=P （A ）P （B ）=0.6×0.6=0.36
(2)事件”恰有1人击中目标”就是事件B A B A ⋃，所以
P （B A B A ⋃）=)()()()()()(B P A P B P A P B A P B A P +=+=0.6×（1－0.6）+(1－0.6)×0.6=0.48
(3)事件“至少有1人击中目标”即事件A ∪B,
所以 P(A ∪B)=P(A)+P(B)－P （AB ）=P （A ）+P （B ）－P （A ）P （B ）=0.6+0.6－0.6×0.6=0.84
或用A ∪B 的逆事件“两人都未击中目标”也就是B A 来计算
P （A ∪B ）=1－P （B A ）=1－P （)()B P A =1－（1-0.6）×(1－0.6)=0.84
课堂练习：p183.1.2.3.
小结：1、互斥事件概率的加法公式
2、任意事件概率的加法公式
3、条件概率及其求法
4、概率的乘法公式
5、事件的独立性。