课 题: 两个重要极限 目的要求：
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教学课时：
教学方法： 教学内容与步骤：
1. 0sin lim 1x x x
→=． 证明 作单位圆如下图所示,取AOB x ∠=(rad),于是有：
BC =sin ,x »
AB x =,tan AD x =.由图得OAB OAD OAB S S S ∆∆<<扇形，即 111sin tan 222x x x <<得 sin tan x x x <<,从而有sin cos 1x x x
<<. 上述不等式是当π02x <<时得到的,但因当 x 用x -代换时cos x ,sin x x
都不变号,所以 x 为负时,关系式也成立. 因为0limcos 1x x →=,又0
lim11x →=,由极限的夹逼准则知介于它们之间的函数sin x x 当
0x →时,极限也是1.这样就证明了0sin lim
1x x x
→=. 说明： （1）这个重要极限主要解决含有三角函数的
00
型极限． （2）为了强调其一般形式,我们把它形象地写成0sin lim 1x x →=x
(方框□代表同一变量)． 例6 求0sin 3lim sin 4x x x →. 解：
003040sin 3sin 3433sin 343lim
lim()lim lim .sin 43sin 4443sin 44
x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→=⋅⋅=⋅= 例7 求201cos lim x x x →-. 解 2
2220002sin sin 1cos 1122lim lim lim 22
2x x x x x x x x x →→→⎛⎫ ⎪-=== ⎪ ⎪⎝⎭． 例8 求30tan sin lim
x x x x →-． 解： 332000tan sin tan (1cos )1sin 1cos lim lim lim cos x x x x x x x x x x x x x x →→→---⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭
由例7知
21cos 1(0)2
x x x -→→, 故30tan sin 1lim 2x x x x →-=. 2. 1lim 1e x x x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭
． 解释说明：列出11x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
的数值表(如下表)，观察其变化趋势.
从上表可看出,当x 无限增大时,函数11x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
变化的大致趋势,可以证明当x →∞时, 11x
x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的极限确实存在,并且是一个无理数,其值为e 2.718282828=L ,即
1lim 1e x x x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭
说明：（1）此极限主要解决 1∞型幂指函数的极限．
（2）它可形象地表示为 1lim 1e, →∞+=W W W
（） (方框□代表同一变量)． （3）另一表示形式：10lim(1)e →+=W
W W 。

(方框□代表同一变量)． （4）两种计算方法：
熟练者：拼凑法，凑出方框□代表的代数式）
初学者：1∞型幂指函数的极限，换元法，设底数为1+u （或为1+1/u ）,求出U
来。

再凑出指数1/U （或U ）
练习9 求3lim 1x
x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭
. 解: 所求极限类型是1∞型,（换元法） 令3x u =,则:3x u =. 333311lim 1lim 1lim 1e x u u x u u x u u →∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
． 例10 求2lim 1x x x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭
. 解： 所求极限类型是 1∞
型.（拼凑法）
22221lim 1lim 1e .2x x x x x x ---→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎛⎫⎢⎥-=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭ ⎪-⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 例11 求2lim 3x x x x →∞-⎛⎫ ⎪-⎝⎭
. 解 所求极限类型是 1∞型,令2113x x u
-=+-,解得3x u =+.当x →∞时, u →∞.于是 33
2111lim lim 1lim 1lim 1 e.3x u u x u u u x x u u u +→∞→∞→∞→∞-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
作业：教学总结：。