【关键字】教案、教案
两个重要的极限教案
教者
数学分析
科目
数学
年级
大一
课题
两个重要极限（一）
课型
时间
2017年4月11日
地点
教材分析
《两个重要极限》是在学生学习了数列的极限、函数的极限以及函数极限的四则运算法则的基础上进行研究的，它是解决极限计算问题的一个有效工具，也是今后研究初等函数求导公式的一个工具，所以两个重要极限是后继学习的重要基础。
课前准备
教师：多媒体课件；学生：计算器。
教学环节
教学内容
复习导入
新授
1、说说当 时，函数 的极限的定义。
如果当 无限接近于定值 时，函数 无限接近于一个确定的常数 ，那么 称为函数 当 时的极限，记作 。
2、 的充要条件是什么？
=
3、说出函数极限的四则运算法则。
一、问题的提出
“ 型”极限的计算方法，到目前为止，我们学过因式分解约去非零因子，有理化分子或分母这两种方法。是不是所有的“ 型”都可以用这两种方法解决呢？
问题：如何求 ？
三、证明猜想
过程见课本
强调：①极限中函数 的分子分母都是当 时的无穷小。
②这里的自变量 是用弧度度量的，以后引用这个极限时必须用弧度作单位。
③在利用这个极限求较复杂函数的极限时，必须注意所有含有自变量的表达形式应一致。
④
四、公式的应用
例1：求⑴ ⑵
解：⑴
⑵ = =
=
回顾反思：1、求此类函数的极限其关键是把此函数转化为 与另一个函数的乘积，若另一个函数的极限可求，则可求出此函数的极限。
教学重点
正确理解公式 ，并能运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。
教学难点
公式 的证明、公式及其变形式灵活运、讨论法以及讲练结合的教学方法。通过复习函数极限的定义以及函数极限的运算法则，配以适当的练习，强化学生对极限概念的理解和运算能力。在公式的引入上通过设疑引导学生尝试、讨论、猜想，并借助多媒体动画帮助学生理解结论，锻炼学生运用数学工具解决数学问题的意识，提高学生的学习兴趣。对于公式的证明，所涉及的内容比较多，逻辑性较强，在老师的引导下了解论证过程。在公式的运用上按照循序渐进的原则，设计梯度、降低难度，留出学生的思考空间，让学生去尝试、联想、探索，以独立思考和相互交流相结合的形式，在教师的指导下分析和解决问题，帮助学生获得成功的体验。
课堂练习
练习：求下列极限：
3 ②
③ ④
小结
1．正确、灵活地运用公式 。
2．当 。
3．运用换元法时须注意自变量的变化趋势的改变和系数的变化。
4.利用此公式求极限时，一定要注意变量的变化趋势，不能一概而论，造成思维定势，如求 。
作业
P60 .1、2
过程与方法：通过教师引导，学生观察、实验、猜想、分析讨论和练习，培养学生观察、归纳、举一反三的能力，进一步认识换元法、转化思想、数型结合思想在数学解题中的重要作用。
情感态度与价值观：通过对这一重要极限公式的研究，进一步认识数学的美，激发学生的学习兴趣；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维品质。
2、当 。如 。
例2：求⑴ ⑵
解：⑴ =3 =3
⑵ =
=
=
回顾反思：1、此例用到了变量替换（换元），变量替换后一定要注意变量的变化趋势可能会发生变化。
2、函数变形后要注意系数的变化，防止计算错误。
3、一般地 ， ， 。
例3：求
解： = = =
回顾反思：利用公式 求函数极限，有时不仅要进行变量替换，还要利用三角函数公式进行变形。
学情分析
一方面，学生已经学习了函数的极限以及函数极限的运算法则，会用因式分解约去非零因子、有理化分子或分母这两种方法计算“ 型”函数的极限，具备了接受新知识的基础；另一方面，学生理性思维能力相对较弱，对函数极限概念的理解还比较浅显，运用极限思维解决问题的能力有限。
教学目标
知识与技能：让学生了解公式 的证明过程，正确理解公式，知道公式应用的条件，熟练运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。