两个重要极限开课教
案
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 预备知识 1. 有关三角函数的知识
x
x x cos sin tan =，00sin =，10cos =，1sin ≤x ，1cos ≤x 2.无穷小量
定义：在某个变化过程中，以0为极限的变量称为在这个
变化过程中的无穷小量
性质: 无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小.
一、1sin lim 0=→x
x x
问题1：观察当x →0时x
x sin 的变化趋势： x (弧度)
±1.0 ±0.9 ±0.8 ±0.7 ±0.6 ±0.5 ±0.4 ±0.3 ±0.2 ±0.1 ±0.01 x x
sin
0.8417 0.8703 0.8967 0.9203 0.9410 0.9588 0.9735 0.9850 0.9933 0.9983 0.9999
二、证明1sin lim 0=→x
x x 用两边夹定理证明. 。

x AOB =∠圆心角),20(π<<x
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3
如图单位圆， 作单位圆的切线，得 扇形AOB 的圆心角为x , 的高为BC , 于是有 BC 弧AB AD
因为ΔAOB 的面积 < 圆扇形AOB 的面积 <ΔAOD 的面积, 即 于是
例1 求x
x x tan lim 0→。

解 x
x x tan lim 0→ =111cos 1lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0000=⋅=⋅=⋅=→→→→x
x x x x x x x x
x x x x
例2 求x
x x 5sin lim 0→．
解 x x x 5sin lim 0→=5sin lim 5)5(55sin 5lim 00==→→t t t x x x t x 令
.
02也成立上式对于<<-x π
11lim ,1cos lim 00
==++→→x x x 因为1sin lim 0=+→x
x x 从而有，所以类似可以证明1sin lim -0=→x x x 1sin lim 0=→x
x x .AOD ∆AOB
∆. tan , , sin ===x x x ,tan 2121sin 21x x x <<所以,tan sin x x x <<,1sin cos <<x
x x
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4
练习：
（1）x x x 3sin lim 0→ （2）x
x x 35sin lim 0→ 使用1sin lim 0=→x
x x 时要注意： （1）类型:“0
0”型 （2）推广形式：
例3 求x
x x tan lim 0→。

解 x
x x tan lim 0→ =111cos 1lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0000=⋅=⋅=⋅=→→→→x
x x x x x x x x
x x x x 例4 求x
x x 5sin lim 0→．
解 x x x 5sin lim 0→=5sin lim 5)5(55sin 5lim 00==→→t t t x x x t x 令
例5 求x x x 2sin 3tan lim 0→ 解：⎪⎭⎫ ⎝
⎛⋅⋅=→→x x x x x x x x 2sin 233tan 23lim 2sin 3tan lim 00 232sin 2lim 33tan lim 2300=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=
→→x x x x x x 练习：x x x 3sin lim 0→ x x x 5tan 2sin lim 0→
sin lim 1αα
=某过程 lim 0 α=某过程（）0 lim
1si (3) n x x x →=等价形式：
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 例6 求x
x x 3sin lim ∞→ 解 313sin lim 333sin 3lim 3sin lim 03=⋅==⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⋅=→=∞→∞→t t x x x x t x t x x 例7 求20cos 1lim x
x x -→。

解 20cos 1lim x
x x -→ =212
2sin 22sin 21lim )2(22sin lim 2sin 2lim 02
20220=⋅⋅==→→→x x x x x x x x x x x 注：1tan lim 1sin lim 00==→→x x x x x x 练习：A/1(3)(5)(6)。