§3.1　习题课课时目标　1.进一步了解函数的零点与方程根的联系.2.进一步熟悉用“二分法”求方程的近似解.3.初步建立用函数与方程思想解决问题的思维方式．1．函数f (x )在区间(0,2)内有零点，则( )A ．f (0)>0，f (2)<0B ．f (0)·f (2)<0C ．在区间(0,2)内，存在x 1，x 2使f (x 1)·f (x 2)<0D ．以上说法都不正确2．函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与两条坐标轴共有两个交点，那么函数y ＝f (x )的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．1或23．设函数f (x )＝log 3－a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是( )x ＋2x A ．(－1，－log 32) B ．(0，log 32)C ．(log 32,1)D ．(1，log 34)4．方程2x －x －2＝0在实数范围内的解的个数是________________________________．5．函数y ＝()x 与函数y ＝lg x 的图象的交点的横坐标是________．(精确到120.1)6．方程4x 2－6x －1＝0位于区间(－1,2)内的解有__________个．一、选择题1．已知某函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)有零点的区间大致是( ) A．(0,0.5)B．(0.5,1)C．(1,1.5)D．(1.5,2)2．函数f(x)＝x5－x－1的一个零点所在的区间可能是( )A．[0,1]B．[1,2]C．[2,3]D．[3,4]3．若x0是方程lg x＋x＝2的解，则x0属于区间( )A．(0,1) B．(1,1.25)C．(1.25,1.75) D．(1.75,2)4．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )A．[－2,1]B．[－1,0]C．[0,1]D．[1,2]5．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a<b)，并且α，β(α<β)是函数y＝f(x)的两个零点，则实数a，b，α，β的大小关系是( )A．a<α<β<b B．α<a<b<βC．α<a<β<b D．a<α<b<β题　号12345答　案二、填空题6．用二分法求方程x2－5＝0在区间(2,3)的近似解经过________次二分后精确度能达到0.01.7．已知偶函数y＝f(x)有四个零点，则方程f(x)＝0的所有实数根之和为________．8．若关于x的二次方程x2－2x＋p＋1＝0的两根α，β满足0<α<1<β<2，则实数p的取值范围为___________________．9．已知函数f(x)＝ax2＋2x＋1(a∈R)，若方程f(x)＝0至少有一正根，则a的取值范围为________．三、解答题10．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)≈－0.984f(1.375)≈－0.260f(1.4375)≈0.162f(1.40625)≈－0.054求方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.1)．11．分别求实数m的范围，使关于x的方程x2＋2x＋m＋1＝0，(1)有两个负根；(2)有两个实根，且一根比2大，另一根比2小；(3)有两个实根，且都比1大．能力提升12．已知函数f(x)＝x|x－4|.(1)画出函数f(x)＝x|x－4|的图象；(2)求函数f(x)在区间[1,5]上的最大值和最小值；(3)当实数a为何值时，方程f(x)＝a有三个解？13．当a取何值时，方程ax2－2x＋1＝0的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上．§3.1　习题课双基演练1．D [函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内存在零点，我们并不一定能找到x 1，x 2∈(a ，b )，满足f (x 1)·f (x 2)<0，故A 、B 、C 都是错误的，正确的为D.]2．D [当f (x )的图象和x 轴相切与y 轴相交时，函数f (x )的零点个数为1，当f (x )的图象与y 轴交于原点与x 轴的另一交点在x 轴负半轴上时，函数f (x )有2个零点．]3．C [f (x )＝log 3(1＋)－a 在(1,2)上是减函数，由题设有f (1)>0，f (2)<0，解2x 得a ∈(log 32,1)．]4．2解析　作出函数y ＝2x 及y ＝x ＋2的图象，它们有两个不同的交点，因此原方程有两个不同的根．5．1.9(答案不唯一)解析　令f (x )＝()x －lg x ，则f (1)＝>0，f (3)＝－lg3<0，∴f (x )＝0在(1,3)内121218有一解，利用二分法借助计算器可得近似解为1.9.6．2解析　设f (x )＝4x 2－6x －1，由f (－1)>0，f (2)>0，且f (0)<0，知方程4x 2－6x －1＝0在(－1,0)和(0,2)内各有一解，因此在区间(－1,2)内有两个解．作业设计1．B2．B [因为f (0)<0，f (1)<0，f (2)>0，所以存在一个零点x ∈[1,2]．]3．D [构造函数f (x )＝lg x ＋x －2，由f (1.75)＝f ()＝lg －<0，f (2)＝lg2>0，747414知x 0属于区间(1.75,2)．]4．A [由于f (－2)＝－3<0，f (1)＝6>0，故可以取区间[－2,1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算．]5．A [函数g (x )＝(x －a )(x －b )的两个零点是a ，b .由于y ＝f (x )的图象可看作是由y ＝g (x )的图象向上平移2个单位而得到的，所以a <α<β<b .]6．7解析　区间(2,3)的长度为1，当7次二分后区间长度为＝<＝0.01.127112811007．0解析　不妨设它的两个正零点分别为x 1，x 2.由f (－x )＝f (x )可知它的两个负零点分别是－x 1，－x 2，于是x 1＋x 2－x 1－x 2＝0.8．(－1,0)解析　设f (x )＝x 2－2x ＋p ＋1，根据题意得f (0)＝p ＋1>0，且f (1)＝p <0，f (2)＝p ＋1>0，解得－1<p <0.9．a <0解析　对ax 2＋2x ＋1＝0，当a ＝0时，x ＝－，不符题意；12当a ≠0，Δ＝4－4a ＝0时，得x ＝－1(舍去)．当a ≠0时，由Δ＝4－4a >0，得a <1，又当x ＝0时，f (0)＝1，即f (x )的图象过(0,1)点，f (x )图象的对称轴方程为x ＝－＝－，22a 1a 当－>0，即a <0时，1a 方程f (x )＝0有一正根(结合f (x )的图象)；当－<0，即a >0时，由f (x )的图象知f (x )＝0有两负根，1a 不符题意．故a <0.10．解　∵f (1.375)·f (1.4375)<0，且|1.4375－1.375|＝0.0625<0.1，∴方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似根可取为区间(1.375，1.4375)中任意一个值，通常我们取区间端点值，比如1.4375.11．解　(1)方法一　(方程思想)设方程的两个根为x 1，x 2，则有两个负根的条件是Error!解得－1<m ≤0.方法二　(函数思想)设函数f (x )＝x 2＋2x ＋m ＋1，则原问题转化为函数f (x )与x 轴的两个交点均在y 轴左侧，结合函数的图象，有Error!解得－1<m ≤0.(2)方法一　(方程思想)设方程的两个根为x 1，x 2，则令y 1＝x 1－2>0，y 2＝x 2－2<0，问题转化为求方程(y ＋2)2＋2(y ＋2)＋m ＋1＝0，即方程y 2＋6y ＋m ＋9＝0有两个异号实根的条件，故有y 1y 2＝m ＋9<0，解得m <－9.方法二　(函数思想)设函数f (x )＝x 2＋2x ＋m ＋1，则原问题转化为函数f (x )与x 轴的两个交点分别在2的两侧，结合函数的图象，有f (2)＝m ＋9<0，解得m <－9.(3)由题意知，Error!(方程思想)，或Error!(函数思想)，因为两方程组无解，故解集为空集．12．解　(1)f (x )＝x |x －4|＝Error!图象如右图所示．(2)当x ∈[1,5]时，f (x )≥0且当x ＝4时f (x )＝0，故f (x )min ＝0；又f (2)＝4，f (5)＝5，故f (x )max ＝5.(3)由图象可知，当0<a <4时，方程f (x )＝a 有三个解．13．解　①当a ＝0时，方程即为－2x ＋1＝0，只有一根，不符合题意．②当a >0时，设f (x )＝ax 2－2x ＋1，∵方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上，∴Error!，即Error!，解得<a <1.34③当a <0时，设方程的两根为x 1，x 2，则x 1x 2＝<0，x 1，x 2一正一负不符合题意．1a 综上，a 的取值范围为<a <1. 34。