Xj
Zj
P
Oj
Yj
Zi
Oi P OiO j O j P
i
Oj i
P
P P P
Oj i j
Xi
Oi
Yi
沿着不同轴向的组合平移：
x 0 0 x 0 y 0 y Oj P i 0 0 z z
T
2、坐标旋转（坐标系原点相同）
Zj
Zi
P
坐标系j由坐标系i旋转而成 已知点P在j坐标系的坐标：
Yj
j
P [x j
yj
z j ]T
Yi
Xi Xj
求点P在i坐标系的坐标：
i
P [ xi
yi
zi ]T
Zj
Zi
zi
P
yj
zj
Yj
xi
Xi Xj
yi
Yi
xj
☺ 关于(Yi , X j )？
yi x j cos(Yi , X j ) yi x j cos(Yi , X j ) y j cos(Yi , Y j ) yi x j cos(Yi , X j ) y j cos(Yi , Y j ) z j cos(Yi , Z j )
cos(X ' X ) cos(Y ' X ) cos(Z ' X ) cos(X ' Y ) cos(Y ' Y ) cos(Z ' Y ) O' O' O' O' R [ X Y Z ] O O O O 33 cos(X ' Z ) cos(Y ' Z ) cos(Z ' Z ) 姿态矩阵R的特点：
适用的机器人类型举例（有平移关节）
Z1
X1
Y1 Z2
Y2
X2
Z3 Y3
X3
三坐标的直角坐标机器人
Z
Y
X
Zi
Zj
例: Oi
Yi Xi Xj
P
Oj
Yj
15 已知
j
P 5 6 7
T
求 P点在i坐标系中的坐标。
T T
解答： i P j P OjP
i
5 21 7
5 6 7 0 15 0
X
Z b
Z'
O' Y' t
O
n
X' Y
i
P R P
j i j
坐标系j相对 于i的方位
旋转矩阵
i到j的旋转矩阵=j相对i的姿态
旋转矩阵的性质：
j i
R R R
i j 1 i j
位置 j P ? 齐次变换矩阵 jiT 表示 位姿
T
绕X、Y、Z轴的旋转矩阵已经公式化，即此时的位姿公式化
►绕一个坐标轴旋转的转动矩阵
R是单位正交阵
O' O
R 1
刚体的位置和姿态：
' {O'} {O O R, 体j在参考系i中的 位置 姿态
Oj Oi
oj oi
P?
R?
Xj Zi
Oj
Yj
6
10
Xi
Oi
Yi
3-2 坐标变换（点的映射）
1、坐标平移（坐标系方位相同）
已知点P在j坐标系的坐标，平移j至i，求 点P在i坐标系的坐标。
X
n
Y' t
X' Y
刚体姿态 ：O ' O' O' R [ X O O OY
单位主矢量
cos(X ' X ) cos(Y ' X ) cos(Z ' X ) cos(X ' Y ) cos(Y ' Y ) cos(Z ' Y ) O' Z ] O 33 cos(X ' Z ) cos(Y ' Z ) cos(Z ' Z )
Zj
Zi
zi
P
zj
yj
Yj
xi
Xi
yi
Yi
xj
Xj
xi x j cos(X i , X j ) y j cos(X i , Y j ) z j cos(X i , Z j ) i P yi x j cos(Yi , X j ) y j cos(Yi , Y j ) z j cos(Yi , Z j ) z x cos(Z , X ) y cos(Z , Y ) z cos(Z , Z ) j i j j i j j i j i
cos(X i , X j ) cos(X i , Y j ) cos(X i , Z j ) x j i P cos(Yi , X j ) cos(Yi , Y j ) cos(Yi , Z j ) y j cos(Z , X ) cos(Z , Y ) cos(Z , Z ) z i j i j i j j
j i
R
j
P
►姿态矢量矩阵
cos(X ' X ) cos(Y ' X ) cos(Z ' X ) cos(X ' Y ) cos(Y ' Y ) cos(Z ' Y ) O' R O cos(X ' Z ) cos(Y ' Z ) cos(Z ' Z )
☺
9个元素，只有3个独立， 满足6个约束条件:
O' O O' O ' X .O OX O' O ' Y .O OY ' O' O O Z .O Z 1 ' O' O' O' O' X .O Y Y . Z O O O O Z .O X 0
' T R 1 O OR
☺
O' O
《机器人学》
第三章 机器人的位姿描述与坐标变换
战强
北京航空航天大学机器人研究所
第三章 机器人的位姿描述与坐标变换
Z Y X 机器人 的位姿
Zi Xi
连杆I的 位姿 Yi
Zw Xw
Yw
3-1 刚体位姿的数学描述
￥ ￥假设机器人的连杆和关节都是刚体￥ ￥
Z b Z' O' O
刚体位置 ：
x0 y o' P o 0 z0
Z Zi
j
Zi
Zj
Yj
q q
q
Yi Y j
Yi Xi Xi X
j
q
Xj
1）RX
Zi
Zj
2）RY
Yj
q
q
Xi Yi
Xj
3）RZ
Z
Zi
j
q q
Yj Yi
Xi
Xj
cos(X i , X j ) cos(X i , Y j ) cos(X i , Z j ) x j i P cos(Yi , X j ) cos(Yi , Y j ) cos(Yi , Z j ) y j cos(Z , X ) cos(Z , Y ) cos(Z , Z ) z i j i j i j j