复习引入：新授： 1. 向量的概念把既有大小、又有方向的量，叫做向量．记为向量a ,b ,c ,...等，在书写时，则在小写西文字符的上方加一个小箭头，例如a ,b ,c,...等．如果向量的方向限于平面内，则叫做平面向量．向量的大小是一个非负数量，叫做向量的模．记为|a |,|b |,|c |,...或|a |,|b |,|c|,...．特别地，若一个向量的模为单位1，则叫做单位向量，单位向量常记作e ．若一个向量的模为0，则叫做零向量，零向量总是记作0．零向量的长度为0，且规定零向量0的方向是可以任意确定的．为了更直观的反映确定向量的大小、方向，我们又把向量 表示成如图7-2(1)上所示的带箭头的短线段，箭头的方向表示 了它所表示的向量的方向，而线段的长度则是它所表示的向量 的模(即大小)．有时，为了突出短线段的起终点，会以字符标 出起终点(见图7-2(2))，此时可以以AB ,CD ,11C B 等表 示向量，而向量的模，也就对应地表示为|AB |,|CD |,|11C B |．由于我们所研究的向量只含有大小、方向两个要素，因此，即使当我们用带箭头的短线段表示向量时，与带箭头的短线段的起终点是没有关系的．为了突出这一点，有时又把向量记作自由向量．例1 设矩形ABCD 的边长为2和3，其所有的边及对角线，能构成多少向量？这些向量的模是多少？课内练习11. 一个正六边形的所有边及中心到各顶点的连线，能构成多少向量？试写出全部所构成的向量；若正六边形的边长为1，求全部向量的模，并判断哪些向量是单位向量？ca图7-2(1)b D C图7-2(2)BAB 1C 12. 向量的比较(1)向量相等任意两个数量a,b都可以比较，其关系不外乎相等(a=b)或不相等(a≠b)两种，只要根据两个数的大小就可以下结论．因为向量不但有大小，而且有方向，所以比较两个向量a,b的相等与否，不但要比较它们的大小，还要比较它们的方向．当且仅当a,b的大小相等、方向相同时，才能说a,b相等，并表示成a=b；否则a, b就不相等(a≠b)．在例1中的相等向量有且仅有AB=DC, BA=CD, BC=AD, CB=DA，更仔细地说，不相等的两个数量还可以有大于、小于的关系，那么向量之间是否也能有大于、小于关系呢？因为大小、方向的整体组成向量，方向是不能比较大小的，因此向量本身之间也不能比较大小，即两个向量不能谈及孰大孰小．当然，向量的模是数量，因此向量的模是可以比较大小的．即使两个向量a,b有相同的方向，且|a|>|b|，我们仍然只能说向量a的模大于向量b的模，而不能说向量a大于向量b．若a=b，则把表示a,b的箭头短线段的始点移到同一点时，它们必重合；反之把两条箭头短线段的始点移到同一点时重合，那么这两条短线段表示相等的向量或同一向量．例2 物体从点A出发位移，第一次沿水平线位移到B，位移量为3；然后继续沿铅直方向向下位移到C，位移量为4．(1)试以向量表示这二次位移，并在平面上作出这两个位移向量；(2)在A的铅直下方4处标注点D，能否说第二次位移的位移向量是AD？为什么？(2)相反向量对数量，若两个数a,b的绝对值相等但符号相反，则把a,b叫做一对相反数．对向量，若两个向量a,b的长度相等但方向相反，则这一对向量叫做相反向量，记作a=-b或-a=b．对调一个向量的始点和终点，即得到了它的相反向量，即AB=-BA．例如在例1所有的向量中，共有如下六对相反向量：AB=-BA, BC=-CB, DC=-CD, DA=-AD, AC=-,CA, BD=-DB．例3 对例2的问题，若记第一次位移向量为a，第二次位移向量为b，现继续作第三、四次位移，第三次位移是从C出发向左移动3到D，第四此则从D返回A．试以a,b表示第三、(3)平行向量若两个向量a,b的方向相同或相反，则把这一对向量叫做平行向量，也可以说向量a平行于向量b或向量b平行于向量a．规定零向量平行于任意向量.根据平行向量的方向特征，若向量a位于直线l上(即a的始终点都在l上)，则只要平移a 的平行向量b，b也必定能位于直线l上，因此又把平行向量叫做共线向量．例4 找出一个梯形各边构成的全部向量及这些向量之间存在的关系．课内练习21. 课内练习1的所有向量中，有哪些是相等向量？哪些是相反向量？2. 作出一个梯形及其中线，可以构成多少向量？这些向量之间存在哪些关系？3. 以F,F1都表,示方向向上、大小为10N的力，考察把F作用在物体W的左上角和F1作用在物体W的右上角两种情况(如附图)，物体受力后的移动情况肯定不同，这与F=F1的结论矛盾吗？试作出合理的解释．第3题图F1新授：(1)向量的加法运算 向量加法运算的法则．向量a 加向量b 的结果a +b 是按照下列法则生成的一个向量c ：把b 的始点移到a 的终点后、从a 的始点连到b 的终点．记作 c =a +b ．与数量相加一样，把a 叫做被加向量，b 叫做加向量，c 叫做和向量．在a ,b 不平行的情况下，c 是重合a ,b 的始 点、以a ,b 为邻边组成的平行四边形的对角线向量， 其指向与a ,b 同侧(平行四边形法则，见图9-9(1))； 也是是以a 的终点作为b 的始点所组成的三角形的 第三边向量(三角形法则，见图9-9(2))．对于三角形 法则我们可以归纳为：首尾相连首尾连． 例4 用两种方法作出图9-10(1)中向量a ,b 的和向量c ．解 (1)按平行四边形法则，把的始 点移到同一点构成一个以为相邻边的平 行四边形，对角线向量即为和向量c ． (见图9-10(2))(2)移b 的始点到a 的终点，从a 的始点连向b 的终点的向量即为和向量c (见图9-10(3))． 例5 (1)若b =-a ，求c =a +b ； (2)若a ,b 平行，求c =a +b ． 例6 已知向量a ,b , c , d 如图9- 12，求f =a +b +c +d ．解 逐次应用向量加法的法则—— 移加向量的始点到被加向量的终点，从图9-9(1)图9-9(2)图9-10(3)ab• bc图9-10(2)ab图9-10(1)图9-12abdc abcdf被加向量的始点连向加向量的终点，得 到和向量f 如图9-12所示，其中虚线表 示的向量，从左向右依次是a +b , a +b +c ． 课内练习31. 请举一个向量相加的实际问题．2. 向量相加的平行四边形法则和三角形法则能适用于怎样的情况？3. a +(-a )=0，因此|a |+|-a |=0，这个结论正确吗？一般地，c =a +b ，因此|c |=|a |+|b |，这个结论正确吗？由此可以对向量相加与向量的模相加作出怎样的结论？4. 矩形ABCD 如图，试求AB +BC ,BC +AB ,BA +BC ,BA +CB 得到的和向量之间有哪些关系？ 5. 矩形ABCD 如第4题，求(AB +BC )+CD ,AB +(BC +CD ),AB +BC +DC ,BA +BC +DA ． 得到的和向量之间有哪些关系？数量加法运算满足交换律(a +b =b +a )、结合律(a +b +c =(a +b )+c =a +(b +c ))，向量的加法运算同样满足交换律和结合律a +b =b +a ， a +b +c =(a +b )+c =a +(b +c )， (2)向量的减法运算如同数量a ,b 相减a -b ，是被加数a 与加数b 的相反数-b 相加一样，所谓向量a ,b 相减a -b ，实际上是向量a 与向量b 的相反向量-b 相加，即a +(-b )．应用向量加法法则，可以得出向量减法运算的法则．图9-13(1)中是已知向量a ,b ；图9-13(2) 显示了a +(-b )；图9-13(2)显示了 a -b 的直接运算法则，法则的文字 表述是：a -b 的结果是一个向量c ，把a ,b 的始点移到同一点，从b 的终点连向a 的终点的向量就是c (三角形法则) 对于三角形法则我们可以归纳为：首同尾连，剪头指向被减．第4题图A BC D图9-13(1)ab图9-13(2)-ba-b ac图9-13(3)记作c=a-b．a叫做被减向量，b叫做减向量，c叫做差向量．例7 在∆ABC中，把每条边都作为从一个顶点到另一个顶点的向量，并把这些向量叫做边向量．为了使CA是另两条边向量的差，另两条边向量应是怎样的？例8 在∆ABC中，若边向量为AB,AC,BC，求(1)a=AB+BC+AC；(2)求b=AB-BC-AC．课内练习41. 在∆ABC中，把每条边都作为从一个顶点到另一个顶点的向量，并把这些向量叫做边向量．为了使AB是另两条边向量的差，另两条边向量应是怎样的？2. 在矩形ABCD中的边向量为AB,BC,CD，求(1)a=AB-BC；(2)b=BC-AB；(3)c=CD-BC；(4)d=AB-BC- CD．因为向量相减是被减向量与减向量的负向量相加，而向量相加运算满足交换律、结合律，这样向量的减法运算所能满足的运算律也就唾手可得了，例如a-b=-b+a，a-b-c=a-c-b=a-(b+c)．(3)向量的数乘运算在数量运算中，若a=2，b是a的两倍，则b=2a．在例8向量运算中，我们两次都遇到a=AC+AC,b=CB+CB这样两个相同的向量相加问题，能不能也能简写成a=2AC, b=2CB呢？这完全取决与如何规定2AC,2CB的含义，若规定它们的含义确实与AC+AC,CB+CB相同，那么这种简写就完全合法且合理了．为此我们作如下的定义：一个实数α乘以向量a的结果是一个平行于a的向量b，b的模是a的模|α|倍，即|b|=|α|⋅|a|；b的方向当α>0时与a的方向相同，当α<0时与a的方向相反．记作b=α⋅a或b=αa，把向量的这种运算叫做向量的数乘运算．根据向量数乘运算的这种规定，立即可知-a=-1⋅a，a+a=2a，-a-a=-2a．把数相加和向量相加所满足的运算律结合起来，立即可得向量数乘运算满足下述两个分配律：(α+β)a=αa+βa，α (a+b)=αa+αb，其中α,β是任意实数，a,b是任意向量．根据向量的数乘运算,我们有：如果有一个实数α，使b=α⋅a（a≠0），则a与b是平行向量；反之，如果a与b是平行向量，则有且只有一个实数α，使b=α⋅a（a≠0）．例8 设c=-2a, d=-3a, f=-2b, g=a -2b，求h=2a+3f-3d+4g+2b-2c．解h=2a+3f-3d+4g+2b-2c =2a+3(-2b)-3(-3a)+4(a -2b)+2b-2(-2a)=2a-6b+9a+4a -8b+2b+4a=(2+9+4+4)a-(6+8-2)b=19a-12b．例9 ∆ABC的AC边长为a，现把AB,BC边各延长原来的0.8倍成为∆A1BC1，求边A1C1的长(见图9-15)．课内练习51. 已知向量a，作出向量-2a, 3a．2. 已知向量a的模为s，求向量b=0.1a, c=-3a, d=2.5a的模．3. 设c=-a, d=-3b, f=2b, g=-2a -b，求h=2a-3c +3f-3d-3g-2b．4. 甲、乙两人从同一点出发，取不同方向前行．当甲行进2km、乙行进6km时两人相距4km，问当甲、乙继续按原方向分别继续行进1.5km、4.5km时，两人相距多少？复习引入：新授：1．平面向量的直角坐标 (1)坐标基底向量设在平面上已经建立了一个直角坐标系{xOy }．方向为x 轴正向的单位向量i 、方向为y 轴正向的单位向量j 叫做该坐标系的坐标基底向量(见图9-16)．(2)平面向量的直角坐标在坐标平面上给定了向量 a ，平移其始点到原点后(见图7-17)，设其终点A 的坐标为(x ,y )．把(x ,y )叫做向量a 的坐标，记作a =OA =(x ,y )．若向量a 的坐标为(x ,y )，则其模可以用坐标表示为 |a |=22y x + (7-2-1) 坐标基底向量也有其坐标，分别是i =(1,0), j =(0,1)．以原点O 为始点、点A 在x ,y 轴上的投影为终点，是两个分别平行于i , j 的向量，根据向量加法定义，有a =x i +y j ， (7-2-2) 即有了向量的坐标，我们可以把它分解成坐标基底向量的组合． 因为坐标基底向量也是自由的，你也可以不平移a ，直接在a 上作分解(见图7-17)．例如从图7-18，我们就可以直接看出AB =i -2j =(1,-2)．课内练习11. 写出图9-18中向量OP ,EF ,CD 的坐标，并求它们的模．2. 向量关系的坐标表示向量之间有相等、相反、平行(共线)等关系．当知道图7-17图9-18Ojyi x图7-16了向量的坐标后，这些共线的判定就变得十分简单． (1)相等：若a =(a 1,b 1),b =(a 2,b 2)，则 a =b ⇔ a 1=a 2, b 1=b 2．即两个相等向量的坐标相等，坐标相等的向量相等． (2)相反：若a =(a 1,b 1),b =(a 2,b 2)，则 a =-b ⇔ a 1=-a 2, b 1=-b 2．即两个相凡向量的坐标对应地互为相反数；坐标对应互为相反数的向量相反．(3)平行(共线)：向量a =(a 1,b 1),b =(a 2,b 2)平行 ⇔ 移a ,b 的始点到原点后，它们的终点A ,B 与原点共线 ⇔ ∆OA 1A ∽∆OB 1B (见图7-19) ⇔ 2121b b a a =．所以两个向量的坐标对应成比例，则它们平行；平行向量的坐标必定对应成比例． 例1 已知向量a =(2,-1)，当x 为多少时，向量b =(x ,2)与a 平行？ 解 a //b ⇔ 212-=x ⇔ x =-4．所以当x =-4时a //b ．课内练习21. 根据向量坐标，判断下列向量中存在的共线：a =(2,-1),b =(-2, 1),c =(-6, 3),d =(42,-21),e =(2,-1),f =(8,-4),g =(-2,-1)． 2. 已知向量a =(9,-4)，当y 为多少时，向量b =(-12,y )与a 平行？3．平面向量运算的直角坐标表示把向量数乘、加减法的运算法则应用于向量对坐标基底的分解式(7-2-2)，即可得向量运算的坐标表示．(1)数乘：设a =(x ,y )，即a =x i +y j ，b =λa ，则 b =λa =λ(x i +y j )=λx i +λy j =(λx ,λy )，即 λa =λ(x ,y )=(λx ,λy )． (7-2-3) 即向量a 数乘λ后所得向量的坐标，是a 的纵、横坐标的λ倍． (2)加减法：设a =(a 1,b 1)，b =(a 2,b 2)，则图7-19a=a1i+b1j，b=a2i+b2j，a+b=(a1i+b1j)+(a2i+b2j)=(a1+a2)i +(b1+b2)j，即a+b=(a1+a2, b1+b2)．(7-2-4) 同理也有a-b=(a1-a2, b1-b2)．(7-2-5) 所以向量a, b的和、差向量的坐标，等于a, b的坐标对应的和、差．(3)给定始终点的向量的坐标向量a=AB．若已知点A,B在坐标A(x 1,y1),B(x2,y2)(见图7-20)，则OA=(x1, y1),OB=(x2, y2)，AB=OB-OA=(x2-x1,y2-y1)．(7-2-6) 所以给定了始终点坐标的向量的坐标，等于终点坐标对应减去始点坐标．例2已知a=(1,-2), b=(2,3)，求a+b,a-b, 2a-3b．例3 已知A(1,2), B(-2,1)，求AB,BA．解应用公式(10-2-6)，AB=(-2-1,1-2)=(-3,-1)；BA=(1-(-2),2-1)=(3,1)．例4已知平行四边形ABCD的顶点坐标A(1,1), B(2,3),C(-1,4)(见图7-21)，求顶点D点坐标．例5 已知A(2,3),B(-2,5),且AB=2AC，求C点的坐标．例6 某人第一天按图9-23所示方向、以速度5km/h步行3小时到达A处；第二天又按图9-23所示方向、以速度15km/h骑了3小时自行车到达B处．问B离此人出发点的直线距离是多少？课内练习21. 已知a=(-1,2),b=(2,-2),求a+b,a-b,-a+2b．2.已知a=(-2+x,4),b=(-3,-1-y),且a=b,求x,y．3.根据下列条件求AB与BA的坐标：x图7-20yOABxBODCAy图7-21(1)A(-1,0), B(2,-1)；(2)A(-2,1), B(3,1)；(3)A(2,1), B(0,-2)；(4)A(-2,4), B(-3,8)．4. 已知平行四边形ABCD的A(1,0),B(2,5),C(-1,1),求D点坐标．5.已知A(6,-3),B(3,-5),且AB= -2AC，求C点的坐标．复习引入：新授：1. 向量的数量积(1)平面向量所成的角给定两个非零平面向量a ,b ，移它们的始点到同一点，以表示向量的线段所在直线为始终边的角，叫做向量a ,b 所成的角，记作(a ^b )(见图7-25)；为了使两个非零向量所成的角唯一，规定0≤(a ^b )≤π．零向量0与任何向量所成的角认为可以任意．为了方便有时也把(a ^b )叫做向量之间的夹角．从向量所成角定义，立即可知(a ^b )=0 ⇔ a //b (即a ,b 共线)；(a ^b )= π ⇔ a =-b (即a ,b 互为相反向量)． 特别地，当(a ^b )=2π，则我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b ． (2)向量的数量积已知向量a ,b ，a ,b 的数量积是一个以下式定义的数量： a ⋅b =|a ||b |cos(a ^b )其中(a ^b )表示向量a ,b 之间所成的角．向量作为既有方向、又有大小的量，与数量有着区别．这种区别在运算方面的体现，是向量的有一些运算在数量运算中是找不到与之对应的类别的，数量积就属于这种运算．这是因为向量的数量积，反映的是一个向量与它在另一个向量方向上投影的积．例1 求下列向量的数量积：(1)|a |=5,|b |=4, (a ^b )=23π，求a ⋅b ； (2)a =(3,4),|b |=21, (a ^b )=2π，求a ⋅b ； (3)a =(3,4), b =(-3,-4)，求a ⋅b ； (4)a =(1,3)，求a ⋅a ； (5)a =0，b =(x,y)，求a ⋅b ． 课内练习11. 求下列向量的数量积：(1)|a |=2,|b |=8, (a ^b )=4π，求a ⋅b ； (2)a =(1,3),|b |=31, (b ^a )=2π，求a ⋅b ； (3)a =(-3,-2), b =(3,2)，求a ⋅b ； (4)a =(5,3)，求a ⋅a ； (5)a =(10,y)，b =0，求a ⋅b ．(3)向量数量积的基本运算法则根据向量数量积的定义，立即可知成立如下运算法则：①交换律：a ⋅b =b ⋅a ；图7-25②数乘分配率：(λa )⋅b =a ⋅(λb )=λ(a ⋅b )，(任意λ∈R )；③分配率：(a +b )⋅c =a ⋅c +b ⋅c ．例2 设AB =(3,-1), |CD |=2, θ=(AB ^CD )=3π，求 (1)(2AB )⋅(3CD )；(2)(AB +2CD )⋅AB ；(3)(-4AB )⋅(AB +2CD )．课内练习21．已知|a |=4, |b |=3，a 与b 的夹角为65π，求(2a -b )⋅(a +2b )． 2．已知A (-1,2),B (1,4)，|CD |=4, θ=(AB ^CD )=3π，求 (1)AB ⋅(3CD )；(2)(2AB +CD )⋅AB ；(3)AB ⋅(-AB +2CD )．(4)向量数量积的基本结论从向量数量积的定义，可以得到一些经常用到的基本结论，这些结论是必须熟记的． ①a ⊥b ⇔ a ⋅b =0；②当a //b 且同向时，a ⋅b =|a ||b |；当a //b 且方向相反时，a ⋅b =-|a ||b |；③a ⋅a =|a |2，所以|a ；④cos(a ^b )=||||b a b a ⋅⋅． (7-3-2) 最后一个公式(9-3-2)对求向量所成角十分有用．例3 已知|a |=4, |b |=5，分别在下列条件下求a ⋅b ： (1)a//b ； (2)a ⊥b ．例4 已知|a |=2, |b |=4，a b =-6，求(a ^b )的余弦值．课内练习31. 已知a //b ，|a |=1, |b |＝2，求 a ⋅b ．2. 下述四个命题中哪些是正确的，哪些是错误的？并说明理由：(1)0⋅a =0；(2)|a |=a ⋅a ；(3)a ⋅b =|a ||b |；(4)a ⋅b =|a ⋅b |；(5)|a ⋅b |=|a ||b ||cos(a ^b )|；(6)(a ⋅b )(a ⋅b )=(a ⋅a )(b ⋅b )=|a |2|b |2；(7)a //b ⇔ 存在实数λ，使a ⋅b =λ|a |2；(8)(a +b )⋅(a -b )=|a |2-|b |2；(9)(a +b )⋅(a -b )=a 2-b 2．3. 已知|a |=1, |b |=4, a ⋅b =，求(a ^b )．2．平面向量数量积的坐标表示(1)平面向量数量积的坐标表示向量数量积(9-3-1)是不依赖于坐标系的几何定义，如果在坐标平面上讨论，把向量数字化(即求出向量的坐标)，那末就能以坐标计算来表示向量的数量积．首先考察坐标基底向量i , j 的数量积，有i ⋅i =1；i ⋅j =j ⋅i =0；j ⋅j =1． (4)现设向量 a , b 的坐标为a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)，即a =x 1i +y 1j ,b =x 2i +y 2j ，则 a ·b =(x 1i +y 1j )·( x 2i +y 2j )=x 1x 2i ·i +y 1y 2j ·j +x 1y 2i ·j +y 1x 2j ·i ，即 a ·b =x 1x 2+y 1y 2． (7-3-3) 这就是说，两个向量的数量积等于它们坐标的的对应乘积的和．以坐标表示向量数量积的基本公式③，能得到我们熟知的一些公式：设a =(x ,y )，则a ·a =|a |2=x 2+y 2，即向量模公式 |a |=22y x +；特别地当a =AB ，且起终点坐标A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)为已知时，由AB =(x 2-x 1,y 2-y 1)，即得 |a |=|AB |=212212)()(y y x x -+-，此即为两点间的距离．例5 求下列向量的数量积：(1)a =(2, -1), b =(3, 1)，求a ·b ；(2)c =(-1, -1), d =(1, -1)，求c ·d ．例6 已知a =(1, 2), b =(-2, 3)，求(a +b )⋅(a -b ), (a - b )⋅(2a +b )．例7 (1)已知a =(-2, 6), a ·b =-6，设b =(6, y )，求y ；(2)已知a =(2,2), (a ^b )=4π, |b |=2，求b 的坐标． 课内练习41. 求下列向量的数量积：(1)a =(-2, 1), b =(3, -1)，求a ·b ；(2)c =(4, -1), d =(2, -1)，求c ·d ．2. 已知a =(2, -1), b =(-1, 5)，求(2a +b )⋅(2a -b ), (a -2b )⋅(2a +b )．3. 设a =(x , 6), a ·b =-6, b =(2, -1)，求x ．4. 已知|a |=1, (a ^b )=43π, b =(-1,2)，求a 的坐标．(2)平面向量所成角的计算公式把(9-3-3)向量模计算公式代入已有的向量所成角计算公式(7-3-2)，得cos(a ^b )=222221212121y x y x y y x x +⋅++． (7-3-4)直线间夹角或向量间所成角的计算，一直是令人头痛的事．(7-3-4)表明，只要知道向量的坐标，就能计算出它们之间的所成角，是今后计算的主要手段．特别地，从向量数量积基本结论①和(7-3-4)，还能得到a ⊥b ⇔ x 1x 2+y 1y 2=0，(7-3-5) 这也是用来判定向量垂直的主要手段之一．例8 求向量a 与b 所成角：(1)a =(2,1) , b =(3,-1)；(2)a =(2,-1) , b =(-3,-1)．例9 已知点A (1,2)，B (2,3)，C (-2,5) ．求证∠BAC =2π．课内练习51．求求向量a 与b 所成角：(1)a =(-1, 2), b =(2, 3)；(2)a =(-1,-2), b =(2, -5)．2. 证明以A 、B 、C 为顶点的三角形是直角三角形：(1) A (-1, - 4), B (5, 2), C (3, 4)；(2)A (-2, -3), B (19, 4), C (-1,-6)．3. 已知a =(4, 2), b =(-3,-3)，当k 为何值时，a +b 与k a +2b 垂直？4. 已知点A (0,1), B (5,2)，求点P (x ,y )，使PA ⊥PB 且PA =PB ．。