−∞
+∞
例3 矿工困在矿井里，他的面前有三扇门，走第一 扇门3个小时后到达安全区；第二扇门走5个小时又 ∑ E ( X | Y = y j ) p (Y = 回到原处；第三扇门走7个小时也回到原处。y j ) 离散 j E( X ) = +∞ 假定矿工总是等可能地在三个门中选择一个，试求他 E ( X | Y = y ) pY ( y )dy 连续 ∫−∞ 的平均要用多少时间到达安全区。
−∞
p ( x, y ) = p ( x | y ) pY ( y ) p X ( x) = ∫ p ( x | y ) pY ( y )dy
−∞ +∞
二、条件数学期望
∑ xi P ( X = xi | Y = y ) 离散 i E ( X | Y = y) = +∞ ∫ xp( x | y )dx 连续 −∞
例2 设（X,Y）服从G={(x,y)|x2+y2≤1}上的均匀分布， 试求给定Y=y的条件下X的条件密度函数p(x|y) • 解：
1 p ( x, y ) = π 0 x2 + y2 ≤ 1 其他
2 1− y2 pY ( y ) = π • Y的边际密度函数为 0 • 当-1<y<1时，有 1 1 p( x, y) = π = p( x | y) = 2 2 2 1− y2 pY ( y) 1− y
P ( X = 1 | Y = 3) =
X 1 2 Pj
Y 1 0.1 0.2
0.3
2 0.3 0.05
0.35
3 0.2 0.15
0.35
Pi
0.6 0.4
P ( X = 1, Y = 3) 0.2 4 = = 0.35 7 P (Y = 3)
练习:198页 7、8
P ( X = 2, Y = 3) 0.15 3 P( X = 2 | Y = 3) = = = P(Y = 3) 0.35 7
p i| j = P ( X = x i | Y = y j ) =
• 给定X= xi 条件下的X的条件分布列
p j|i = P(Y = y j | X = xi ) =
P ( X = xi , Y = y j ) P ( X = xi )
=
pij pi•
例1 设二维随机变量（X,Y）的联合分布列为 • 求P(X|Y=3) • 求P(X|Y=2) 求P(X|Y=1) • 求P(Y|X=1) • 求P(Y|X=2)
2、连续随机变量的条件分布
• 定义 p( x, y) p(x | y) = • 对一切使pY(y)>0的 pY ( y) y，给定Y= y 条件下 X的条件密度函数和 P( X ≤ x | Y = y) = 分布函数
p(u, y) ∫−∞ pY ( y) du
x
p ( x, y ) • 对一切使pX(x)>0的 p( y | x) = x，给定X= x 条件下 p X ( x) Y的条件密度函数和 y p ( x, v ) 分布函数 P(Y ≤ y | X = x) = ∫ dv −∞ p ( x) X
注意： 1、E(X|Y=y) 是y的函数 记g(y)= E(X|Y=y) 2、与E(X)含义的不同 3、条件期望是条件分布的期望，因此具有期望的 一切性质
重期望公式
• 定理 设（X,Y）是二维随机变量，且E(X)存在，则 E(X)= E{E(X|Y)} 证明
∑ E ( X | Y = y j ) p (Y = y j ) 离散 j E( X ) = +∞ E ( X | Y = y ) p Y ( y ) dy 连续 ∫− ∞
• 无法列出X的分布列，无法求出E(X) • 新思路：设Y=i:第一次所选择的门 i=1,2,3 • E(X)=E{E(X|Y)} P(Y=1)= P(Y=2)= P(Y=3)=1/3 • E(X|Y=1)=3 E(X|Y=2)=5+ E(X) E(X|Y=3)=7+ E(X)
• E(X)=1/3*[3+5+E(X)+7+E(X)]=1/3*(15+2E(X)) • E(X)=15
条件分布与条件期望
一、条件分布
• 一条裤子有哪些要素组成 呢？ • 中国女性的裤长是多少呢？ • 身高为1.6m的中国女性， 裤长应该是多少呢？
二维随机变量（X,Y），在给定条件Y=y时，求X 的分布【X的条件分布】
1、离散随机变量的条件分布
• 定义 • 给定Y=
yj 条件下的X的条件分布列
P ( X = xi , Y = y j ) P(Y = y j ) = pij p• j
−1 ≤ y ≤ 1 其他
当y=0时可得 ？ 练习：197页2
π
当 − 1− y2 ≤ x ≤ 1− y2
3、连续场合的全概率公式
p ( x, y ) p ( y | x) = p X ( x)
p ( x, y ) = p ( y | x ) p X ( x )
求Y的边际密度函数
+∞
同理
pY ( y ) = ∫ p ( y | x) p X ( x)dx
+∞ +∞ −∞ −∞
E (X) = ∫∫ xp(x, y)dxdy = ∫
+∞ +∞
∫
xp( x | y ) pY ( y )dxdy
+∞
= ∫ {∫ xp( x | y )dx} pY ( y )dy = ∫ E ( X | Y = y ) pY ( y )dy
−∞ −∞ −∞
= ∫ g ( y ) pY ( y )dy = E ( g (Y )) = E ( E ( X | Y ))