F ( x , y ) y d FY ( y ) dy
亦即 FX |Y
( x | y)
x
p( u, y )du pY ( y )
， 或写成 FX |Y ( x | y )
x
p( u, y ) du pY ( y )
类似地可以定义 FX |Y ( y | x )和 FY | X ( y | x )
由条件概率密度定义知, p( x , y ) pY ( y ) p X |Y ( x | y ) p X ( x ) pY | X ( y | x ), 故
pX ( x ) pY ( y ) pX |Y ( x | y )dy.

pY ( y ) pX ( x ) pY | X ( y | x )dx.
2
2,),求
( x 1 )( y 2 )
1 2

( y 2 )2
2
2
]}
由以前的例子知道
pX ( x )
1 e 2 1
x ， y
( x 1 ) 2 2 1 2
所以X=x条件下Y的条件概率密度为
pY | X ( y | x )
Y
Y=0
X
Y=3/2 Y=2
X1= -1 1/12 2/12 3/12
X2=1 0 1/12 1/12
X3=2 3/12 1/12 0
求条件分布律P{X=xi|Y=2}.
解：X与Y的边缘分布如表：
X Y Y=0
Y=3/2 Y=2 pi .
X1=-1 1/12 2/12 3/12 6/12
X2=1 0 1/12 1/12 2/12
例: 设数X在区间(0,1)上随机地取值,当观察到X=x(0<x<1)时, 数Y在区间(x,1)上随机取值.求Y的概率密度pY(y).
解: 按题意X具有概率密度
1 pX ( x ) 0 0 x 1 其它
对于任意的x(0<x<1),在X=x的条件下,Y的条件概率密度
1 pY | X ( y | x ) 1 x 0 0 x y1 其它
y
p( x, v ) dv pX ( x )
3.条件概率密度 定义 p X |Y ( x | y ) p( x , y )
pY ( y )
称为在Y=y条件下X的条件概率密度，且满足概率密度 的两个性质。
p( x , y ) 同理， pY | X ( y | x ) pX ( x )
称为在X=x条件下X的条件概率密度，且满足概率密度 的两个性质。
X3=2 3/12 1/12 0 2/12
p.j 4/12 4/12 4/12 4/12
P{X=-1|Y=2}=p13/p.3=3/4； P{X=1|Y=2}=p /p =1/4； 23 .3 P{X=2|Y=2}=p33/p.3=0； 又如：P{X=1|Y=0}=p21/p.1=0等；
二、连续型随机变量条件分布的定义
的概率,由条件概率公式,
P{ X x i | Y y j } P{ X x i , Y y j } P{Y y j } pij p j , i 1,2,.
显然，上述条件概率具有分布律的特性 (1).P{X=xi|Y=yj}≥0；
(2). P{ X xi | Y y j }
i 1 i 1
pij p j

p j p j
1
1．定义 设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定 的j，若P{Y=yj}>0，则称
P{ X xi | Y y j } P{ X xi , Y y j } P{Y y j } pij p j , i 1,2 .
于是得关于Y的边缘概率密度为
y 1 dx ln(1 y ) pY ( y ) f ( x, y )dx 0 1 x 0 其它
0 y1



pX ( x ) pY | X ( y | x )dx
三、连续场合的全概率公式和贝叶斯公式

e

( x )2 ( y x )2 2 2 2 1 2 2
按x 配方积分
dx .


1 2 ( 1 2 )
2 2
e

( y )2
2 2 2 ( 1 2 )
.
2 ). 即 Y仍服从正态分布 N ( , 1 2 2
二、条件数学期望
1 定义: X在Y=y的条件下的条件分布的数学期望(若存在)称 为X在Y=y的条件下的条件期望.
上式给出了在任意y-ε ＜Y≤y+ε 下X的条件分布 函数,现在我们引入以下的定义.
1.条件分布函数的定义：给定y,设对于任意实数x,若极 限
0
lim P{ X x | y Y y }
P{ X x , y Y y } lim 0 P{ y Y y }
设(X,Y)是二维连续型随机变量,这时由于对任意x,y有 P{X=x}=0 , P{Y=y}=0 ,因此不能直接用条件概率公式引 入条件分布函数P{X≤x|Y＝y}.下面我们用极限的方法来 处理. 给定y,设对于任意固定的正数ε ,P{y-ε ＜Y≤y+ε }>0 , 于是对于任意x有
P{ X x , y Y y } P{ X x | y Y y } P{ y Y y }
2.重期望公式
定理: 设(X,Y)为二维随机向量, 且E(X)存在, 则
E ( X ) E ( E ( X | Y )).
证明:略.
特殊的情形
(1) Y离散情形下
E ( X ) Eg(Y ) E ( X | Y y j ) P (Y y j ).
j
给定Y=y时算X的 条件期望,然后按 Y=y的可能性大小 进行加权平均
1 2 2
e

( y x )2
2 2 2
故
pY ( y ) pX ( x ) pY | X ( y | x )dx.





1 e 2 1
( x )2
2 2 1

1 2 2
e

( y x )2
2 2 2
dx .

1 2 1 2


当 x [20, 30] 时,
1 E (T | x ) 0.03 y dy 0.45 10 10
具体定义式: (1) 当(X,Y)为离散随机向量时,
E ( X | Y y ) xi P ( X xi | Y y ),
i
(2) 当(X,Y)为连续随机向量时,
E ( X | Y y ) xpX |Y ( x | y )dx,

同样地可定义Y在X= x的条件下的条件期望.
为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律。
同理，对于固定的i，若P{X=xi}>0，则称
P{Y y j | X xi } P{ X x i , Y y j } P{ X x i } pij pi , j 1,2,.
为在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律。 2. 条件分布函数
p X ( x ) pY | X ( y | x )
全概率公式的 密度函数形式
代入条件概率密度定义式,即得
p X |Y ( x | y ) pY | X ( y | x )


. .

p X ( x ) pY | X ( y | x )dx pY ( y ) p X |Y ( x | y ) pY ( y ) p X |Y ( x | y )dy
p( x , y ) pX ( x )
2 2 (y x 2 1 ) 1 1 ] e xp[ 2 2 2 2 2 2 1 2 1


这正是正态分布
N (2
2 x 1 , 2 2 1 2 ) 1
(2) Y连续情形下
E ( X ) Eg(Y )



E ( X | Y y ) pY ( y ).
条件期望的应用 例 设在一个指定的时间内供给一水电公司的电能ξ是一个随机 变量,且 ξ 在[10, 30]上服从均匀分布.该公司对于电能的需 要量η也是一个随机变量,且 η 在[10, 20] 上服从均匀分布. 对于所供给的电能,公司取得每千瓦0.03元利润,如果需要量 超过所能供给的电能,公司就从另外的来源取得附加的电能 加以补充,并取得每千瓦0.01元利润,问在所考虑的指定时间 内,公司所获得的利润的期望值是多少? 解:设 T 是公司所获得的利润,则
可以看出,X在Y=y的条件下的条件期望是y的函数,它是一个 变量. 这不同于无条件期望E(X).
E( X | Y y) E( X | Y )
Y取确定值y的条件下
Y取值随机的条件下
若记 g( y ) E ( X | Y y ), 则 g(Y ) E ( X | Y ) 作为随机变量Y 的函数, 我们可称之为在给定Y的条件下X的条件期望, 它是 随机变量.
FX |Y ( x | y j ) P{ X x | Y y j }

xi x
p
p ij
j

xi x
p
p j
xi x
P{ X x
i
|Y yj}
ij
同理：
FY | X ( y | x i )
yjy
p