导数及其应用专题训练(时间:100分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.若函数y=e x +mx 有极值,则实数m 的取值范围是 ( )A .m>0B .m<0C .m>1D .m<1 2.函数f (x )=x 2+x-ln x 的零点的个数是( ) A .0 B .1 C .2 D .3 3. 函数f (x )=x 2-1e x的图象大致为( )4. 已知函数f (x )=a x+x 2-x ln a ,对任意的x 1,x 2∈[0,1],不等式|f (x 1)-f (x 2)|≤a-2恒成立,则a 的取值范围为( ) A.[e 2,+∞) B.[e,+∞) C.[2,e] D.[e,e 2] 5. 已知定义在R 上的函数f (x ),其导函数为f'(x ),若f'(x )-f (x )<-3,f (0)=4,则不等式f (x )>e x +3的解集是( ) A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(0,+∞) D.(-∞,0)6. 已知函数f (x )在R 上满足f (x )=2f (2-x )-x 2+8x-8,则曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程是( ) A.y=-2x+3 B.y=x C.y=3x-2 D.y=2x-17. 若正项递增等比数列{a n }满足1+(a 2-a 4)+λ(a 3-a 5)=0(λ∈R),则a 6+λa 7的最 小值为( ) A.-2 B.-4 C.2 D.48. 已知函数f (x )为R 内的奇函数,且当x ≥0时,f (x )=-e x+1-m cos x ,记a=-2f (-2),b=-f (-1),c=3f (3),则a ,b ,c 之间的大小关系是( ) A.b<a<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b9. 已知函数f (x )=13x 3-a 2x ,若对于任意的x 1,x 2∈[0,1],都有|f (x 1)-f (x 2)|≤1成立,则实数a 的取值范围是( ) A.[-2√33,2√33] B.(-2√33,2√33) C.[-2√33,0)∪(0,2√33] D.(-2√33,0)∪(0,2√33) 10. 设函数f (x )=min {xlnx ,x 2e x }(min{a ,b }表示a ,b 中的较小者),则函数f (x )的最大值为( ) A.32ln 2B.2ln 2C.1eD.4e 211.(2018山东潍坊一模,12)函数y=f (x+1)的图象关于直线x=-1对称,且y=f (x )在[0,+∞)上单调递减.若x ∈[1,3]时,不等式f (2mx-ln x-3)≥2f (3)-f (ln x+3-2mx )恒成立,则实数m 的取值范围为( ) A.[12e ,ln6+66]B.[12e ,ln3+66] C.[1e ,ln6+66]D.[1e ,ln3+66]12. 已知函数f (x )=x 2-2x cos x ,则下列关于f (x )的表述正确的是( ) A.f (x )的图象关于y 轴对称 B.f (x )的最小值为-1 C.f (x )有4个零点 D.f (x )有无数个极值点 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知函数f (x )=-12x 2+4x-3ln x 在[t ,t+1]上不单调,则t 的取值范围是 .14. 曲线f (x )=x ln x 在点P (1,0)处的切线l 与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是 .15. 已知函数f (x )=a ln(x+1)-x 2,在区间(0,1)内任取两个实数p ,q ,且p<q ,若不等式f (p+1)-f (q+1)p -q>1恒成立,则实数a 的取值范围是 .16.已知f (x )=x+x ln x ,若k (x-2)<f (x )对任意x>2恒成立,则整数k 的最大值为 .三、解答题(本大题共5小题,共70分)17.(14分) 设f (x )=ln x ,g (x )=12x|x|.(1)求g (x )在x=-1处的切线方程;(2)令F (x )=x ·f (x )-g (x ),求F (x )的单调区间;(3)若任意x 1,x 2∈[1,+∞)且x 1>x 2,都有m [g (x 1)-g (x 2)]>x 1f (x 1)-x 2f (x 2)恒成立,求实数m 的取值范围.18.(14分) 已知函数f (x )=ln x-ax ,其中a 为非零常数. (1)求a=1时f (x )的单调区间;(2)设b ∈R,若f (x )≤b-a 对x>0恒成立,求ba 的最小值.19.(14分)已知函数f (x )=2ln x-x 2+ax (a ∈R). (1)当a=2时,求f (x )的图象在x=1处的切线方程;(2)若函数g (x )=f (x )-ax+m 在[1e ,e]上有两个零点,求实数m 的取值范围.20.(14分)函数f(x)=e x-ax2+1,曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=bx+2.(1)求a,b的值;(2)当x>0时,求证:f(x)≥(e-2)x+2.21.(14分)已知函数f(x)=ln x-mx+2(m∈R).(1)若函数f(x)恰有一个零点,求实数m的取值范围;(2)设关于x的方程f(x)=2的两个不等实根为x1,x2,求证:√x1x2>e(其中e为自然对数的底数).单元质检卷三 导数及其应用答案1.B 求导得y'=e x+m ,由于e x >0,若y=e x +mx 有极值,则必须使y'的值有正有负,故m<0. 2.A 由f'(x )=2x+1-1x =2x 2+x -1x=0,得x=12或x=-1(舍去).当0<x<12时,f'(x )<0,f (x )单调递减; 当x>12时,f'(x )>0,f (x )单调递增.则f (x )的最小值为f (12)=34+ln 2>0,所以f (x )无零点.3.A 函数f (x )=x 2-1e x不是偶函数,可以排除C,D,又令f'(x )=-x 2+2x+1e x=0,得极值点为x 1=1-√2,x 2=1+√2,所以排除B,选A .4.A 函数f (x )=a x +x 2-x ln a ,x ∈[0,1],则f'(x )=a x ln a+2x-ln a=(a x -1)ln a+2x ,当0<a<2时,a-2<0,显然|f (x 1)-f (x 2)|≤a-2不可能成立.当a>2时,x ∈[0,1]时,a x ≥1,ln a>0,2x ≥0,此时,f'(x )≥0;f (x )在[0,1]上单调递增,f (x )min =f (0)=1,f (x )max =f (1)=a+1-ln a ,|f (x 1)-f (x 2)|≤f (x )max -f (x )min =a-ln a ≤a-2,解得a ≥e 2,故选A .5.D 不等式f (x )>e x +3,即f (x )e x −3e x >1,令g (x )=f (x )e x −3e x -1,则g'(x )=f '(x )-f (x )+3e x<0,据此可得函数g (x )是R 上的单调递减函数.又g (0)=f (0)e 0−3e 0-1=0,结合函数的单调性可得:不等式f (x )>e x +3的解集是(-∞,0),故选D . 6.D ∵f (x )=2f (2-x )-x 2+8x-8,∴f (2-x )=2f (x )-(2-x )2+8(2-x )-8,将f (2-x )代入f (x )=2f (2-x )-x 2+8x-8,得f (x )=4f (x )-2x 2-8x+8-x 2+8x-8, ∴f (x )=x 2,f'(x )=2x ,∴y=f (x )在(1,f (1))处的切线斜率为y'=2. ∴函数y=f (x )在(1,f (1))处的切线方程y=2x-1.故选D .7.D 设正项递增等比数列{a n }的公比为q ,则q>1,∵1+(a 2-a 4)+λ(a 3-a 5)=0,∴1=(a 4-a 2)+λq (a 4-a 2)=(1+λq )(a 4-a 2).∴1+λq=1a 4-a 2,a 6+λa 7=a 6(1+λq )=a 6a 4-a 2=q 4q 2-1.令g (q )=q 4q 2-1(q>1),g'(q )=2q 3(q 2-2)(q 2-1)2.∴当1<q<√2时,g'(q )<0,故g (q )在(0,√2)为减函数,当q>√2时,g'(q )>0,故g (q )在(√2,+∞)为增函数,当q=√2时,g (q )的最小值为g (√2)=4,即a 6+λa 7的最小值为4.8.D ∵f (x )是奇函数,∴f (0)=-e 0+1-m cos 0=0,∴m=0,即当x ≥0时,f (x )=-e x +1,构造函数g (x )=xf (x ),∵f (x )为R 内的奇函数,∴g (x )是偶函数,则g'(x )=1-e x (x+1),当x ≥0时,e x ≥1,x+1≥1,据此可得g'(x )≤0,即偶函数g (x )在区间[0,+∞)上单调递减,且a=g (-2)=g (2),b=g (-1)=g (1),c=g (3),∴c<a<b.故选D .9.A 利用排除法,当a=0时,f (x )=13x 3,f'(x )=x 2≥0,函数在定义域上单调递增,|f (x 1)-f (x 2)|≤f (1)-f (0)=13≤1,满足题意,排除C,D 选项, 当a=2√33时,f (x )=13x 3-43x ,f'(x )=x 2-43<0, 函数在定义域上单调递减,|f (x 1)-f (x 2)|≤f (0)-f (1)=1, 满足题意,排除B 选项,故选A .10.D y=x ln x ⇒y'=ln x+1=0⇒x=1e ,函数y=x ln x 在(0,1e )内递减,在(1e ,+∞)内递增; y=x 2e x ,y'=2x -x 2e x=0,得x=0或x=2,函数y=x 2e x 在(0,2)内递增,在(-∞,0),(2,+∞)内递减.作出函数y=x ln x 和y=x 2e x 的图象,由图象得函数f (x )的最大值为f (2)=4e 2.故选D .11.B 由y=f (x+1)的图象关于直线x=-1对称,∴定义在R 上的函数f (x )的图象关于y 轴对称,∴函数f (x )为偶函数,∵f (x )在[0,+∞)上单调递减, ∴f (x )在(-∞,0)上单调递增,∵不等式f (2mx-ln x-3)≥2f (3)-f (ln x+3-2mx )在区间[1,3]上恒成立,∴f (2mx-ln x-3)≥f (3)在区间[1,3]上恒成立,∴-3≤2mx-ln x-3≤3在区间[1,3]上恒成立,即0≤2mx-ln x ≤6在区间[1,3]上恒成立,即2m ≥lnx x且2m ≤6+lnx x在区间[1,3]上恒成立,令g (x )=lnx x,则g'(x )=1-lnx x 2,∴g (x )在[1,e)上递增,在(e,3]上递减,∴g (x )max =1e .令h (x )=6+lnxx ,h'(x )=-5-lnx x 2<0,h (x )在[1,3]上递减,∴h (x )min =6+ln33,∴m ∈[12e ,ln3+66].12.D 对于A,因f (-x )≠f (x ),故A 错误;对于B,问题可转化为方程x 2+1=2x cos x 有解,即x+1x =2cos x 有解,当x>0时,x+1x ≥2,当且仅当x=1时取“=”,当x=1时,2x cosx<2,故方程无解,故B 错误;对于C,问题等价于方程x=2cos x 有3个解,作出函数y=x ,y=2cos x 的图象(图象略),可知方程只有1个解,故C 错误;对于D,f'(x )=2x-2(cos x-x sin x )=2x (1+sin x )-2cos x ,由f'(x )=0,得x=cosx1+sinx =cos 2x 2-sin 2x 2(cos x 2+sin x 2)2=1-tanx 21+tanx2=tan (π4-x 2).由函数y=x 与y=tan (π4-x2)的图象有无数交点,知f (x )有无数个极值点,故选D . 13.(0,1)∪(2,3) 由题意知f'(x )=-x+4-3x =-x 2+4x -3x=-(x -1)(x -3)x,由f'(x )=0得函数f (x )的两个极值点为1,3,则只要这两个极值点有一个在区间(t ,t+1)内,函数f (x )在区间[t ,t+1]上就不单调,由t<1<t+1或t<3<t+1,得0<t<1或2<t<3. 14.(x -12)2+(y +12)2=12 由f (x )=x ln x ,得f'(x )=ln x+1,∴f'(1)=1,∴曲线f (x )=x ln x 在点P (1,0)处的切线方程为y=x-1.切线l 与x 轴,y 轴的交点分别为(1,0),(0,-1),所围成的三角形外接圆的圆心为(12,-12),半径为√22.∴所求方程为(x -12)2+(y +12)2=12.15.[15,+∞) ∵实数p ,q 在区间(0,1)内,故p+1,q+1在区间(1,2)内,∵不等式f (p+1)-f (q+1)p -q >1恒成立,∴函数图象上在区间(1,2)内任意两点连线的斜率大于1.∴f'(x )=ax+1-2x>1在(1,2)内恒成立,即a>2x 2+3x+1在(1,2)内恒成立,由于函数y=2x 2+3x+1在[1,2]上单调递增,故x=2时,y 有最大值15,∴a ≥15.16.4 ∵x>2,∴k (x-2)<f (x )可化为k<f (x )x -2=x+xlnx x -2.令F (x )=x+xlnx x -2,则F'(x )=x -2lnx -4(x -2)2. 令g (x )=x-2ln x-4,则g'(x )=1-2x >0,故g (x )在(2,+∞)上是增函数,且g (8)=8-2ln 8-4=2(2-ln 8)<0,g (9)=9-2ln 9-4=5-2ln 9>0;故存在x 0∈(8,9),使g (x 0)=0,即2ln x 0=x 0-4.故F (x )在(2,x 0)上是减函数,在(x 0,+∞)上是增函数;故F (x )min =F (x 0)=x 0+x 0·x 0-42x 0-2=x 02,故k<x2, 故k 的最大值是4.17.解 (1)当x<0时,g (x )=-12x 2,g'(x )=-x ,∴g (-1)=-12,g'(-1)=1,∴切线方程是y+12=x+1,即x-y+12=0.(2)F (x )=x ln x-12x|x|=x ln x-12x 2(x>0),F'(x )=ln x-x+1,F ″(x )=1x -1.令F ″(x )>0,解得0<x<1,令F ″(x )<0,解得x>1,∴F'(x )在(0,1)递增,在(1,+∞)递减,∴F'(x )≤F'(1)=0, ∴F (x )在(0,+∞)递减.(3)由已知可转化为x 1>x 2≥1时,mg (x 1)-x 1f (x 1)≥mg (x 2)-x 2f (x 2)恒成立.令h (x )=mg (x )-xf (x )=m2x 2-x ln x ,则h (x )为单调递增函数,∴h'(x )=mx-ln x-1≥0恒成立,即m ≥lnx+1x 恒成立.令p (x )=lnx+1x ,则p'(x )=-lnxx 2, ∴当x ∈[1,+∞)时,p'(x )≤0,p (x )单调递减, p (x )≤p (1)=1,∴p ≥1,即实数m 的取值范围是[1,+∞). 18.解 (1)当a=1时,f (x )=ln x-x ,则f'(x )=1x -1,当0<x<1时,f'(x )>0;当x>1时,f'(x )<0,∴f (x )在(0,1)递增,在(1,+∞)递减. (2)f (x )≤b-a ⇔b>ln x-ax+a ,设h (x )=ln x-ax+a ,则h'(x )=1x -a ,当a<0时,h'(x )>0,h (x )在(0,+∞)递增,b ≥h (x )不可能恒成立;当a>0时,h'(x )>0⇔0<x<1a ,h'(x )<0⇔x>1a ,∴h (x )max =h (1a )=ln (1a )-1+a=a-ln a-1,b ≥a-ln a-1⇔ba ≥1-lna a −1a .设g (a )=1-lna a−1a (a>0),g'(a )=lnaa 2,∴g'(a )>0⇔a>1,g'(a )<0⇔0<a<1,∴g (x )min =g (1)=0,解得ba ≥0, ∴a=1,b=0时,ba 取最小值0. 19.解 (1)当a=2时,f (x )=2ln x-x 2+2x ,f'(x )=2x -2x+2,切点坐标为(1,1),切线的斜率k=f'(1)=2, 则切线方程为y-1=2(x-1), 即y=2x-1. (2)g (x )=2ln x-x 2+m ,则g'(x )=2x -2x=-2(x+1)(x -1)x.因为x ∈[1e ,e],所以当g'(x )=0时,x=1. 当1e <x<1时,g'(x )>0;当1<x<e 时,g'(x )<0.故g (x )在x=1处取得极大值g (1)=m-1. 又g (1e )=m-2-1e 2,g (e)=m+2-e 2,g (e)-g (1e )=4-e 2+1e 2<0,则g (e)<g (1e ),所以g (x )在[1e ,e]上的最小值是g (e).g (x )在[1e ,e]上有两个零点的条件是{g (1)=m -1>0,g (1e )=m -2-1e 2≤0,解得1<m ≤2+1e 2,所以实数m 的取值范围是(1,2+1e 2].20.(1)解 ∵f'(x )=e x -2ax ,f'(1)=e -2a=b ,f (1)=e -a+1=b+2,解得a=1,b=e -2.(2)证明 设g (x )=f (x )-(e -2)x-2=e x -x 2-(e -2)x-1,则g'(x )=e x -2x-(e -2),设h (x )=e x -2x-(e -2),h'(x )=e x -2.所以g'(x )在(0,ln 2)内单调递减,在(ln 2,+∞)内单调递增,又g'(0)=3-e >0,g'(ln 2)=2-2ln 2-e +2=4-2ln 2-e <0,g'(1)=0, ∴存在x 0∈(0,ln 2),使得g'(x )=0,∴当x ∈(0,x 0)∪(1,+∞)时,g'(x )>0;当x ∈(x 0,1)时,g'(x )<0,故g (x )在(0,x 0)内单调递增,在(x 0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,又g (0)=g (1)=0,∴g (x )=e x -x 2-(e -2)x-1≥0,当且仅当x=1时取等号,∴f (x )-(e -2)x-2≥0,即f (x )≥(e -2)x+2.21.(1)解 由题意知f (x )的定义域为(0,+∞),且f'(x )=1x -m=1-mxx .①当m<0时,f'(x )>0,f (x )在区间(0,+∞)上单调递增, 又f (1)=-m+2>0,f (e m-2)=m-m e m-2=m (1-e m-2)<0,∴f (1)·f (e m-2)<0,即函数f (x )在区间(0,+∞)有唯一零点. ②当m=0时,f (x )=ln x+2,令f (x )=0,得x=e -2.又易知函数f (x )在区间(0,+∞)上单调递增,∴f (x )恰有一个零点.③当m>0时,令f'(x )=0,得x=1m ,在区间(0,1m )上,f'(x )>0,函数f (x )单调递增;在区间(1m,+∞)上,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,故当x=1m时,f(x)取得极大值,且极大值为f(1m )=ln1m+1=-ln m+1,无极小值.若f(x)恰有一个零点,则f(1m)=-ln m+1=0,解得m=e,综上所述,实数m的取值范围为(-∞,0]∪{e}.(2)证明记函数g(x)=f(x)-2=ln x-mx,x>0,则函数g(x)的两个相异零点为x1,x2,不妨设x1>x2>0,∵g(x1)=0,g(x2)=0,∴ln x1-mx1=0,ln x2-mx2=0,两式相减得ln x1-ln x2=m(x1-x2), 两式相加得ln x1+ln x2=m(x1+x2).∵x1>x2>0,∴要证√x1x2>e,即证ln x1+ln x2>2,只需证m(x1+x2)>2,只需证ln x1-ln x2x1-x2>2x1+x2,即证ln x1x2>2(x1-x2)x1+x2,设t=x1x2>1,则上式转化为ln t>2(t-1)t+1(t>1),设h(t)=ln t-2(t-1)t+1,h'(t)=(t-1)2t(t+1)2>0,∴h(t)在区间(1,+∞)上单调递增,∴h(t)>h(1)=0,∴ln t>2(t-1)t+1,即ln x1+ln x2>2,即√x1x2>e.。